Quant à l'équation considérée n

dans laquelle M et N sort des fonctions quelconques de y* seule, l'intégrale générale a été donnée dans ce numéro. La solution particulière, c'est-à-dire l'équation de la courbe touchée par toutes les courbes correspondantes aux intégrales particulières, s'obtiendra en éliminant y* entre les équations

dont la dernière revient à

f dU 1

419. Il est quelquefois utile de savoir tracer un système de courbes d'une espèce donnée d'après la condition qu'elles soient toutes tangentes à une autre courbe également donnée. Ce problème revient à déterminer une équation primitive. dont on donne la forme générale, de manière que son équation dérivée ait pour solution particulière une équation déterminée. Soit généralement

F(x,y,û,6,etc.) = 0f

une équation dans laquelle a, b, etc., sont des constantes. On demande que le système des courbes qui pourraient être données par cette équation en faisant varier les constantes, touche ou ait pour enveloppe la courbe représentée par l'équation

Différentiant les deux équations proposées on trouve

~dx + dydx~"> ete + dy dx"0;

et en éliminant- - entre ces deux équations, l'équation résultante , qui est

dF d&dF d*0 dx dy dy dx~~ '

exprime la condition que les courbes représentées par les

équations proposées aient un contact du premier ordre. Si Ton élimine donc x et y entre-les trois équations

F(*,y,M,etc.) = o, *(*,î,) = o, s ^-^ E = o,

le résultat, qui sera une équation entre les constantes a, b, etc. , exprimera la relation qui doit subsister entre a et les autres constantes pour que la condition dont il s'agit soit satisfaite. Si l'on résout donc cette dernière équation par rapport à Tune des autres constantes, telle que b, et que l'on mette sa valeur dans l'équation proposée

F(.r,y,a,6,etC.) = 0,

le résultat de cette élimination aura la propriété demandée. 420. Soit donnée, par exemple, l'équation

y* + ax + b = 09

appartenant à une parabole dont le grand axe coïncide avec Taxe des x; et l'équation

s' + îf1— r*=0,

appartenant à un cercle dont le centre est à l'origine des coordonnées et dont r représente le rayon. On demande de déterminer les paraboles représentées par la première équation, de manière qu'elles soient toutes tangentes à ce cercle. Différentiant les équations précédentes, on a

d'où

Éliminant x et y entre les trois équations

y*+ax+b=09 :r,+ 2/î— r9- 0, 2x— a=0,

on trouve la relation

r» + ~ + 6=0, d'où b = -j-r*.

Cette valeur étant substituée dans l'équation y1 -f ax + 6 =0, la change en

yl+a*-~-r»=:0,

qui aura la propriété demandée.

En effet , si Ton. applique à cette équation la règle du n° 404 , pour obtenir la solution particulière de Péquatkm dérivée dont elle serait l'intégrale, on devra éliminer la constante arbitraire a entre les deux équations

y'+ar — -T- — ^=0, et 2* — a = 0;

ce qui donnera pour cette solution particulière y»**1 — r"=0.

La dérivée de l'équation

se trouve d'ailleurs en différentiant par rapport à x, ce qui

donne

2yy*+ fl = 0;

puis en éliminant la constante a entre cette équation et la différentielle. On obtient ainsi l'équation dérivée

y*— 2a#y'— uV— r1 = 0 , à laquelle on peut appliquer les règles des n" 411 et suivants.

Si, par exemple, on la résout par rapport à y'} il vient

— - x±. yVM-s' — r*

L'équation qui exprimera l'égalité des deux valeurs de y, c'est-à-dire la solution particulière , est donc