Soit, par exemple, l'équation du second ordre

Désignant par p' et p" les racines de l'équation

p* + Pp+Q=rO; l'expression générale de y sera

et les fonctions A' et A" seront assujetties, à satisfaire aui équations

dk' dk"

On en déduit par l'élimination

dk' \.e-P* a'+fdx.Ye-*<

aF^prz^- doù A= p,f ,

a et a7' étant les deux constantes arbitraires. L'intégrale demandée est donc

fo'-f fdx.\e-**y**— (g"+ JdkVr**y' V- p'-j'

416. Si les racines de l'équation p> + F>+Q=0*W imaginaires et désignées par a ± 6 ^ — 1 , on prendrait d'après le n* 439 , pour l'expression générale de y, (

y = AV«* cos.&r + k"€** sin.*t.

Les fonctions A', A" seraient assujetties à satisfaire aux équations

^e1*cos.6Lr+-^e«*sin.k; = q.,

^(«efll*cos.6x— 6e««sin.6x) + -^- («** sin.6a;+6e**ços.*F)=Vt

d'où l'on déduit par l'élimination

dM

dx dk"

Vg-«*5in.6g A,a'— Jdr.Ve-«*8in,6j7

VéT«*cos.6a:

et A"=

g//+/rfx.Ve"-flLPcos.&c

dx ~~* 6 w " "" 6 L'expression de l'intégrale générale est donc ici Jja?— fdx.\e^ahLix)C0B.ix^a!'+fdx.Ye^C09.Sx)aiiLix

447. Si les racines de l'équation p1 +Pp + Q = 0 étaient égales entre elles, l'expression de y du n° 445 , se réduirait à -. On en trouverait la véritable valeur en différentiant

le numérateur et le dénominateur par rapport à p", puis faisant p" =p', ce qui donne

y=—(fdx.xVe-9'W+ (af'+fdx.Yer^*)x^ '*.

Comme les limites inférieures des intégrales demeurent arbitraires, on peut rétablir dans le premier terme la constante a', et écrire

y = (a'— fdx.xNe-**)**'* + (^+/rfar.Ve-^*)wf *.

Cette formule, dans le cas où V = 0, se réduit à

comme cela doit être d'après le n° 440,

2« A9SÉE. î

LS

fcf.;

448. L'intégration des équations linéaires du second ordiv. donne immédiatement la loi des températures permanente* d'une barre ou d'un anneau dont la section transversale est uniforme et fort pçtite.

Concevons une barre cylindrique ou prismatique d'une longueur infinie dont une extrémité placée dans un foyer de chaleur est maintenue constamment à la température U. Cette barre est placée dans l'air à la température 0. La chaleur communiquée par le foyer se propage dans la barre, l'échauffé progressivement, et se dissipe en partie dans le milieu environnant. Après un temps suffisant, il s'établira dans toute l'étendue du prisme des températures constantes dont il s'agit de connaître la loi , et qui sont évidemment déterminées par cette condition, que chaque partie reçoive du foyer par une de ses extrémités, une quantité de chaleur égale à celle qu'elle transmet aux parties suivantes et qu'elles perdent par leur surface extérieure.

Les dimensions transversales de la barre étant supposée? frès-petites; on peut regarder comme égales les température* de tous les points d'une même section. Nous désignera* par

Q l'aire de la section transversale de la barre;

Y le périmètre de cette section;

x la distance au foyer d'une section quelconque de b barre;

v la température qui a lieu dans cette section ;

K, k les conducibilités intérieure et extérieure de ia substance de la barre*

Considérons l'élément de la longueur de la barre compris entre les sections placées aux distances s et x + dx. La sur-

face de cet élément étant fdx, la quantité de la chaleur perdue par sa surface extérieure dans l'unité detemps, est h;dx.v ; et , par conséquent , la portion de chaleur perdue dans le même temps, par la partie de la barre qui est à la §pite, est exprimée

/•CÙ

par Tintégrale A? f vdx. Mais d'une autre part, la température de tous les points d'une même section étant supposée la même, la chaleur traverse l'élément dont il s'agit, de la même manière que cela aurait lieu pour un solide infini compris entre deux plans parallèles. L'épaisseur du solide <st ici dxy et les températures extrêmes sont v et v-\-dv. La quantité de chaleur qui* le traverse dans l'unité de temps

est donc — Ko — . Ainsi nous avons pour exprimer la condition énoncée, l'équation

do /'*

qui donne en différentiant

On parvient également à cette équation en remarquant que — KO — représentant la quantité de chaleur qui traverse dans l'unité de temps la section de la barre placée à la distance x du foyer, on aura — Ko ( — + <* • JT" ) P°u!% représenter la quantité de chaleur qui traverse dans le même temps la section placée à la distance x + dx. Or, la différence de

ces deux quantités , qui est Kû *r-tdx> doit nécessairement

être égale à la quantité de chaleur h^dx.v qui se dissipe par la partie de la surface correspondante à l'intervalle àx. On a donc comme ci-dessus

YM^dx^kidx.v, ou ^=1^».

449. L'intégrale complète de cette équation différentielle est, conformément au n° 445,

e représentant la base des logarithmes hyperboliques, A et H les deux constantes arbitraires. Mais il est visible qu'ici la constante B doit être nulle, car la valeur de c ne peut croître indéfiniment avec x. De plus, comme on doit avoir »=l quand x = 0, la constante A doit être égale à U. L'expression demandée des températures permanentes est donc

Ainsi , les températures des divers points du prisme état.: représentées par des nombres, les distances de ces points au foyer sont représentées par les logarithmes correspondants , Dans deux barres de même substance, les distances du foyer où Ton observe la même température sont proportionnel

à la quantité l/-, ou à la racine quarrée des dimension

homologues si les sections sont semblables. Dans deux barr* de substances différentes, ces mêmes dislances sont proportionnelles au rapport \/— . Les observations de ce gewe

peuvent faire connaître pour divers corps la valeur du rap-

port r des deux conducibilités. On a même cherché à faire n

servir les observations dont il s'agit , à déterminer les valeurs relatives de la conducibilité intérieure K, en recouvrant chaque prisme d'une couche de vernis, dans la vue de leur donner la même conducibilité extérieure, procédé qui ne présente peutêtre pas toute l'exactitude nécessaire.

450. On déduit d'ailleurs facilement de l'équation précé • dente toutes les circonstances du mouvement de la chaleur dans les différentes parties du prisme. La quantité de chaleur qui traverse dans l'unité de temps la section placée à la distance j- du foyer, est

dv

-EU.~ = U.vtoK.7Û.e

et par conséquent, la quantité de chaleur qui sort du foyer, et qui se dissipe dans l'air par la surface entière de la barre . est , dans le même temps,

U.^K.yû.

Cette quantité est donc proportionnelle à la puissance - des

dimensions homologues pour des barres de même substance et de figures semblables.

451. Admettons maintenant qu'il s'agisse d'une barre prismatique d'une longueur déterminée représentée par a, et dont les deux extrémités soient maintenues respectivement aux températures constantes U. etV. La loi des températures

permanentes sera toujours donnée par l'équation différentielle du n° 448; mais dans l'intégrale générale du n° U9, que nous pouvons écrire

en posant pour abréger V-— = X , on devra déterminer les

constantes arbitraires A et B de manière que v =U lorsque jr = 0, et t? = V lorsque x=a. Cette intégrale deviendra alors

expression qui donnera les températures d'un point quelconque de la barre compris entre ces deux extrémités.

452. Les résultats précédents ne supposent pas nécessaiment que l'axe de la barre soit rectiligne. Les dimensions Ao la section transversale étant supposées très-petites , on peut attribuer à cette barre une figure quelconque, et même supposer que ses deux extrémités sont réunies, de manière à former un anneau. La formule du numéro précédent exprimera toujours les températures permanentes d'une portion de la barre comprise entre deux foyers, 'dont l'intervalle est a, et qui sont maintenus respectivement aux températures U et V.

Si la barre forme un anneau , et s'il n'y a qu'un seul foyer maintenu à la température U , on aura évidemment dans toute l'étendue de l'anneau

ou

.Vu-*)

+ gA

a désignant la longueur de son périmètre. Si Ton veut compter les x du point de l'anneau opposé au foyer, et qui partage le périmètre en deux parties égales , on aura

On ne donnera à x dans la première de ces formules que des valeurs comprises entre 0 et a, et dans la seconde que des

valeurs comprises entre — - et -+• s •

453. Considérons trois pointe de l'intervalle compris entre deux foyers situés aux distances x, x -}- <* et a?+ 2* de l'origine des x. En désignant respectivement par vQ,vif v% leurs températures, on aura, d'après l'équation générale du n° 451

vt = A.e-^+«)+B.eV+«) , v, = A.g-V*+**)+B.g>(*+2*\

Donc

ou bien

On voit donc que l'état permanent des températures d'une barre ou d'un anneau est toujours tel, que prenant entre deux foyers plusieurs points également espacés, et considérant trois de ces points placés les uns à la suite des antres, la somme des températures des points extrêmes, divisée par la température du point intermédiaire , présentera toujours une même valeur qui dépend uniquement de la distance * des points dont il s'agit. Ce résultat remarquable a été vérifié par l'expérience.

XXXIV. ÉLIMINATION DBS VARIABLES ENTRE LES EQUATIONS DIFFÉ- RENTIELLES SIMULTANEES. — INTEGRATION DES ÉQUATIONS LINEM- RES SIMULTANÉES.

454. Considérons plusieurs variables x, y, x, etc. , regardées comme des fonctions d'une autre variable indépendante v, et admettons que Ton ait plusieurs équations entre les variables x,y, *, etc., et leurs coefficients différentiels

dv ' dv* • etC'" • diï dv* • eU%" • dv* dv* • ew-

Si les équations dont il s'agit sont en même nombre que les variables x, y, x, etc. , on pourra toujours déduire du. système de ces équations, des équations différentielles séparées contenant une seule de ces variables avec la variable indépendante v. L'intégration des équations proposées, c'est-à-dire la recherche des expressions générales de x,y,z, etc., en fonction de la variable indépendante, serait ainsi ramenée au cas d'une seule équation différentielle entre deux variables. En effet, supposons que l'on n'ait que deux équations entre les deux variables x et y, et leurs coefficients différentiels pris

— iori —

par rapport à t?. Soit m Tordre de la première équation par rapport à y, et n Tordre de la seconde équation , par rapport à la même variable. On différentiera n fois la première équation, et m fois la seconde, ce qui donnera, en comprenant les équations proposées, m + n + % équations, au moyen desquelles on peut éliminer la variable y et ses coefficients diffé-

dy flPi# d3y rentiels -^ , -~ , -r4 , etc., jusqu'à Tordre m + n. Il restera dv dv* dv* ^

une équation qui ne contiendra que la variable x seule et ses coefficients différentiels. On obtiendra de la même manière une équation en y. La même remarque s'applique au cas où le nombre des variables et des équations proposées est plus considérable. On voit de plus que, si les équations différentielles proposées sont linéaires, l'élimination doqt il s'agit conduira à une équation finale également linéaire.

455. On peut, dans quelques cas, et particulièrement lorsque les équations différentielles simultanées sont linéaires et à coefficients constants, obtenir directement des équations primitives dont on déduirait les valeurs générales des variables. Considérons d'abord deux équations du premier ordre, qui seront généralement de la forme

Par une élimination facile , on peut les ramener à la forme plus simple

Nous regarderont en général S, T, U, S', T, U' comme représentant des fonctions quelconques de v. La difficulté consiste ici en ce que les deux variables x, y, se trouvent à la fois dans les deux équations proposées, et il s'agit de remplacer ces deux équations par deux autres qui ne contiendraient chacune qu'une seule variable avec la variable indépendante t. Pour y parvenir, on multipliera la seconde équation par un facteur * qui sera une fonction indéterminée de v, et un l'ajoutera à la première , ce qui donnera

De plus on posera x + *y =u, d'où

dv + *dv~dv~ dvv*

u étant une nouvelle variable. Ces valeurs étant substituée dans l'équation précédente la changeront en

du

dv

et en déterminant la fonction * de manière à satisfaire à IV quation

^+(S+s'*)tf-(T+r*) = o, ..... f2; il rostora à intégrer l'équation

^" + (s + s'<i>)K = u + ir* [3

L'équation (2) ne contient que les variables * et r. Si Pôn peut trouver une valeur pour 4> qui satisfasse à cette équation, on la substituera dans l'équation (3), qui ne contiendra plus que les variables u et v, et qui rentrera dans les cas traités n° i38 et suivants.

4T>G. Si les coefficients S, T, S', T des équations (1), sont constants, on pourrait satisfaire h l'équation (2), en prenant

pour 4> un nombre constant, ce qui donne — =0, la valeur

de ce nombre étant déterminée par l'équation du second

degré

En appliquant d'ailleurs à l'équation (3), la méthode du n° 386, on trouvera pour l'intégrale de cette équation

n = ^<s+y*>[<i+/rfr(U+U'<I>) . e(S+S'4»].

a étant la constante arbitraire. On doit mettre dans cette expression à la place de * , les deux valeurs qui satisfont à l'équation (4); en les désignant par *t et <!>,, et remplaçant m par son expression en x et y, on aura les deux équations primitives

x+^y^e-ls+s'+iïlat+fdviV+m^) . efs+S'4M\/| , x+Qty=e^.s+y*t)*[ai+fdv(y+V<t>î). e(8+S'*s>] ,

au moyen desquelles on pourra déterminer les expressions de chacune des variables a: et y en fonction de r.

457. Si les racines de l'équation (4) étaient imaginaires, et désignées par i zh 6 ^—\ , l'équation (2), a laquelle la

quantité 4» doit satisfaire , pourrait alors se mettre sous la forme

ou bien

dont l'intégrale est

+ S7to=0;

arc. tang. — g— =C — S'i? f

C désignant une constante arbitraire, et donne * = a + 6. tang. 6(C — S'r),

En donnant à la constante G deux valeurs particulières quel-

conques; en supposant par exemple 6C=0 et 6C = -, oo aura les deux valeurs

<l»:=a— 6.tang.6S't> et «l> = a4-6.coL6S'i?t

qui étant substituées successivement dans l'équation '•> . donneront les deux équations nécessaires pour déterminer/ et y en fonction de v.

Si les deux racines de l'équation (4) étaient égales cotn» elles, et représentées par o, l'équation (2) se mettrait sous la forme

— îoy —

dont l'intégrale est

= C + Sï?f

C désignant toujours une constante arbitraire ; d'où Ton tire .