Pour trouver l'expression de la différentielle de l'arc
d'une courbe, soient M et H (fig. 41) les points dont les coordonnées sont respectivement x, y, % et x + Ax , y + Ay, z+ A*. La longueur de la corde MN sera y^a^ + Ay' + Ai*. Soit mené par le point M la tangente MT à la courbe, et ayant abaissé sur cette tangente la perpendiculaire NT, projetons Tare de la courbe MN sur le plan MNT. Appelant ? l'angle MNT compris entre la corde et la tangente, on voit que cette projection de Tare MN sera plus grande que MN, et plus petite que MT + NT, c'est-à-dire plus petite que
^bx*+ Ayf -f As* (COS.? 4- sin.<p).
Donc, appelant As la projection de l'arc MN dont il s'agit, oo a
fc=vA**+Ay»+Ay»(i+w), ou E= ^i + (£)"+(-) '(H--)
la quantité » étant <<?— -j — etc. Or, si Ton suppose
que tkx tende à devenir égale à zéro, l'arc de la courbe tendra à se confondre avec sa projection, et l'angle <p tendra à devenir nul. On peut donc regarder la limite du rap-
port — comme ne différant pas de la limite du rapport de
l'arc de la courbe à àx; et, en désignant cette dernière
limite par -y-, écrire ax
â=Vi+(sy+(£)'' et *=*&+&+&
On donnera le signe + ou le signe — au radical, suivant
que tare i augmentera ou diminuera quand oit fera croître l'abscisse *,
±lx. On peut d'ailleurs faire ici une remarque analogue à celle du n* 169. Les valeurs des cosinus des angles a, €, 7 formes par la tangente à la courbe avec les axes des x , des $ et d<*s st s exprimeront par
as *
cos. 6^
COS^y:
On donnera à la différentielle cftr , dans ces expressions , Ip ■igné -f ou le signe — , suivant que les angles *,6, y seront comptés à partir de Tune ou de l'autre des portions de la tangente qui sont séparées par le point de contact.
ItBt Lorsqu'on suppose, comme on l'a fait n* ^2» une courbe donnée par ses deux projections sur les plans des «ry et des xzy on regarde cette courbe comme étant Fintersection de deux surfaces cylindriques ayant ces projections pour bases s et dont les arêtes sont respect i veinent perpendiculaire» aux deux plans. Mais une courbe peut être ronsideiée d'une manière plus générale, comme étant Tinter^ section de deux surfaces quelconques représentées par les équations
fa, */, t) = 0 , f(x,yfz)-L
Les ordonnées y et z sont alors des fonctions implicites oY l'abscisse x. En appliquant donc les notions présentées dans les n^ A4 et 18 f on différent iera ces deux équations . ce qui donne
df df é» df ite di^dy dx^dz dr~Uj
r/F d? du d¥ dz A <lr du dix ttz (li
et en tirant les valeurs de -^- , — ,
dx dx
dfdF dPd£ ÉL^^^K
dy dx dz dx dz dz __dx dy dx dy
à*~ dFdf d£dF* dx~ rfF df__df^dF'
dy dz dy dz dz dy dz dy
Ces valeurs doivent être substituées dans les formules des numéros précédents. On pourrait ensuite en éliminer y et z au moyen des équations proposées f(x,y,x) = Qy F(*,»,i) = 0.
230. Remarquons d'ailleurs que, d'après le n° 318, si l'on désigne par #', y', *' les coordonnées d'un point de la ligne proposée, les équations des deux plans menés par ce point tangentiellement aux deux surfaces courbes , dont cette ligne proposée est l'intersection , auront respectivement pour équations
£i*-*)+$ty-y')+£,(z-z')=o,
Ainsi ces équations appartiennent à la tangente de la courbe et en déterminent la direction. En général, on a les équations de la tangente en remplaçant dans tes équations différentielles de la courbe, daf , dy', dz' par x — x\
Plan owulateur. Rayons de la première courbure et de la seconde courbure.
231. Les notions exposées dans l'article XVI sur le contact des courbes planes, s'appliquent généralement (comme
on a pu le voir dans l'article précédent) au contact des lignes et des surfaces.
Si Ton considère une première ligne représentée par les équations
puis une seconde ligne représentée par les équations
on verra qu'en supposant que ces lignes se rencontrent au point dont les coordonnées sont x, y, s, on aura
dx
dx* 2
dx
dx1 2
pour les ordonnées du point de la première courbe correspondante à l'abscisse x + h; et
pour les ordonnées du point de la seconde courbe correspondant à la même abscisse. Les différences de ces ordonnées seront donc respectivement
/d.F(*) d.*(x)\ AP.Ffr) tMW\A> et Ton aura
+etc,
v/tf+D1
pour l'expression de la distance dos points des deux courbes dont il s'agit. Or, on verra par les mêmes raisonnements employés dans l'article XVI, que les constantes arbitraires qui entrent dans les équations y = ®(x), % = <P(x) étant déterminées de manière à satisfaire aux conditions
-7—= 'l , * = * , la seconde courbe aura dx dx dx dx
avec la première un contact du premier ordre, et qu'aucune
antre courbe ne pourrait en approcher davantage, à moins
d'être assujettie aux mêmes conditions. On verra également
que si Ton satisfait de plus aux équations Tt = ' ,
- . , = — --i— ' , les deux courbes auront un contact du dr dx1
second ordre, et qu'aucune autre courbe ne pourrait approcher davantage de la première, à moins d'être assujettie aux mêmes conditions. Et ainsi de suite.
231 Le contact d'une courbe quelconque avec un plan peut être considéré de la même manière. Les équations de la courbe proposée étant toujours
soit en général
z— z'=m(F — x*) + n(y— yf)
l'équation d'un plan quelconque passant par le point de la courbe dont les coordonnées sont x', %(, *'. Si l'abscisse x' devient f + ^jOn aura pour le point correspondant de la courbe
et pour le point du plan qui répond aux abscisses x'-f- * du' d V h%
z— z'=mk + n
Prenant maintenant la différence des valeurs de z qui appartiennent au plan et à la courbe , on trouve pour l'expression de la différence
Si Ton veut donc en premier lieu que le plan soit tangent à la courbe, il faudra que les constantes m, n satisfassent à l'équation
dz' dy' A
et il est facile de reconnaître que cette équation exprime que le plan doit passer par la tangente à la courbe , en se rappelant ce qui a été dit n° 213, et ayant égard aux équations de la tangente données n° 224.
Cette équation ne suffit pas pour déterminer m et », et effectivement il existe une infinité de plans passant parla tangente qui tous touchent la courbe. Mais si Ton posr encore l'équation
dx* *dx»-*'
on établira entre la courbe et le plan la contact le plus intime qu'il soit possible , aucun autre plan ne pouvant passer
entre odui-à et k courbe. On tire de cette seconde équation, réunie à la précédente,
tfV te d'y' dy* tfz'
. dx* dx' dx'* dx1 dx*
« qui donne pour l'équation du plan nommé plan otcu- ^, parce qu'il a un contact du second ordre avec lu
courbe,
«^ ^Xd* dx* dx'dx*)[ * *>+ dx'*[y V)m
233. Dans ce qui précède x est prise pour la variable indépendante , y et z sont regardées comme des fonctions de*. Si Ton veut regarder x, y, z, comme des fonctions d'une autre variable indépendante quelconque, on obtiendrait l'équation du plan osculateur qui convient k ce
du' dW dx' d*z' m m reraP,a«ant Jj> d**> *&>■&-' T*T ,CS eXprCSsions données n* 74 pour le changement de la variable indépendante. Mais on y parviendra plus simplement en remarquant que l'équation générale d'un plan passant par k point de la courbe ayant pour coordonnées x',y', i est
Afcr— xO+Bfo — y^-f z— z' = 0,
et donne pour ses deux équations différentielles du premier et du second ordre, en faisant également varier *,jeti,
Kdx + Bdy + dz = Ù,
Ad**4- W¥+d*ç=;0.
Or, le plan sera le plan oscillateur demandé si ces deux équations différentielles sont satisfaites par les valeurs dx'y dy'9 dz' et dV, éPyf, <fV appartenant à la courbe. Déterminant donc les constantes A et B par les deux équations,
Adx1 + Bdy' + dz' = 0,
Ad*x'+Bd*y,+ dz' = 0,
et substituant leurs valeurs dans l'équation générale précédente , il viendra
(dy,d*z'—dz,d*y') (x—x') + (dz'dïx'— dx'd*z') (y — y1) +{dx'dty' — dy'&x1) (z — z') = 0 ,
pour l'équation du plan oscillateur.
Si Ton prenait x pour la variable indépendante, on devrait supposer dans cette équation dV=0 : on retrouverait ainsi celle qui a été donnée dans le numéro précédent.
234. Considérons maintenant le contact de la courbe à double courbure proposée avec une surface sphérique dont l'équation générale est
a, 6, y désignant les coordonnées du centre , et p le rayon, Si cette surface passe par le point de la courbe dont x', y, i représentent les coordonnées, on aura
De plus si elle touche la courbe Féquation différentielle di| premier ordre déduite de celle-ci en faisant varier seul* ment x\ y', z', qui est
(a— x^dx1 + (6— yT)drf + (Y — z^dzf^ 0 ,
devra être satisfaite par les valeurs de dx\ dy'9 dz' appartenant aux points de la courbe. Ainsi toute surface sphérique déterminée de manière que a, 6, y et p satisfassent à ces deux équations touchera la courbe proposée. On voit d'ailleurs par le n° 225 que la seconde de ces équations indique que le centre de la surface sphérique doit se trouver sur le plan normal à la courbe proposée.
235. Si la surface sphérique a un contact du second ordre avec la courbe proposée, il faudra que l'équation différentielle du second ordre déduite de la précédente, qui est
<b*+ dtf* + dz* — (a— afyJV — (6— yOdy— fr — zyfiz9 = 0,
soit encore satisfaite par les valeurs des différentielles de x> y' } f, tirées des équations de la courbe. Supposant donc ces différentielles déterminées de cette manière , toute surface sphérique pour laquelle « , 6, y et p satisferont aux équations précédentes aura un contact du second ordre avec la courbe proposée. Il est évident, d'ailleurs, que la dernière équation qui vient d'être obtenue étant déduite par la différentiation de l'équation du plan normal à la courbe au point dont les coordonnées sont x,y'9 x', on peut dire qu'elle se forme en retranchant l'équation de ce plan de celle du plan normal infiniment voisin, mené à la courbe au point dont les coordonnées sont x'+dx', y'+ <fy',*' + dz'.
On en conclut que le centre de la sphère osculatrice doit être situé sur la ligne droite, qui est l'intersection des deux plans normaux appartenant à deux points de la courbe, dont la distance est supposée plus petite que toute grandeur donnée.
236. Si , par le centre d'une sphère tangente à une courbe proposée au point m, et par la tangente menée à la courbe ,
au même point, un fuit passer un pian, ce plan évidemment la sphère suivant un grand cercle qui sera ment tangent à la confie. Ainsi une courbe quête» »n une infinité tl- cercles tangents dont les rentres §oot places sur le plan Donnai à cette courbe.
Parmi toutes les sphères tangentes fe la courbe pi sée , nous distinguons les sphères osculatrices dont les très sont placés sur 1 intersection commune de deuv pfau normaux consécutifs ; mais* de plus* parmi les sphèfl ivm -ubtricrs, nous distinguerons celle de ces sphères doi le rayon est le plus petit de tous, et dont le centre e situé dans le plan osculateur mené au point m de la court proposée. Le grand cercle suivant lequel cette spbJ coupée par le plan oscillateur est non-seulement la courbe pKVfMRéfl dans le point mf niais de plus il ce point un contact du second ordre avec cette coi puisqu'il est l'intersection commune de deux surfaces ont elles-mêmes avec la courbe un contact du second ordr Par conséquent ce cercle est le cercle otcutattur de la coart proposée, et il en mesure la courbure. On obtiendrait i lmmient Je cercle osculateur dont il s'agit si mn cobA lions établies ri-dessus pour la détermination des quanti* Bj 6, y, p, on ajoute celle que V équation du n° 233 a satisfaite quand on suppose x=<*% t/=5, ï^y- Ait coordonnées du centre vt le rayon du cercle osculateur ront donnés par les quatre équations
Nous supprimons les accents pour plus rie simplicité:
remplaçons dœ* + èy* + dz' par sa valeur d+ ; et nous posons pour abréger
X = dyd*z—d24Pys Y=zdzd*x— dxd*z3 Z = dx<Py— dy&x.
On en déduit par l'élimination
dï{ïdz-Uy)
- rf^Zda:— Xdz)
y~ XHY'+Z1 *
^ tfyfïdz — Zdy)* + (Zrfs — X<te)« + (Xdy—Ydxj* X* + Y» + Z*
Remarquons maintenant que
Y<k — lAy = (dz<Px — dxéPzyiz — (<&rity — dy<Px)dy
= (dj?*+ dy*+ dz%)&x — dx(dxd*x -f rfy^y + dote)
= d5*d«x — rfxrfi d*.i = ds'.d (^-) ; de même
Zdx — Xd* = rf«f^ — dyds d*s = d^.d(^\ ,
Xdy - Yd* = d5»d«i - dzdstPs = rfj'.rf ^ ;
et par conséquent
Idz-Uyf 4- (Zrfx— Xd*)* + (Xdy — Ydaf = d54[(d»tf)"+(dfy)"
De plus on trouve également
Ainsi , les expressions précédentes peuvent s'écrire
ds\d
