Soit la relation donnée

admettons que l'on attribue à la variable indépendante x

toutes les valeurs possibles depuis — a> jusqu'à + oo , et considérons les valeurs correspondantes que prendra la fonction y. La géométrie donne le moyen de se représenter facilement la succession de ces valeurs. On peut prendre x pour une abscisse comptée à partir d'une origine fixe sur un certain axe , et y pour l'ordonnée correspondante comptée sur un axe perpendiculaire au premier. Les valeurs de y correspondantes à celles de x dans l'équation donnée y = f(x) appartiendront à une ligne MN {fig. 1) , dont la figure indiquera la marche des valeurs dont il s'agit. Il est nécessaire d'avoir toujours présent à l'esprit , non pas telle valeur particulière de x et la valeur correspondante de y , mais l'ensemble des valeurs correspondantes de ces deux variables.

5. Parmi les propriétés que peut offrir la fonction y = f(x), ou la ligne qui représente cette fonction, la plus remarquable, celle qui est l'objet principal du calcul différentiel, et dont la considération se reproduit constamment dans toutes les applications de ce calcul à la physique et aux arts , est le degré de rapidité avec lequel la fonction varie lorsque la variable indépendante x vient à varier. Ce degré de rapidité de l'accroissement de la fonction , quand on fait croître la variable, peut différer, non-seulement d'une fonction à une autre, mais encore pour la même fonction, suivant la valeur attribuée à la variable , à partir de laquelle on suppose que l'accroissement de cette variable a lieu. Pour nous former des notions précises sur ee point, attribuons à x une valeur déterminée représentée par OP, à laquelle correspondra une valeur également déterminée y = f(x)> représentée par MP. Supposons ensuite que x augmente à partir de cette valeur d'une quantité quelconque que nous désignerons par Aa? , et qui sera représentée par PQ. La fonction y variera en conséquence d'une certaine quantité ,

que nous désignerons également par Ay, en sorte que l'on aura

y 4- Ay = f(x + te) ,

ou

*y = fi» + te) — f{x).

la nouvelle valeur affectée parla fonction y est représentée dans la figure par NQ, et NR représente Ay ou la variation

subie par cette fonction. Le rapport — de l'accroissement de

la fonction à celui de la variable , dont l'expression est

Ay__flx+te) — f[x) te"" te

est représenté par la tangente trigonométrique de l'angle NMR formé par la sécante MN avec Taxe des x.

Atf

6. D est visible que le rapport ~- est l'expression naturelle de la propriété dont nous avons parlé, c'est-à-dire du degré de rapidité avec lequel la fonction y croît quand on fait croître la variable indépendante x : car plus la valeur de ce rapport sera grande , plus l'accroissement de la fonction sera considérable quand on fera croître la variable de la quantité donnée te. Mais il est bien important de remarquer

Ay que la valeur de — (à l'exception du seul cas où la ligne

MX serait une ligne droite) dépendra non-seulement de la valeur attribuée à x> c'est-à-dire du point M où l'on s'est placé sur la courbe, mais encore de la grandeur absolue attribuée à l'accroissement te. Si nous laissions cet accroissement arbitraire , nous serions dans l'impossibilité d'assi-