EL
(<*•*)« + W + (d>z? — (fis? '
Ces expressions conviendront au cas particulier où Ton prendrait Tare s pour la variable indépendante, c'est-àdire <is pour différentielle constante, en faisant cPs=0, et
par conséquent remplaçant dl — J, *[£)> <*( 3-) P**
d\r d'y <fe "STS rf*' d»*
237. On peut d'ailleurs parvenir directement à ces expressions en étendant à une courbe quelconque les notions qui ont été présentées dans le n° 185, pour le cas d'une courbe tracée dans un plan. Considérant trois points consécutifs de la courbe , savoir, le point /(/îjr. 42), dont les coordonnées sont *r, y. x ; le point m , dont les coordonnées sont x + di, y + dy* z-\-dz; et le point n, dont les coordonnées sont jr+ Mr+d'x, y + 2dy + d*y, x+$dz+ d*z. Dans l'intervalle /m, représenté par ds, la courbe est regardée comme coïncidant avec la tangente menée au point/, et dans l'intervalle mn, représenté par cfe-f cPs , la courbe est regardée comme 1 ■■ min.i.mt avec la tangente menée au point m. Le plan
qui contient les deux tangentes Im , mn> est le plan oscillateur mené à la courbe au point l. Si l'on prolonge Im d'un intervalle mc=lm, et si Ton décrit du point m comme centre l'arc infiniment petit ce, l'intervalle ne représenta» &$. De plus on pourra regarder ce comme une ligue droite, et supposer droits les angles que cette ligne forme avec me et ron, puisqu'ils ne diffèrent d'un angle droit que d'une quantité infiniment petite. Enfin le râpée P01*— donne la valeur de l'angle de contingence (voyez
n* 182), en sorte que
ce ds d$*
— = — . ou p = — , cm p* r ce '
P désignant toujours le rayon de courbure. Gela posé, si l'on remarque que les coordonnées du point c sont x + idx, l+My, z+2dz, on voit que les projections de en sur les axes des x, des y et des z sont <Pxy d*y, d*z. Donc
et par conséquent
d'où résulte
rfs'
fr =
V(rf^)1 + (d'y;1 + (d»*)P - (d"«]P"
Pour déterminer maintenant la direction du rayon de courbure, qui est parallèle à ce, on remarquera que les cosinus des angles formés par Im avec les axes sont res-
— ïtt —
dx dv d% pecUvement — , -i, — ; et que les cosinus des angles
dx fdx\ dy formes par mn avec les axes sont — + d l-r-l, ^ +
et me étaient égaux à l'unité, les projections de ces lignes sur chaque axe seraient égales aux cosinus des angles qu'elles forment avec Taxe. Les projections de ce seraient donc égales aux différences de ces cosinus; d'où il résulte qu'en multipliant ces différences par cm ou d$, on aura les projections de ce. Ainsi représentant comme ci-dessus par X, (x? v, les angles formés par le rayon de courbure avec les axes des x. des y et des z , on a
ce
cos.\=ds.d( -r- J, re.cos.(i=d5.rff -J^j, ce.co&v=rf5.df-rj;
ou puisque ce = — , ?
