X XX

se réduit à zéro pour x = 0, et cependant le rapport des dérivées donne

sin.- + 2a?cos.x x

cos. x + sin. - + 2 cos. -

fraction qui ne tend pas vers une limite déterminée lorsque x tend vers zéro.

Peut-être est-il bon d'ajouter que les règles du genre de celles que nous venons de discuter, et qui se rapportent à des valeurs singulières et exceptionnelles, ont presque toujours des cas en défaut qui résultent de leur nature même. H faut en user avec réserve et s'assurer, dans chacun des exemples auxquels on les applique, que l'usage en est légitime. Ces règles n'en ont pas moins une utilité incontestable; aussi les géomètres ont-ils apprécié depuis longtemps l'extension élégante que M. Gauchy a su donner au théorème de l'Hôpital concernant les fractions qui se présentent sous la

forme -.

Sur un problème de géométrie relatif à la théorie des tnazima et minima.

1. Quand on traduit en analyse un problème de géométrie, on doit en général avoir égard à certaines conditions spéciales, attachées à la nature de ce problème, quoique non exprimées explicitement : on arriverait quelquefois à une absurdité si Ton négligeait de tenir compte des conditions implicites dont il s'agit. L'exemple suivant me parait, à cause de sa simplicité môme, bon à développer devant des élèves.

On propose de trouver la ligne droite la plus courte ou la plus longue que l'on puisse mener à un cercle donné , d'un point A pris dans son plan. Soient 0 le centre du cercle, r son rayon, et x , y les coordonnées rectangulaires d'un des points M de sa circonférence, en sorte que

soit de plus OA == a, et admettons que Taxe des x coïncide avec la droite OA. On aura

Telle est la quantité qu'il faut rendre un maximum ou un minimum. Or si, d'après la règle ordinaire, on voulait égaler à zéro la dérivée de cette quantité, on trouverait l'équation absurde

d'où il semblerait résulter que le problème n'a aucune solution, tandis qu'évidemment il en a deux.

9. Pour faire disparaîtra le paradoxe , il suffit d'observer que par la nature même du problème de géométrie qui nous occupe, l'abscisse x ne peut varier qu'entre les limites — r, + r. Or la fonction

a1 — 2ax -f r*

est décroissante quand on suppose, ce qui est permis, a positif: la plus petite valeur de cette fonction répond dès lors à x — — r et la plus grande à x = r. Donc, etc.

Si, au lieu de prendre pour axe des x la droite OA, on avait pris une autre droite à volonté, l'analyse seule aurait conduit sans aucune considération accessoire quelconque à la solution demandée, et la difficulté indiquée ne se serait pas présentée à nous. En nommant a, p les coordonnées du point A, on aurait eu

ÂM* = r1 — 2aa:-- 2& + a» + p»,

d'où , par la considération ordinaire du maximum ou minimum,

Mais l'équation du cercle donne

dx~~ y'

il vient donc

Cette dernière équation est celle de la droite OA : les points où la droite OA coupe le cercle sont donc les points cherchés. Ici les points dont nous parlons sont immédiatement fournis par la méthode ordinaire. La raison toute simple en est que leurs abscisses sont comprises entre — r et + r, et sont différentes de ces deux limites, de telle manière que la fonction

ÀM1 = r1 — 2*r — *Py + rf + P

augmente lorsqu'on passe, par exemple , de l'abatisse qui répond au minimum aux abscisses plus grandes ou plus petites qui sont à côté. Quand on prend, au contraire, la droite OA pour axe des x9 le minimum répond kx = r, mais c'est un

minimum de AM ou a* — lax + r* sous le point de vue géométrique, en comparant à l'abscisse r des abscisses toutes plus petites que r, et non sous le point de vue analytique où Ton aurait à comparer à l'abscisse r des abscisses à volonté plus grandes ou plus petites.

Sur quelques intégrales définies.

\. Legendre a donné le nom d'intégrales eulériennes de première et de seconde espèce aux deux intégrales suivantes :

/i af-i(i — xfr+dx, f cr*ar-lds:

qui se présentent souvent dans les applications et dont Euler s'est beaucoup occupé : p,q, n, sont des exposants positifs quelconques. On désigne ordinairement par r(n) la seconde de ces intégrales, en sorte que

/QO e-'jp-tdx,

en posant c~x=z, ou x=y*> on a encore

Hog.M dz = 2J e^*y**-*dy.

En intégrant par parties, on trouve

er*xn-xdx = h- / er*x*dx:

n nj

donc, entre les limites x=0, ar=oo , il vient ^"'.r"-1 rf«=- / e-*xndxf

o Wc/ o

c'est-à-dire

T(n) = r(w + iJ ou r(n + i) = nr(it).

Cette formule permet de calculer la valeur de r(n), quel que soit l'indice n, lorsque cette valeur est connue pour n< 1 . Elle donne successivement

r(ft) -s 3r(3) = 3 . 2 . i . r(i)„MM..

or

Donc

/oo r(n) = i.2.3.f...(n — 1),

n étant un nombre entier quelconque.

On trouve de même

r/2n + l\2n— 1 2n — 3 3 1 /1\ *\ 2 /~~"2~~ " 2T" 2'5,rV2A

Mais

Donc en général

S. L'intégrale eulérienne de première espèce s'expnw

toujours en fonctions r à l'aide de la formule suivante :

Cette formule est due à Euler. Voici comment M. Poisson la démontre par la considération des intégrales doubles. 11 multiplie membre à membre les deux équations

r(p) = 2 Ç^e-fy^dy, T{q) = 2 f °° e-****-1 dx 9

et observe que le produit des deux seconds membres est égal à quatre fois l'intégrale double de

*-(»*+*'; jfp-i «»«-i dydx ,

les limites de l'intégrale étant 0 et x pour les deux variables. On a ainsi

Mais si Ton regarde x et y comme des coordonnées rectangulaires, et qu'on y joigne une troisième coordonnée x perpendiculaire aux deux autres, l'intégrale double dont nous venons de parler représentera le volume compris dans l'angle des coordonnées positives, entre les plans des xy, des xx, des yx, et la surface dont l'équation est

L'expression de ce volume changera de forme si Ton rem-

place les coordonnées rectangulaires x et y par descoordoc nées polaires r et *>, en faisant

& = rcos.ci>, y = rain.ft>.

L'élément de volume sera z . rdrdt* , et il faudra intégrer entre les limites

ci> = o, w=s» r=0, r = ao. On aura ainsi

c'est-à-dire

r{p)T(q)z=ti f f ^.r*<^-tsin.^U.cos.*-I«.<W».

en remplaçant z et ensuite y et x par leurs valeurs. L'intégrale double placée dans le second membre est le produit de deux intégrales simples, dont lune, savoir :

e-r\r»<H-«>-idr

est égale à ^T(p + q), et dont l'autre, savoir :

sin .t|»-1 w cos. *-1 otffco f se réduit k

— 34* — lorsqu'on pose sin.» = y/S. H suit de là que

par suite on a

ce qui démontre la formule d'Euler. On voit par cette formule que Fintégrale eulérienne de première espèce est une fonction symétrique des deux paramètres p et q dont elle dépend.

3. En généralisant la formule d'Euler, M. Lejeune Dirichlet a obtenu des résultats intéressants. Il a considéré l'intégrale

V = Ç f.... far-*if-1....2!'-*dxdy....dz9

dans laquelle les variables x,y,...,z doivent prendre toutes les valeurs positives qui satisfont à l'inégalité