n = n*—n(n-i)M-^Ç^ (*-$*- etc

comme on peut s'en assurer. Nous écrirons donc simplement , au lieu de l'expression précédente :

k(k — 1) (k — *)..^4k — n + t)afi-«bar

+ W^~i} (n — 2)»+' — L*-*-«Aa;«+*

*(è-i)(fc-2)...[fc-(n + 2)]r

i.2.3 (ii + 3) L ** ;

+ î^=^ (n - 2)»+3 — 1a.*-*-*Aa;»+3

.4- ete***«.«*

On peut remarquer que dans le cas où l'exposant k est un nombre entier et positif : f ° la valeur de la différence de l'ordre k de la fonction xk se réduit à une constante dont l'expression est

A*.**:=fr(fc— !)(* — 2)(tf-3) 3.2.1&r*;

2° l'expression précédente de A\xà se termine alors par un dernier terme qui est

[„*„(„!)* + ï&gJÎ (»^2)*- ]**

Ces résultats donneront les différences d'un ordre quelconque de toutes les fonctions de la forme

Ax*+ Bz5 + teT + etc.

Parmi les fonctions rationnelles entières on distingue, a raison de la simplicité de l'expression de leurs différence, les produits de facteurs équi-différents, tels que la fonction

u = (a + x)(a + x + Ax)(a -f.x + 2A#). [a + x + (*— *A4

On trouve facilement

Anti = [a + a? + nAx]la + x + («— i^r] [a + * + (*— i^1

x *(fc— IX*— 2) (*— H+iJ. Ai*.

529. Quant aux fonctions rationnelles fractionnaires on en obtient les différences en les décomposant en fractions simples par les méthodes connues. L'expression de la différera se simplifie lorsque le numérateur est une constante et le dénominateur un produit de facteurs équi-différents. Soit

■(a+*)(a+a? + A*)(a + * + 2&c). [a-f x + [k— iW

on a

A ±A.fc(fc + l)(fc + 2) (/c + n-D-ir"

(a +*)(a +*■ + A*)(a + x + 2Xt).....la + a: f (fc + »-iM

Les signes + ou — ont lieu respectivement lorsque * est pair ou impair.

530. Nous considérerons maintenant les fonctions transcendantes. Soit

«rtlog.x:

nous aurons

A«= log,(x + te)— log.* = log. (i + ^J; et en développant

-"Ê-i®,+S®-KSy— }

Si la différence Aa? est supposée constante, on a

tft = log.(a? + te) = log. ML 4- — J + log.*,

ii1 = log.(x + 2Aa?) = log. U + —\ +\og.x,

il, = log.(* + 3te) = log- (i + ^)+ log.* f etc.

En développant ces expressions et les substituant dans les formules du n° 523, on trouvera

A»log.*=M[ 2 (^)f-etc]t

etc.