ARMÉE

Il eat la modula logarithmique* c'attrà-dira le norohe pu lequel il faut multiplier les logarithmes hyperbolique* pour avoir ceux du système de logarithmes dans lequel ou calcule.

531. La fonction exponentielle a* donne, en supposant toujours la différence Aa? constante,

Vcr = a?(a** — if

532. A l'égard des fonctions trigonométriques, en partant des formules connues

sio.A^.si|i.B=:2pin,|(4-P).çOB.|(A + B)l

cocuA t^00*B = — 2sliu^(A^P) . dm |(4 + B)» on trouve

A sln. a? = sin. (a? + Ar) — sln.a: = 38!n.|AaJ.cos.H(53^ + i^, Aaw.aj=cos.(* + Ax)~cos.a?=— 2sin.s^.sin.^(2«+^»'

puis A*atn.* = 2sin.^Aarrco8.|(2ar4-3Air)— cos.^(2* + Ax)]

s= — Asin.ft§ Aa? . 6tn,(x + Aa?>

— ii7 —

Et en continuant de la môme manière, on parvient aux formules générales

A*»sin.tf = ± S^sin.** ^ Aa? . sin. = (2s + ïnbx) A*** 4n.x ==fc 2t-+i ^««+1 1 4* . coa. | [a* + (2» + l)A*].

Les signes + ou — ont lieu respectivement suivant que le nombre » est pair ou impair.

La différence de Tordre n de la fonction sin. x s'exprime d'une manière encore plus simple au moyen des différences des ordres n — 4 et » — 2. On obtient en effet l'expression

A* sin.* = — 2* sin.» « AsfA»-1 sin.a? + A""1 sin.*) ,

qui se déduit des précédentes,

533. On pourra toujours, d'après ce qui précède, et conformément à ce qu'on a vu n° 526, obtenir ]e% flifférenoes partielles ou totales des fonctions de plusieurs variables.

Soit par exemple la fonction

on trouve, en supposant Ag constante

Au s= [9 + A#)A y -f àx . y A«t< = (a + 2Ax)A»y + 2Aa? . Ay A8m = (a? + 2Aj;)A'y + 3Aa? . Ay etc.

Soit encore la fonction

on aura

534. lies différences totales des fonctions de plusieurs variables s'expriment au moyen de leurs différences partielles, par des formules remarquables. Soit u une fonction des deux variables x, y, dont nous supposons les différences Ax eUj constantes. On a

AB^Aa + j^ + ^AaAy, expression qui peut s'écrire

Et Ton trouvera

^-[(1+KA,»)(t+è*)-iT« A*B=[(1+È**)(i+è*!')-^^

On obtient des formules analogues lorsque la fonction pro-

posée contient un plus grand nombre de variables. Si u contient les trois variables x9 y, z, on a également

^K(1+EA*)(1+4*)(1+Eà»)-iT"J

et ainsi de suite.

Intégration des fonctions.

535. Soit en premier lieu la fonction xm. En écrivant m + 1 au lieu de k dans la formule du n° 527, elle devient

et donne, en prenant l'intégrale de chaque membre,

d'où l'on déduit

+ m + l »« + l(k)ls^+ +(*■)«*«•].

Si l'on fait successivement dans cette formule m = 0, =1 , =î, etc., on trouvera

Sa?1

~"2AaT

*• ~3Aa:-

xàa;

Sa*.

a?* ~"4AaT

a£Aa?

6Aa? 2 ^12 ^^^r

etc.

Chacune de ces intégrales doit être complétée par une constante arbitraire. Cette constante se déterminé lorsqu'on Ûxe en même temps le premier terme de la série des quantités a?0, xi9 cft,».... ou a?0, xn + àx, a?0 + 8Aa?, etc.; elle premier terme de la série des quantités Sar0 , Sa?, , Sa:,, etc.

Ces résultats donneront les intégrales de toutes les focctions algébriques rationnelles et entières, l'incrément ai étant supposé constant.

536. On a, d'après le n° 528, en écrivant m att fcfi de k— 1,

A j (a +a?) (a + * + Aa?) (a + x + 2Aa?) • . ; ; ; (it + * + mAx) j = (a + x + Aa?)(a + a? 4- 2Aa?) (<* + * + ma*), (m + i>îar;

et par conséquent en intégrant de part et d'autre,

S { (a + x + Aa?) (a + » + 2Àa?) (a + * + *iAa?) J =