ARMÉE

comprise entre l'axe des abscisses , la courbe et les ordonnées correspondantes aux abscisses a = a et a =6. On pourra toujours obtenir d'une manière exacte ou approchée la valeur de La formule dont il s'agit, à l'exception des cas où l'ordonnée f (*) deviendrait infinie pour une ou plusieurs valeurs de* comprises entre les limites a et 6, et de ceux où Ton aurait a ou 6 = ±: oo ; ces cas exigent le plus souvent un examen spécial.

343. Nous remarquerons maintenant qu'une intégrale définie peut être considérée sous un point de vue plus étendu, en admettant que la fonction désignée par f (a) contienne une quantité variable x. L'expression précédente devient alors une fonction variable de xy dont la valeur dépend de la forme de la fonction f (a) , et des limites a,b. En effet, lorsque l'intégration définie indiquée par rapport à a est effectuée, cette quantité a a disparu , et il ne reste plus qu'une fonction contenant la seule variable x.

La variable a? pourrait être aussi contenue dans l'expression des limites désignées par a et b. Ainsi l'expression générale dune intégrale définie représentant une fonction de x est

fX

da.f(x, a).

344. Proposons -nous de différentier cette nouvelle espèce de fonction, c'est-à-dire de connaître l'accroissement dX correspondant à l'accroissement infiniment petit dx de la variable. En supposant d'abord que les limites de l'intégrale définie soient les constantes a et 6 , on aura

dix dx

d.f(x,*) «te '

Si doub admettons maintenant que les limites soient «par et j/x, nous aurons

J *r + -^<te

cest-à-dira

d'où, en négligeant les quantités infiniment petites du second ordre ,

et par conséquent

di^J9xd^^r t-f<*f*^+ri*w--Ëï-

345. Le résultat précédent devient très-sensible lorsqu'on se représente l'intégrale définie

dans la limite inférieure <p (x)f l'aire diminue de l'espace fÙ

âx\ 3* Entin par la seiili

riation de x dans la limite supérieure + (x), Faire aupn

d *» fe L

de l'espace QNN'Q' représenté par f{x^x)+

riatiou simultanée de x dans les trois fonctions f(zf *) . et ty (x) change d'ailleurs faire FMNQ en Fmrit'Qr. La i tion totale de cette aire est donc exprimée par les termes de la formule précédente , lorsqu'on néglige te paces Mfflm'M' et Nnn'N' qui sont infiniment petits du .se ordre.