A l'égard des fonctions circulaires, l'équation

Acos*a? = — 2sin. ^te.sin.fz + ^Àxj du n" 532 donne

Bln.(o?+5 Aa?) = j^-f et sin.x—

d'où , en intégrant

ACOS.I

2sin.^A# 2sliL-Ax

COS

£sin.£= ^ — j - + const.

2aJn-<rkr

On déduira de la même manière de l'équation Asln.o; = 2sin. çAtf.cos.hr + s**) du même numéro,

sîn. (a?— = to) Scos.g= "N * /, '2sin.^Àx

On peut, au moyen de ces formules, intégrer les fonctions composées de termes de la forme sin.*x.cos/\r, loftp*

m et n sont des nombres entiers et positifs. En effet, ces fonctions peuvent être transformées en une suite de termes contenant les sinus ou cosinus des arcs multiples de l'arc x; et Ton a évidemment

£diL(p+<F) =

Sco&

2sIn.£qrAx

sin. (p + qx— 5?te)

ItitiL^qbx

540. Si l'on cherche à appliquer aux intégrales finies le procédé de l'intégration .par parties, on posera, en désignant par P, Q deux fonctions quelconques de la variable x,

•EPQ = Q.SP + 2f

x étant une fonction de la même variable, qu'il s'agit de déterminer. Différentiant chaque membre de l'équation, il viendra

PQ = (Q + AQ).Z(P + AP) — Q . SP + te, ou (en remarquant que s.AP=P),

0 = AQ.:£(P + AP) + A2:f d'Où 2 = — 2[AQ.2(P + AP)].

Donc

. SPQ = Q.SP— S[AQ.2(P + AP)] t OU

SPQ = Q.SP— 2(1Q.ÏPJ;

et par suite

234 — SPQ=Q.SP-AQ*S«PI +S(tfQ.ïtPt)f

etc.

SPQ=Q -£P— AQ.^PJ+AHJ.S'P,— ^«Q.^+âHî.^P^efe

Cette formule peut être mise aussi sous la forme

SPQ = Q . 2P — AQ.(2*P + ïP) + A«Q .(S*P + 22*P + 2P) — À»Q . (S*P + 3S8P + 3S8P + SP) + etc.

Elle s'arrête lorsque les différences d'un ordre quelconque de la fonction Q deviennent constantes.

Sommation en suites.

541* On a vu, n° 524, que Ton avait généralement

Slln = Stt0 + tt0 + tfj 4- M, + ** + «g + + «**-i t

formule dans laquelle £u0 représente une constante arbitraire. Par conséquent, si nous écrivons

Sm» = «0 + «t + ut + Mj + + u„ ;

c'est-à-dire si nous représentons en général par Sun la somme des valeurs de la fonction u jusqUeé à la Valélif Uni y compris cette valeur, nous aurons la relation

Stt» = ZUn + Un + £0115*.

On voit qu'il est nécessaire dé distingué* YiHtégraU désignée par le signe 2 de la somme désignée par le signe S. Ges quantités diffèrent en ce que la dernière exprime la somme des termes de la suite u0, ul9 u,, etc., jusques et compris

le terme u%, tandis que ce dernier terme n'est pis compris dans l'intégrale. On peut d'ailleurs supprimer l'indice ** et écrire simplement

au = tu + « + consti

La constante se détermine d'après la connaissance du terme par lequel doit commencer la série des fonctions désignées par u, dont Su représente la somme.

542. Soit demandéef par exemple, la somme des puissances des nombres entiers. On fera dans les formules du n° 535, Aj?=4, et Ton aura, en déterminant la constante de manière que les séries commencent par l'unité, cas dans lequel sa valeur est nulle , '

&fe ! + *+»+«»+ + ^=|a* + |** + ^

&r>=4 + 2»+3»+A8+ + afc:*x* + *«•+*<*

S*«=i + 2«+3«+ft»+ + x»=|^ + |^+^-^

S^=i + y+3i+4fl4- + a*=**7 + |*6+|*«-- |*" + ^*

etfc