SoH (1) f(*,y,y' y

une équation différentielle de Tordre n; y, y', yw étant

les dérivées successives de y. L'intégrale complète de cette

équation (intégrale que je suppose connue) contiendra *

constantes arbitraires a, b, c, et sera de la forme

y = F(x, a, 6, c) ou plutôt 9(2, y, a, 6, c)=0.

Maintenant, différentions par rapport à a les deux membres

du de l'équation (1), et représentons par u la dérivée -g- 0

nous viendra

w ^^«fc + dyw^-0'

<fef On aurait eu la même équation si, au lieu de poser -r =*>

on avait posé -g- = u ou — = u. Donc les dérivées de y

prises par rapport aux n constantes a, 6, c représentent

autant d'intégrales particulières de l'équation linéaire (2); de sorte qu'en général l'intégrale complète de cette équation (2) est

u-*dï + Bdb + + CS'

A; B, G étant des constantes arbitraires.

9. Gfl théorème, aussi simple que remarquable 4 est dû à Lagrange, qui en feit la base d'une méthode d'approximation &9M m mémpire couronné par l'Académie des sciences (*). Plus tard Jacobi l'a rencontré à son tour, sans connaître le travail de I^agr^nge, et s'en est servi dans de belles recherches sur le calcul des variations. 11 s'étend de lui-même à un système quelconque d'équations différentielles simultanées. Pour l'appliquer à un exemple, considérons le cas particulier où l'équation (1) est de la forme

cette équation peut alors s'intégrer, car, en Ift multipliant par 2<fy, elle nous donne

d'où l'on tire

et par suite

•2/?(y)rfy

Pu vertu de cette dernière équation > y est une fonction de z, f ? 6, Or il suit du théorème de M. Jacobi que l'équa-

tion linéaire — = <p'(y)u, où y' {y) désigne la dérivée de y,

aura une intégrale complète de la forme ¥ = A-r + B^9

aa db quelle que soit la fonction <p.

(*) Recherches sur la théorie des perturbations que les comètes peuvent éprouver par V action des planètes, tome X, page 65, du Recueil des savants étrangers.

3. Nous avons dit que Lagrange a déduit de sou théorème une méthode d'approximation. Gela est aisé à comprendre. Supposons en effet qu'ayant intégré complètement l'équation

W f(*,v,v' yw)*=o,

on veuille passer de là à l'intégrale approchée de l'équation

où Q désigne une fonction de x dont la valeur est supposée très- petite. Il suffira d'augmenter la valeur de y fournie par l'équation (1) d'un très-petit terme u, vérifiant l'équation

df , df du , , df d*u rt

dy ^ dy' dx + ^ dyw ds" ~~ v '

qui est linéaire et ne diffère de l'équation (2) ci-dessus qu'en ce qu'elle a un second membre* Q, fonction connue de x; en sorte qu'on en trouvera toujours aisément l'intégrale, puisque l'équation (2) s'intègre. On fera d'ailleurs, si l'on veut, une seconde, une troisième approximation, d'une manière analogue. Cette méthode s'applique à un système quelconque d'équations simultanées. Elle peut servir, par exemple, à déterminer le mouvement troublé d'une planète ou d'une comète, en prenant pour point de départ le mouvement elliptique de cet astre, soit autour du soleil, soit, en général, autour du centre d'action qui prédomine.