XXVIII. Intégrales définies

XXIX. Usage des intégrales définies pour l'évaluation des longueurs

des courbes , des aires et des volumes.

1° Aires des courbes planes

2° Longueurs des courbes planes

3* Longueurs des courbes à double courbure.

4* Volumes des solides de révolution

&* Aires des surfaces de révolution

6* Volumes des solides d'une figure quekoniue, . „ . V Aires des surfaces d'une figure quelconque

RÉSUMÉ

DONNÉES

PREMIÈRE mil

I. DBS FONCTIONS EN GENERAL. DES FONCTIONS DERIVEES ET DES DIFFERENTIELLES.

4. L'analyse algébrique considère les relations qui existent entre des quantités connues et des quantités inconnues, relations qui sont exprimées par des équations. Elle a pour objet principal de trouver les valeurs déterminées des inconnues qui satisfont à des équations données. En général, chaque inconnue prend une valeur unique lorsque les équations sont du premier degré, ou plusieurs valeurs différentes lorsque les équations sont d'un degré plus élevé : mais ces valeurs sont toujours des quantités déterminées réelles ou imaginaires.

L'analyse différentielle et intégrale , et toutes les parties

des mathématiques qui en dépendent, considèrent les relations qui existent entre les quantités constantes (c'est-à-dire qui conservent toujours une même valeur) et les quantités variables. Ces relations sont toujours exprimées ou censées exprimées par des équations. Mais le nombre des quantités appelées variables étant plus grand que celui des équations , ces quantités peuvent prendre une infinité de valeurs différentes , qui sont seulement assujetties à satisfaire aux équations données.

2. Admettons que la question dont on s'occupe comporte n équations, et qu'il y ait un nombre m de variables plus grand que n. Comme n équations ne peuvent déterminer que n inconnues, il y aura m — n variables dont les valeurs demeureront arbitraires. Mais quand on aura fixé ces valeurs à volonté, celles des n autres variables se trouveront entièrement déterminées. C'est ce qu'on exprime en disant que ces dernières variables sont fonctions des premières. En général, on distingue dans chaque question : Ie les variables indépendantes auxquelles on peut attribuer des valeurs quelconques ; 2° les variables dont les valeurs sont déterminées quand on s'est donné celles des premières, et qui en sont des fonctions. On peut choisir à volonté celles des variables qui seront indépendantes ; mais les formes du calcul exigent que ce choix étant fait, rien ne soit changé à cet égard dans le cours de l'opération; ou du moins un tel changement exigerait des précautions et des transformations particulières.

Pour fixer les idées, considérons deux variables a;, y, entre lesquelles il existe une seule équation. La valeur de l'une de ces variables , de x par exemple , peut être prise arbitrairement; mais à cette valeur arbitraire correspondra toujours une valeur déterminée pour y. Ainsi x sera la variable indépendante, et y une fonction de x.

Si l'on avait trois variables x , y, *, et une seule équation entre ces variables, on pourrait regarder a? et y comme in* dépendantes, et z serait fonction de x et y. Mais s'il existait deux équations entre x, y et z, la seule variable x serait in* dépendante , et les variables y et « seraient chacune fonction de*.

Ces notions s'étendront facilement aux cas où Ton aurait on plus grand nombre de variables et d'équations.

3. On exprime qu'une quantité y est fonction d'une autre quantité x (c'est-à-dire que y doit prendre une valeur déterminée quand on donne à x une valeur arbitraire) en écrirai

y=zf(m) ou y = F(x),etc.

Lorsque z est fonction de deux variables x, y, on écrit

z=zf(x,y) ou 2=F(x,y);

et ainsi de suite.

Une expression analytique formée d'une manière quelconque des variables #, y, z, et d'autres quantités constantes, s'exprimera donc par F (x, y, z), en sorte qu'une équation quelconque entre les variables x , y, z est représentée par

S cette équation est résolue par rapport à z , elle prendra Itfcnae * = /•(*, y).