XXII. COURBES A DOUBLE COURBURE

221 Une ligne courbe quelconque existant dans l'espace est donnée par ses projections sur deux des plans coordonnés. Soient

1" AKHÉE. 15

— zXD —

les équations des projections d'une courbe proposée m les plans des xy et des xz. En éliminant x entre ces deux équations, on en trouvera une troisième entre y et s, qui appartiendra à la projection de la courbe sur le plan des yx. Dans ces équations, x est la variable indépendante , y, x sont des fonctions déterminées de x. La position d'un point d'une courbe est en effet déterminée quand on se donne une seule des coordonnées de ce point.

223. Considérons les deux points de la courbe auxquels appartiennent les abscisses x et j?-f Aa\ La sécante passant par ces deux points, tend à se confondre, à mesure que Ax diminue , avec la tangente menée à la courbe dans le point dont l'abscisse est x. Or, les trois coordonnées du premier point étant x, y, z, et celles du second j?-|-A$, y + AV> * + A*> Ay et A* étant déterminées par les équations précédentes, les cosinus des angles formés par la sécante avec les axes des x, des y et des s sont exprimés respectivement par

v/Aj^+A^+A**' v/Âxï+Ât/S+ÂF*' v'Axî+Ayî+A*v

ou bien

VWI)*+(ë)' VMSW \MIH

Mais à mesure que Ax approche de devenir égale à aéfo. les rapports—, — approchent des limites -7=-, -=-, c'està-dire des coefficients différentiels des fonctions y = f{x).

*==fl(*j qui représentent les ordonnées des projection* de la courbe sur les plans des xy et des «. Donc, appelât «, *, «y les angles formés par la tangente de la courbe avec les axes des x, des y et des z, on a

<**«=• , A =3 cos.6 = **

\FWFW "VKè)'+ (S)"'"

COS.f:

s/^lFW

formules où l'on substituera pour ■— et — leurs valeurs

déduites, des équations y=f[x), s=F(j?).

2£t. Les expressions précédentes donnent immédiatement les équations de la tangente. Soient en général

y — y' = m(x — af), z—z' = n(x—x')9

les équations d'une droite quelconque passant par le point de la courbe dont les coordonnées sont s?9 y1,*'. Cette droite touchera la courbe, si Ton a (d'après ce qu'on a

cos.6 dx'* cos. a dx*'

Les équations de la tangente sont donc

dzf

*-*=%(*-*)* *-*=%(*-*)> *-*=^(y-vf);

dx'

et, comme il était aisé de le prévoir, les projections de la tangente sont tangentes aux projections de la courbe.

225. On en déduit également l'équation du plan normal. Soit en général

z—z' = fix—x,) + Q{y — y')

l'équation d'un plan passant par le point de la courbe dont les coordonnées sont a?,*/,*. On voit par le n* 214, que ce plan sera perpendiculaire à la tangente de la courbe, si l'on a

r- JL — te

L'équation du plan normal dont il s'agit est donc