D'abord en remplaçant

(f j par x> (fjW »»• •* (fjp*1, *> etdx,dy,... , dxpar

-a* ds, £y dy,...t ±# «te, on a

U étant une intégrale

de même forme ({116 V, mais dans laquelle £, jf, ... , * doivent prendre toutes les valeurs positives qui satisfont à l'inégalité

En posant

il viendra

f f ». fx**.yt-i..zm-i*dxdy...dz, et il s'agira de prouver que

»)• M*rfi + fc + /+... + m)

5. Quand le nombre des variables x, y, etc., se réduit à l'unité, on a

J o fc r(i + fc)

la forrtmle (5) est dotoc exacte alort.

Elle Test également, d'après un théorème connu, lorsque le nombre des variables x,y, etc., se réduit à 2 : il viêftt ' dans ce cas

Or, par là formule d'Euler» on a

et il en résulte

ce qui s'accorde avec la formule (5)«

6. Supposons maintenant que U soit une intégrale triple : on pourra l'écrire ainsi :

y, et *t représentant respectivement les diflWrences i**-œ, 4 «^^o-y, en sorte que Ion a

Désignons par u et r de nouvelles variables, et posons

* = t«lf y = uyt;

les limites communes de u et v seront 0 et 4 : l'intégrale U prendra ainsi la forme

puis, à cause de

y, = i— *, *i = yi — uy,=(i— *)(i — u), elle deviendra

Les intégrations relatives aux diverses variables peuvent maintenant s'effectuer indépendamment Tune de l'autre, et comme on a

la valeur de U sera finalement

T, r(fc)r(/)r(m) u""r(i + fc + / + m)'

conformément à la formule (5).

S'il y a quatre variables indépendantes x,y,z,t, dans l'intégrale U , la valeur de cette intégrale s'obtiendra encore par le même procédé. On supposera les intégrations effectué* successivement sur l, s , y et x, et Ton posera

1— x = yi9 y, — y = st, z^ * = «,,

les limites relatives à t,z9 y et x seront respectivement 0 et iv 0 et zt, 0 et yt, 0 et 4 : si donc on remplace t, z et y par de nouvelles variables liées aux premières par les relations

t = wti , z = vzx , y = tiyj ,

les limites communes à ces nouvelles variables seront 0 et 1 : de plus on aura

par conséquent, les variables x, u, v, w pourront être séparées; en d'autres termes l'intégrale multiple U se décomposera dans un produit de quatre intégrales qui toutes s'exprimeront par les fonctions r à l'aide de la formule d'Euler. Cette méthode est générale, et quel que soit le nombre des variables x, y, etc., elle conduit à la formule (5) qui se trouve ainsi démontrée.

Sur l'évaluation approchée du produit 4.2.3 x,

lor$qu$ a ut êrêê-grané*

I. La méthode dont je me servirai pour démontrer la formule de Stirling qui sert à cette évaluation, ressemble beaucoup à celle employée par M. Lacroix dans son Traité élémentaire du calcul différentiel et du calcul intégral (page 678 de la cinquième édition). Cette méthode consiste à chercher le logarithme du produit 1.2.3 x, et elle repose sur la formule connue de Wallis

2~~ï'3'3'6 to— rà*TÏ'*

en vertu de laquelle la quantité

2 log. 2 + 2 log. A + + 2 log. (2s — 2) + log.(fcr)

— 2 log. i — 2 log. 3 — — 2 log. (2x— 3)— iOg.(2«- 1)

se réduit à log.it — log. 2 lorsque a? = oo. Mais je la compléterai en donnant une limite supérieure de l'erreur commise dans l'évaluation approchée de log. (i. 2.3 x).