V«+(!HÉ

D'après les principes établis au commencement de cet article, on aura donc

pour l'expression de la longueur de Tare de I les doux extrémités répondent aux abscisses

3$8. Soit, par exemple, l'hélice représentée lions

x = Rcoa.u», i/ = Rsio.^, qui donnent

dr = — Rsin.w.rfw, dt/ = R ûos**** «

L'expression précédente prendra la U

résultat qu'il est aisé de prévoir d'après la courbe.

b Volume ilr* tolldei ûe r^volullau

3£9* Supposons que Faxe d'un solide de n ride avec Taxe des x, et représentons par

l'équation de la courbe plane dont la révolu cet axe décrit la surface du solide* Désigi partie du volume du solide comprise entre «1 nés perpendiculairement à Vaxe ax (fig. 51)

P, p, et qui est décrite par la révolution de la partie PMmp de Taire dé la courbe génératrice. Soit x l'abscisse o/>. Il est visible que quand x augmentera de &r représentée sur la ligure par pq, le volume v augmentera d'une quantité At> égale au volume décrit par la révolution de Taire pmmq. Or ce volume (en supposant &r assez petite pour que y soit constamment croissante ou décroissante dans l'intervalle pq) est compris entre ceux des deux cylindres ayant pour hauteur commune pq, et pour rayons pm et qn. Donc on a

A» > ry* . Ix , Ai? < r.[y + lyj* . bx ;

ou bien

te>Kf> E<1B(,r+à|r?î

et comme ces deux expressions ont pour limite commune , lorsque &r devient de plus en plus petite, iry% nous devons en conclure

tin

^- = xy,f ou dv — Ttf.dx.

pour l'expression générale de la différentielle du volume représenté par v.

D'après cela l'on reconnaît immédiatement que l'intégrale définie

donne l'expression de la partie du volume d'un solide de

<Ùfa« — A

représenté la partie du volume du corps et le plan perpendiculaire à Taxe qui passe pai

le plan mené à la distance x de celui-ci, Cette i d'ailleurs

En faisant x = «, on aura

moi tir de l'ellipsoïde de révolution. Le vol un

corps est donc -^-afr1-

33L On calculera facilement, d'après ce le volume de tant solide décrit par la rév figure plane quelconque autour d*un axe pris de cette figure* Le volume du solide décrit | tïon de l'aire Mm,Nm, (/fy. r>i> tracer duns

autour de l'axe des x, est exprimé par l'intégrale définie

*fx°**vï-v?)*

x0 et arw représentant la plus petite valeur oP et la plus grande valeur oQ de l'abscisse x, et ylf y, les valeurs des ordonnées mj>, m,p des deux lignes Mm^Mm^N qui répondent à une abscisse quelconque x.

*> Aires ées surface» é> révalatkm.

332. Considérons la surface décrite par une courbe plane quelconque Mm dont l'équation est

lorsque cette courbe tourne autour de Taxe ox (fig. 54). Désignons par u Taire de la partie de cette surface décrite par la révolution de la partie Mm de la courbe. Soit x l'abscisse op. Lorsque x augmentera de l'intervalle infiniment petit dx représenté sur la figure par pq, Taire u augmentera de Taire décrite par la révolution de Télément mn ou ds. Or, la courbe étant regardée comme coïncidant avec sa tangente dans Tétendue de cet élément, l'accroissement de u dont il s'agit sera regardé comme égal à la surface 'd'un cône tronqué dont pq est la hauteur et dont mp et nq sont les rayons des deux bases. Donc

du = z(2y + dy)ds,

et en supprimant les quantités infiniment petites du second

pour l'expression de Taire de la surface de rt est comprise entre deux plans menés per] ment à l'axe aux distances xQ et x de long» données*

333, Soit encore pris pour exemple Tellipso lution considéré dans le numéro 330. L'équation

,=;*=*. « ffi=;

pour l'expression de Taire de ta partie de prise entre le plan perpendiculaire à taxe qui centre et un autre plan mené à la distance x Supposons d'abord a > bf c'est-à-dire que Mli

autour de son grand axe, et posons — — —

expression deviendra

m&kfréttflBE&i

et si Ton écrit;

ii = 2Rr— i edxs/oP — eïx*, ™J o v

on trouvera par le numéro 311 ,

En faisant x=a, il viendra

*ab ( fî^é* + - arc sin. e j ,

ou

*(&* + — arc sin.el,

pour Faire de la moitié de la surface de Vellipsoïde.

Supposons en second lieu a<b, c'est-à-dire que l'ellipse a tourné autour de son petit axe. En désignant tou-

m fli

jours par e l'excentricité, on posera donc — - — = e% et il viendra

qui peut s'écrire

r* année. 2a

et en prenant l'intégrale de x=0 h x=r*

En faisant 3: = », ii viendra

pour l'aire de >a moitié de la surface de IVIIi|

334. Oo pourra calculer, d'après ce qui précède, l'aire de la surface d'un solide de révolution décrit par une courbe plane quelconque tournant autour d'un axe tracé dans le plan de cette courbe. En conservant ici les dénominations du numéro 331 , Taire de la surface décrite par la révolution de la courbe MwtNws [fig. 52) autour de Taxe- ox , sera évidemment représentée par l'intégrale définie

*> Volumes «et toutes l'une figure quelconque.

335. Soit un solide dont la surface rapportée aux coordonnées rectangulaires xy y, z, est représentée par l'équation

on présentera de la manière la plus générale la question de l'évaluation du volume de ce solide si, ayant tracé sur le plan des xy {fig. 52) un contour quelconque MmjNm,, on demande le volume compris entre le plan des xy, la surface du corps , et le cylindre dont le contour Mm^m, est la i base et dont les arêtes sont parallèles à Taxe des z. Nous représenterons par x0 et xw les abscisses extrêmes oP et oQ de la ligne Mn^Nm,; par yt et y, les ordonnées m{p et mjt, qui répondent à l'abscisse op représentée par x, et qui appartiennent respectivement aux branches MmtN et MfrijN de cette ligne. Les quantités yx et y, seront des fonctions données de l'abscisse x.

Cela posé, considérons la partie du volume demandé dont

la hase sur le plan des xy est Mm tin,, et désignons par r sa valeur, qui sera une fonction de x. Lorsque l'abscisse op, ou x, augmentera de la quantité infiniment petite dx représentée sur la figure par pq, le volume v augmentera dune partie également infiniment petite, dont la base sur le plan des ,/y est m^n^m^ Donc cette partie représente la différcntielle dv, lit il résulte des notions présentées au commencement de cet article que Ton a

dv y

et que le volume entier dont le contour Mm]Nmf est la base est exprimé par

dv.

Il s'agit maintenant d'exprimer analytiquement cette différentielle dv} c'est-à-dire la partie infiniment petite du volume demandé , dont la base est m^^m^ , partie qui n'est autre chose que la tranche de ce volume comprise entre deux plans menés parallèlement au plan des yz, aux distances x et x + dx de ce plan. Considérons un point quelconque m pris sur la ligne mimt : soit y l'ordonnée mp de ce point : z=f{x, y) représentera l'ordonnée de la surface par laquelle le corps est terminé, qui répond au point m. D'ailleurs, considérons la partie mtn^m de la tranche qu'il s'agit d'évaluer, partie qui est évidemment une fonction de l'ordonnée mp, ou y. 11 est visible que quand y croîtra de la quantité infiniment petite dy représentée sur la figure par mp, la partie m^m de la tranche dont il s'agit croîtra d'une portion de volume infiniment

petite du second ordre , dont la base est le rectangle mm?.. Mais le volume dont il s'agit est évidemment compris entre deux prismes rectangulaires dont la base commune est mv/ifjL, dont l'un a pour hauteur la plus petite des ordonnées qui répondent aux quatre points m, v,n, p., et l'autre a pour hauteur la plus grande de ces ordonnées. Et comme ces deux hauteurs ne diffèrent de l'ordonnée z du point m que d'une quantité infiniment petite, on doit les regarder comme égales à z, par conséquent prendre le produit dx.dy.x pour l'expression de l'accroissement que subit la portion de la tranche dont la base est mlni^m9 lorsque y augmente de dy. Nous regarderons donc cette tranche comme la somme d'un nombre infini de différentielles exprimées par dx.dy.x, expression dans laquelle dx est un facteur constant et commun. Il en résultera que si l'on prend l'intégrale dxjdy.z entre deux limites correspondantes aux points m1 et m, , c'est-à-dire depuis y =yt jusqu'à y=y,, on aura un résultat qui ne différera du volume de la tranche cherchée que d'une quantité infiniment petite du second ordre, qui doit être négligée par rapport à ce volume, qui est infiniment petit du premier ordre. Nous écrirons donc

dv

et en substituant cette valeur dans l'expression précédente de vy il viendra

pour l'expression générale de la partie du volume demandé

comprise outre des plans menés parallèlement au plan des yz> aux distança xb et or de l'origine des coordonnées. On aura, d'après cela,

jw:><

pour l'expression de la totalité de ce volume.

Ces formules sont appelées intégrales définies doubla parce qu'elles se rapportent aux deux variables x,y. On en déterminera toujours la valeur au moyen des procédés exposés dans les articles précédents. En effet, après avoir substitué pour I la valeur f(x, y), on prendra par rapport à y l'intégrale indéfinie 5dy.f[x, y), en regardant x comme uni1 constante. Cette intégrale devant être prise entre les limites j yuylt qui représentent des fonctions données de i. le résultat de l'opération sera une fonction de x seule. Soit $>{z) cette fonction : il ne restera plus qu'à prendre

l'intégrale / dx , *(jp).

démarquons d'jilleurs que Ton ne change rien à la valeur d'une intégrale définie double en intervertissant l'ordre des intégrations successives qui ont lieu par rapport à chacune des variai îles. On a toujours

f>f>-fl:«f>-

en désignant par x, et #a les valeurs de x en y, tirées de l'équation do la courbe MN , appartenant respectivement aux deux parties de cette courbe qui limitent l'intégrale dans le sens des m^ et par y0 et yw les valeurs extrêmes de l'ordonné? y appartenant à la même courbe. Il est visible.

en effet, que Tune on l'autre de ces expressions donne également la valeur du volume cherché. Mais il ne faut pas perdre de vue que l'usage des expressions dont il s'agit suppose en général qu'il n'y ait aucune des valeurs de l'ordonnée x qui soit infinie dans les limites de l'intégrale. S'il en était autrement, on ne pourrait en obtenir la valeur qu'en la décomposant en parties distinctes, séparées par les ordonnées dont il s'agit. Si les valeurs de ces parties sont exprimées par des nombres infinis et de signes contraires, la valeur de leur somme, et par conséquent celle de l'intégrale proposée, est indéterminée.

336. Admettons maintenant que la surface du solide soit rapportée à des coordonnées polaires. Nous regarderons la position d'un point quelconque m (fig. 53) de cette surface, comme étant donnée : 1° par la longueur r du rayon vecteur om dirigé sur ce point de l'origine o des coordonnées; 2* par l'angle <p que la projection om' de ce rayon vecteur sur le plan des xy forme avec l'axe des x; 3° par l'angle 4* que le même rayon vecteur om forme avec cette projection. Enfin nous supposerons que la surface du solide est donnée par l'équation

On résoudra d'ailleurs la question dont il s'agit d'une manière aussi générale qu'il est nécessaire, si Von détermine le volume compris dans un cône ayant pour sommet l'origine ou pôle o, et pour base une portion quelconque donnée de la surface du solide. Le contour de cette base doit être déterminé, et il le sera si l'on conçoit qu'à une valeur arbitraire attribuée à l'angle cp, répondent deux valeurs tyt et tyt de l'angle ty, qui appartiennent respectivement aux deux

pointe du contour situés sur la branche inférieur branche supérieure*

Cela posé, soit un point quelconque m de la solide, déterminé par les coordonnées tp t ty et r. que & augmente de cfc, représentée sur la figure ot'ojjl'; et que ty augmente de dtyp repfféseaf par l'angle mov. Considérons la pyramide dont «st h pu b Oj et qui a pour base le rectangle mi plan est perpendiculaire au rayon om. Comme de cette base est égal à sa projection m>' sur le p et comme op/ est égal à rcos, <(>, il s'ensuit q m^=r cos. + .d». Le côté m* est égal a r, lume de cette pyramide est

ou

-efcp.d^eos.^r*;

et il est évident qu'il ne diffère que d'un infininu troisième ordre, du volume compris entre les raies de la même pyramide et la surface du corps Donc premièrement, si Ion prend l'intégrale

cos.^.r*,

on aura In volume de la tranche du solide deux plans passant par Taxe des t, dort plan des o.rtf sont m* et n^'.

Et en second lieu, si l'on prend l'intégrale

Uld*ftd*'eo3*rt>

on aura le volume de la partie du solide comprise entre les plans passant par Taxe des z , qui forment avec le plan des xz les angles <p0 et ?. Par conséquent, si ?0 et <pw sont la plus petite et la plus grande valeur de l'angle <? qui appartiennent à la base du cône, son volume entier sera représenté par

ift-St*-™*-*

Les valeurs de ces intégrales doubles s'obtiendront évidemment de la manière qui a été expliquée à la fin du numéro

337. Si le pôle était placé dans l'intérieur du corps , et qu'on voulût exprimer la valeur du volume entier de ce

corps, on y parviendrait en prenant — - et - pour les

Je M

limites des valeurs de l'angle ^, et 0 et Sic pour celles de l'angle <p. Ainsi ce volume est représenté par l'expression

| f^ *tp % d+.cos.*.r».

j 338. Pour donner une application de ces formules générales, soit un ellipsoïde rapporté à ses diamètres rectangulaires, dont l'équation est

a,à»c désignant les trois demi -diamètres B¥6C les axes des xf des y et des zm La sec face du corps par le plan des xy a pour équ

et ('Ctte valeur forme la limite du corps dan! Les limites du corps dans le sens des x sou les abêtisses x= — a et *r = «. Donc \v votu Hé tle l'ellipsoïde située au-dessus du pli primé par l'intégrale double

yï-9

t IbVa* — / «tr / (fol

Or, on a eu premier lieu, i Ma'-*')

puisque le premier membre représente évidemment Taire

/b*(al x*î

d'un cercle dont le rayon est 1/ — — ; -. 11 reste donc

à prendre l'intégrale

, A . . ^ Zizabc . , knabc ' ,

dont la valeur est — - — ; ce qui donne — - — pour le vo-

lume entier de l'ellipsoïde.