Le cas où M=y, en sorte que l'équation proposée est
a été remarqué. On a alors en différenciant
équation à laquelle on peut également satisfaire en posant
x+^-,= 0, et dy'=:0.
L'équation x + — = 0 donnera une valeur de y' qui, étant
substituée dans la proposée, conduira à une équation primitive : mais cette équation , qui ne contient pas de constant? arbitraire, sera une solution particulière, conformément à ce qui a été dit n° 379. L'équation dy=0 donne en l'intégrant
A étant la constante arbitraire : cette valeur mise dans la proposée à la place de y' donnera l'intégrale générale cherchée. Cette intégrale est l'équation d'une ligne droite dont U valeur attribuée à la constante A détermine l'inclinaison sur l'axe des x.
Solutions particulières des équations différentielles du premier ordre d deux variables.
408. On a remarqué n° 379, qu'il existait quelquefois des équations primitives (sans constante arbitraire) qui satisfont
à une équation différentielle flx, y} -~ \ = 0 , et qui néanmoins ne sont point comprises dans son intégrale générale. Les équations dont il s'agit, appelées solutions particulières, se distinguent ainsi des intégrales particulières qui répondent aux diverses valeurs de la constante arbitraire dont la présence est le caractère essentiel de l'intégrale générale. Comme il est aisé de les trouver lorsqu'elles sont de la forme x=c, je supposerai dans ce qui va suivre qu'elles contiennent la fonction y.
Soit
Tintégrale générale de l'équation différentielle
Cette dernière équation sera le résultat de l'élimination de la constante a entre l'équation (1) et sa différentielle immédiate, qui est
dy dft
dx ~~" dx '
et conformément à ce qui a été exposé dans les nM 376 et suivants , nous regardons les équations (4) et (2) comme appartenant au système d'une infinité de lignes courbes qui diffèrent seulement les unes des autres par les diverses valeurs que Ton peut attribuer à la constante a.
Cela posé , admettons que Ton ait donné dans l'équation (1) à la constants a une valeur déterminée , et considérons la courbe correspondante à cette valeur. Si , à partir de la valeur dont il s'agit, a augmente de la quantité infiniment petite da, l'équation (1) deviendra
Cette dernière équation appartiendra à une seconde courbe infiniment voisine de la première; et les valeurs de x,y qui satisferont simultanément aux deux équations
y=?, et y=?+£da9
ou si Ton veut aux deux équations
!/=?, et 2 = °'
appartiendront au point d'intersection de ces deux courbes. 409. Admettons maintenant que Ton élimine la constante a entre les deux équations
„ = ?J et £ = •.
Le résultat de cette élimination sera une équation primitive entre x et y appartenant à la ligne qui est le lieu des points d'intersection de toutes les courbes comprises dans l'intégrale générale, et qui correspondent aux diverses valeurs de la constante a. Cette ligne est évidemment touchée par toutes les courbes dont il s'agit, et elle en forme l'enveloppe. L'équation obtenue de cette manière, et qui ne contient pas de constante arbitraire, donne la solution particulièrede l'équation
f (x^y, -7-) =0, h laquelle elle doit satisfaire, puisque la
valeur de -^- dans l'un quelconque des points de l'enveloppe
est commune à celte enveloppe et à la courbe comprise dans
l'intégrale générale qui la touche en ce point.
Si au lieu de l'équation (1), on n'avait que l'équation non
résolue
on considérerait que cette équation devant être vérifiée par
du do y =©(x, a), on en déduira -^ ou -j- par la méthode pour
différentier les fonctions implicites, laquelle donne
dF dF d?
da + dy da~~ ' d'où
d? __ __ dF . dV
da ~~ da ' dy'
n faut donc alors remplacer les deux équations
« = © et -7^ = o
J du
par celles-ci
dF dF
F=° et <te:^=0'
dF dont la dernière peut être réduite h j- = 0 quand F ne contient ni radicaux, ni dénominateurs.
Il faut remarquer d'ailleurs, que les courbes représentées par une équation différentielle et par son intégrale générale, c'est-à-dire les courbes correspondantes aux intégrales particulières , n'ont pas toujours une enveloppe ; ou qu'il n'arrive pas toujours que ces courbes soient successivement tangentes à une certaine ligne fixe. Alors la solution particulière n'existe pas. Il peut se faire aussi que l'équation de l'en-
veloppe soit comprise dans l'intégrale générale et forme une intégrale et non une solution particulière. On reconnaît qu'il n'existe pas de solution particulière lorsque l'équation
~= 0 ne peut donner pour la constante a une valeur exprimée en x; ou plus exactement lorsqu'on ne peut déduire des équations y = * et -^- =0, par l'élimination de a, une équation entre x ety qui ne rentre pas dans l'intégrale générale et n'en soit pas un cas particulier.
410. Il est facile de reconnaître directement que la recherche de la solution particulière , c'est-à-dire d'une équation qui , sans provenir d'une valeur particulière attribuée à la constante a de l'intégrale générale, satisfait cependant à l'équation différentielle (2), doit s'opérer par l'élimination de a
entre l'équation (1) et l'équation -— = 0. En effet, tout se
réduit, pour trouver l'équation dont il s'agit, à mettre à la place de a, dans l'équation (1), une fonction de x, convenablement déterminée, et telle que <p(x, a) devienne la valeur de y qu'offre la solution particulière. Or, supposons que cette substitution ait été faite , et regardons a comme une fonction de x. L'équation différentielle déduite immédiatement de Téquation (1) sera alors
dy __ dy dy da r/a — dx da dx*
Mais l'équation (2) résulte, par hypothèse, de l'éliminatiou de a, supposée constante, entre l'équation (1) et son équation différentielle, qui est alors -p = -^. Donc il suffi, pour obtenir le même résultat, a étant supposée variable
et fonction de x, de déterminer cette fonction a par la
d 9 d& condition de faire disparaître le terme ~ — ; car les deux
équations entre lesquelles l'élimination s'opérera étant les mêmes dans les deux cas, l'équation (2) qui en résultera sera aussi la même. On peut faire disparaître ce terme en posant -p = 0, ce qui donne a égale à une constante quelconque et répond au cas de l'intégrale générale ; ou en po-
d © sant — - = 0, ce qui donnera pour a une fonction de x, qui
étant substituée dans l'équation (i) ou y = <?, conduira à une équation primitive sans constante arbitraire , et satisfaisant à l'équation différentielle, qui sera par conséquent la solution particulière demandée.
411. D'après ce qui précède, on peut obtenir la solution particulière quand on connaît l'intégrale générale. Cette solution particulière peut être aussi déduite de l'équation différentielle. Considérons l'une des courbes comprises dans l'intégrale générale et correspondante à une valeur a de la constante. Cette courbe sera à la fois coupée et touchée par la courbe contiguë correspondante à la valeur a ~\- da , dans un des points de l'enveloppe dont la solution particulière est l'équation. Or, cette même courbe correspondante à la valeur a de la constante n'est plus touchée , mais est coupée par les autres courbes correspondantes aux valeurs de la constante qui diffèrent de a d'une quantité finie. Il suit de là que l'équation différentielle
étant résolue par rapport à j- , donnera généralement deux
ou plusieurs valeurs différentes pour ce coefficient différentiel, si l'on attribue à x et y des valeurs quelconques. Mais si l'on attribue à x et y les valeurs qui appartiennent aux points de l'enveloppe, ou à la solution particulière qui représente cette
enveloppe , il y aura au moins deux des valeurs de ~- qui deviendront égales entre elles. Ainsi la solution particulière doit offrir ce double caractère; 1° de satisfaire à l'équation différentielle proposée
( en écrivant pour abréger y' au lieu de -~) ; S° de rendre
égales au moins deux des valeurs de y' qui satisfont à cette équation. Or, l'existence de deux ou plusieurs valeurs égales de y' données par l'équation précédente est exprimée en général par la condition
d'où l'on conclut qu'en éliminant y' entre les deux équations
Ax,y,y') = o, et ^=o,
on obtiendra , si elles existent, les solutions particulières demandées.
412. On trouvera encore la solution particulière de la manière suivante. Supposons que l'équation différentielle proposée f[x,y, y') =0 ayant été résolue par rapport à y', on lui ait donné la forme suivante
i/ + V = o, V étant une fonction de x,y. Puisque les courbes qui sont re-
présentées par les intégrales particulières se coupent généralement, et se touchent en même temps qu'elles se coupent seulement dans les points qui appartiennent à l'enveloppe , on voit que la fonction — Y qui donne la valeur de y' doit représenter généralement au moins deux valeurs différentes pour cette quantité ; mais que si Ton attribue à x et y les valeurs qui appartiennent à l'enveloppe, les deux valeurs de cette même fonction — V deviendront égales entre elles. D'après cela nous pouvons nous représenter — V comme l'ordonnée verticale d'une surface dont les abscisses horizontales seraient x et y; et cette surface doit avoir une figure telle que l'ordonnée verticale la coupant en général au moins dans deux points , elle la rencontre en un seul point, lorsque les abscisses x et y appartiennent à la solution particulière. Il en résulte que la surface dont il s'agit doit être touchée par le cylindre vertical qui aurait pour base l'enveloppe, ou la courbe représentée par la solution particulière ; et il est aisé d'en conclure que, pour les valeurs x et y qui appartiennent à cette solution , on doit avoir à la fois
d\ 1 dy~Q
et par conséquent
àff l àr-O*
dy' 1 dy~~0
L'expression de ces conditions donnera donc la solution particulière s'il en existe une.
413. On peut remarquer d'ailleurs, qu'en différenciant l'équation proposée
/"fo y» y') = o ,
on a
dx dy dx dy' dx
— Oi —
Mais le coefficient du dernier ternie étant nul, d'après le
n* précédent, pour les valeurs de x,y qui appartiennent à la
solution particulière, ce terme disparaît , d'où il suit que la
dv§ d*v valeur du coefficient du second ordre ~ = -7—, demeure in-
dx cfx1
déterminée; et 0 en sera de même des coefficients de tous
les ordres supérieurs. Cette circonstance résulte de ce que
chacun des points de l'enveloppe appartient à trois courbes
différentes qui ont entre elles un contact du premier ordre .
du
et pour lesquelles le coefficient du premier ordre — a une
valeur commune; savoir les deux courbes données par les intégrales particulières qui répondent aux valeurs a+da de la constante arbitraire, et l'enveloppe elle-même qui est également comprise dans l'équation différentielle. Mais les valeurs des coefficients différentiels des ordres supérieurs sont généralement différentes pour ces diverses courbes; et comme les équations dont ces coefficients dépendent ne pourraient donner qu'une seule valeur, l'analyse résout cette difficulté en laissant cette valeur indéterminée. Ayant ainsi déduit de
l'équation différentielle proposée l'expression de ~ = -p.
et égalant séparément à zéro le numérateur et le dénominateur de cette expression , on aura deux équations contenant y' qui doivent subsister en même temps que la proposée pour les valeurs de x,y$ qui appartiennent à la solution partira* lière» Si Ton élimine y' entre chacune de ces équations et la proposée , et si les résultats de cette élimination ont un facteur commun, ce facteur sera la solution particulière cherchée* Si ces résultats ne peuvent subsister ensemble, on en conclura qu'il n'existe pas de solution partira* lière.
■M. Si l'on applique ce qui précède a l'équation différentielle
xg— ,+ 6=0,
considérée n° 380, et qui a pour intégrale générale y — or— 6=0 ,
a étant la constante arbitraire , on trouvera pour la solution particulière le système des valeurs x=0y y=b qui appartiennent au point d'intersection commun de toutes les droites représentées par l'intégrale générale.
