Considérons l'équation

y = ax + b ,

qui appartient à une ligne droite dont la position est déterminée par les valeurs des constantes a et b. La distance de cette ligne à l'origine des coordonnées a pour valeur

-T par conséquent, si Ton élimine b enlre l'équation

précédente et l'équation

(dans laquelle r désigne une constante), l'équation résultante

y = ax + r\a*+i9

appartiendra à toutes les lignes droites qui touchent le cercle dont le rayon est r, et dont le centre est à l'origine de? coordonnées.

Si Ton différencie cette équation , et si Ton élimine la constante a au moyen de l'équation différentielle, il viendra en

d\t écrivant y1 au lieu de -^ , ax

On conclura de tout ce qui a été exposé précédemment que cette équation différentielle a pour intégrale l'équation primitive

i/ = ar + rv«*+i ,

dans laquelle a est la constante arbitraire, et qui représente, aussi bien que l'équation différentielle , le système de toutes les lignes droites tracées à la distance r de l'origine des coordonnées , et de plus qu'elle a pour solution particulière l'équation

qui appartient au cercle touché par toutes ces lignes droites. et qui est le lieu de leurs intersections.

En effet , si l'équation différentielle

y = xy' + r^+l

était proposée, on remarquerait en premier lieu qu'elle tombe dans le cas du n° 407. On trouve immédiatement ,

d'après ce qui a été dit dans ce numéro , y = ax -f r^V+l pour l'intégrale générale. De plus le facteur & + — de-

vient ici x -|-

valeur y' = -

En régalant à zéro on en déduit la

sfr*—œ%

, et cette valeur étant substituée dans

l'équation différentielle proposée, donne y = yr* — x* qui est la solution particulière.

Si , conformément au n° 409, on veut déduire la solution particulière de l'intégrale générale

il faudra éliminer a entre cette équation et sa dérivée prise par rapport à a , qui est

V/ai+î

Le résultat de cette élimination est évidemment le même qui vient d'être obtenu.

Si , d'après le n° 4H , on veut déduire la solution particulière de l'équation différentielle , on deva éliminer y' entre les deux équations

2" AKXtE.

et x + -^*== = o,

ce qui donne encore le même résultat.

D'après le principe énoncé n* 413, il faudrait différencier l'équation proposée

y— xy— rvy"+i = 0 pour en déduire ia valeur de y", ce qui donne

telte équation, dans le cas particulier que nous considérons. ne donne pas une expression générale de y" en x, y et y. parce que la valeur de y" est toujours nulle pour les intégrales particulières, qui représentent ici des lignes droites. Hais die se décompose dans les deux facteurs

y"= 0 et x + — &— = 0 ,

vYM-i

dont l'un appartient à l'intégrale générale et l'autre à la solution particulière.

Enfin si , conformément au n° 412, on résout l'équalkn: différentielle proposée par rapport à y' pour la mettre sous la forme y' + V = 0, on trouvera

9tf , a-y^ry'g'+y'— r*

On voit que cette équation donne en général pour y' dcui valeurs différentes, appartenant aux deux tangentes au cercle qui se croisent dans le point déterminé par les valeurs attribuées à a? et y. Hais ces valeurs de y' deviendront égaies si le radical de l'équation précédente est nul, tfest-à-dire si

x et y satisfont à l'équation

qui donne par conséquent la solution particulière. La condition qui rend égales les deux valeurs de y' est ici évidente : on peut vérifier que cette même condition résulterait égale-

nient de la supposition de -— = - ou -p == ^.

417. L'équation différentielle que l'on vient de considérer est un cas particulier de l'équation

y^ary'+N

du n° 407, dans laquelle N est une fonction quelconque de tf. Il est clair par ce qui précède que l'intégrale générale de cette équation appartient à un système de lignes droites dont les équations se déduisent de la proposée, en y remplaçant y* par une constante arbitraire. De plus toutes ces lignes droites touchent la courbe dont on obtient l'équation en éliminant y' entre les deux équations suivantes

, d* A dy'