C + SV

En donnant à G deux valeurs particulières quelconques, supposant par exemple C = oo et C = 0 , on aura

* = P et 4> = p + g^,

valeurs qui devront être substituées comme ci-dessus dans Téquation 5 .

458. Supposons maintenant que Ton ait trois équations du premier ordre entre les variables x, y, z et la variable indépendante r, qui, d'après ce qui a été dit n° 435, pourront toujours se ramener à la forme

dx dv

dv dz dv

+ S'x + Ty + \J'z = r,

+ SP* + T"y + U"z=Y".

On multipliera respectivement la seconde et la troisième équation par les facteurs indéterminés <!> et T , et on les ajoutera à la première , ce qui donnera

de + * do + r sf +(S + s'*'+ s^x + (T+T'<|,+T"^y .

+ (u +JJ'*b+JJ"V)z = V+V'*+V*V.

du dv

On posera ensuite

*+*îf+Y*=«t d'où x = u — *y— Vz,

d»+ d»+ dv-dï~~dov do''

u désignant une nouvelle variable. Ces valeurs étant substituées dans l'équation précédente , il viendra

+(S+S,*+S'/T)«— jl ^ +(s+S'<î>+S"Y)*— (T+T'*+T"T)]

Ainsi, déterminant <1> et Y de manière à satisfaire aux dcui équations

fL. +(s+s'0>+s"HO*~ (T+T'<N- t"*)= o ,

~ +(S+S'«I>+ S"T)T— (U+U'<fc+U"Y)=0; il restera à intégrer

d" +(s+s'*+s>"ll> = V-f Vtf+V H'#

entre les seules variables u et t?. Les équations seront donc résolues si Ton peut trouver des valeurs de * et Y qui satisfassent aux deux équations dont dépendent ces fondions.

459. Si Ton admet, comme dans le n° 436, que les coefficients S, T, U, S', T', U', S ", T", U" des premiers membres des équations proposées soient des nombres constants, on pouîra prendre pour * et T des valeurs constantes, déter-

minées par les équations

(S+S'fc+S'T)* — (T+TQ+T'H) = 0 , (S+S'^+S"^)1*' — (U+U'*+U"Y) = 0,

et comme les équations finales donnant les valeurs de ct> et 1' monteront au troisième degré, on aura trois systèmes de valeurs que nous désignerons respectivement par *, et ^\ , *s ctH-5,*setT3.

L'intégrale de l'équation entre u et v étant d'ailleurs

nous aurons les trois équations primitives

*^+T3y=e^8+S'*3+S''V3>[a3+/rfi?(U+U'*3+U/,,r3]. tfS+S*,+8"Vj)»] ,

qui détermineront les valeurs de #, j/, je en fonction de t>.

La même méthode s'applique aux cas où Ton a un plus grand nombre de variables et d'équations différentielles, et Ton voit que ces équations s'intègrent toujours lorsque les coefficients des premiers membres sont constants.

460. Nous avons supposé jusqu'ici que les équations différentielles proposées étaient du premier ordre. Le cas où ces équations sont du second ordre et des ordres supérieurs est ramené au précédent de la manière suivante. Soient j par exemple, les deux équations du second ordre

— lia —

On posera -j-=P,-r = <I> P et 9 désignant de nouvelb av av

variables. On aura alors les équations du premier ordre ^ + Ap + Bq + Ctf + D0 = Ef

entre les quatre variables x> y, p, q% et la variable indépendante t. Ces équations étant traitées par la méthode <b n°* 455 et suivants , conduiront aux expressions demandât de x et y.