COS.V

Ces expressions conviennent également aux angles formés par le plan tangent avec les plans des yz> des xz et lies iy. Si Ton y prend le radical positivement , elles conviendront à la partie de la normale qui est située, par rapport à la surface, du côté des z positives, ou qui forme un angle aigu avec les z positives.

ilS. Si l'équation de la surface proposée est présentée sous la forme

elle aura pour équations différentielles du premier ordre, d'après ce qu'on a vu n° 45 ,

dx + dzdx~ ' ~dy + dzdy-"'

L'équation du plan langent deviendra

rfF dF dV

les équations de la normale seront

dF dF

dx' dy'

cos. X =

enfin , les cosinus des angles X, ^, v, formés par la. normale avec tm* te # , des y et des z, ou par le plan tangent avec les plans des y* , des a?* et des a?y, auront pour expression*

COS.[i=

vww^)" vww

cos. v =

VŒfflëMiï

219. Un plan tangent peut, en général, avoir avec une surface un » ni point commun, qui est le point de contact; ou bien il peut la couper suivant une certaine ligne; ou simplement la toucher sans la couper; ou. enfin, la toucher et la couper en même temps dans toute retendue de cette ligne. On remarque les cas où le plan tangent touche la surface dans tous les points d'une même ligne droite, propriété qui appartient aux surfaces cylindriques et coniques, et plus généralement aux surfaces développables ; et le cas où le plan langent f coupant la surface suivant une ligne droite, la touche dans un seul point de cette ligne, propriété qui appartient aux surfaces gauches.

Les coordonnées x, y,z de la ligne d'intersection du plan qui louche la surface au point dont les coordonnées sont x ', y\ z . satisfont évidemment aux deux équations

En éliminant entre elles Tune quelconque des variables x.

y et z, on aura les équations des projections de cette ligne sur les plans coordonnés.

220. On nomme en général plan normal à «ne surface, en un point donné , tout plan mené par ce point perpendiculairement an plan tangent. La normale est la ligne d'intersection de tous les plans normaux. Soit , en général,

l'équation d'un plan quelconque passant par le point de la surface dont les coordonnées sont x'9 y*, je'. Ce plan sera normal à la surface, si les constantes f et g satisfont à l'équation

qui s'obtient par la condition que le plan normal soit perpendiculaire au plan tangent, d'après les n0- 215 et 218; ou par la condition que le plan normal contienne la normale, d'après les nM 213 et 216.

221. Nous remarquerons enfin que si l'on mène un plan quelconque par le point de contact commun à la surface et à son plan tangent, l'intersection de ce plan avec le plan tangent sera tangente à l'intersection de ce même plan avec la surface proposée.