T * * H TT /T
il viendra
u=2n-j^dx^ a ^ ar ,
pour l’expression de l’aire de la partie de la surface comprise entre le plan perpendiculaire à l’axe qui passe par le centre et un autre plan mené à la distance x de celui-ci. Supposons d’abord a^b, c’est-à-dire que l’ellipse a tourné , a'-U'
autour de son grand axe, et posons — = e’ ; cette txpression deviendra ,
u=2ic — I dxl/ a' — e'x' ;
et si l’on écrit
u=2n — I edx^a' — e’x',
on trouvera par le numéro 311 ,
^ i /I ly r*T 1 ,
m=2it — ( -ex K a’ — e x+ - a’, arc sm. — I aeV2 2 a )
, / \ / , e'x' a ex\
=Tto{ X \ / 1 — + — . arc sin . — I .
\ V « e ' O, J En faisant x = a , il viendra ,
•sah 1 — e’+ — arc sin. e^ , ou
( ab \
wl oH arcsin.el,
pour l’aire de la moitié de la surface de l’ellipsoïde.
Supposons en second lieu a<C,h, c’est-à-dire que l’ellipse a tourné autour de son petit axe. En désignant toujours par e l’excentricité , on posera donc ^ — =e, et il ’
viendra
^2»-J dxS^ — .
qui peut s’écrire
2rr Ç^be.dx\ / àVx’
“=tJ. —
On trouvera d’ailleurs, comme dans le numéro 312, l’intégrale indéfinie
et en prenant l’intégrale de a:=0 à x=x.
En faisant x=a , il viendra
ou
pour l’aire de la moitié de la surface de l’ellipsoïde.
334. On pourra calculer, d’après ce cpii précède, l’aire de la surface d’un solide de révolution décrit par une courbe plane quelconque tournant autoui; d’un axe tracé dans le plan de cette courbe. En conservabt ici les dénominations du numéro 331, l’aire de la surface décrite par la révolution de la courbe 52) autour de
l’axe Ojr, sera évidemment représentée par l’intégrale définie
6° Volumes des solides d'une figure quelconque.
335. Soit un solide dont la surface rapportée aux coordonnées rectangulaires x, y, z, est représentée par l’équation *
z=f{x,jr) ;
on présentera de la'manière la plus générale la question de l’évaluation du volume de ce solide si, ayant tracé sur leplau des xj [flg. 52 ), un contour quelconque on demande le volume compris entre le plan des xy, la surface du corps, et le cylindre dont le contour Mm Nm, est la basé et dont les arêtes sont parallèles à l’axe des z. Nous représenterons par et x^ les abscisses extrêmes OP et OQ de la ligne Mm Nm, ; parj>^ et y, les ordonnées mj> et m J?, qui répondent à l’abscisse Op représentée par a;, et qui appartiennent respectivement aux branches Mm, N êtMm,N de cette ligne. Les quantités y, et^, seront des fonctions données de l’abscisse x.
Gela posé , considérons la partie du volume demandé dont la base sur le plan des xjr est Mm,m,, et désignons par V sa valeur, qui sera une fonction de x. Lorsque l’abscisse 0/7, ou X, augmentera de la quantité infiniment petite représentée sur la figure par /jç, le volume v augmentera d’une partie également infiniment petite , dont la base sur le plan des xj est w n^nm^. Donc cette partie représente la différentielle di'. Et il résulte des notions présentées au commencement de cet article que l’on a
et que le volume entier dont le contour est la
base est exprimé par
H s’agit mainten^mt d’exprimer analytiquement cette diilérentielle c’est-à-dire la partie infiniment petite du volume demandé, dont la base est partie qui
n’est autre chose que la tranche de ce volume comprise entre deux plans menés parallèlement au plan Ae&yz, aux distances x et x->rdx de ce plan. Considérons un point quelconque m pris sur la ligne mfn^ : soit y la coordonnée mp de ce point : z-=f{xy) représentera l’ordonnée de la surface par laquelle le corps est terminé , qui répond au point m. D’ailleurs, considérons la partie mjt, vm de la tranche qu’il s’agit d’évaluer, partie qui est évidemment une fonction de Fordonnée mp, ou y. Il est visible que quand ^ croîtra de la quantité infiniment petite dy représentée sur la figure par m^, la partie t/m de la tranche dont il s’agit croîtra d’une portion de volume infiniment petite du second ordre , dont la base est le rectangle Mais le volume dont
il s’agit est évidemment compris entre deux prismes rectangulaires dont la base commune est nii/Ufi , dont l’un a pour hauteur la plus petite des ordonnées qui répondent aux quatre points m, t/, n, p,*et l’autre a pour hauteur la plus grande de ces ordonnées. Et comme ces deux hauteurs ne diffèrent de l’ordonnée z du point m que d’une quantité infiniment petite , on doit les regarder
comme égales à z, par conséquent prendre le produit dx.dy.z pour l’expression de l’accroissement que subit la portion de la tranche dont la base est m,n,vm, lorsque^ augmente de Nous regarderons donc cette tranche comme la somme d’un nombre infini de différentielles exprimées dx.dy.z, expression dans laquelle dx est un facteur constant et commun. Il en résultera que si l’on prend V'mié^TaXe dxjdy.z entre deux limites correspondantes aux points m, et m,, c’est-à-dire depuis jusqu’à on aura un résultat qui ne différera du volume de la tranche cherchée que d’une quantité infiniment petite du second ordre, qui doit être négligée par rapport à ce volume, qui est infiniment petit du premier ordre. Nous écrirons donc
dv=-dx I dy.z\
Jy.
et en substituant cette valeur dans l'expression précédente de V, il viendra
rx
v= I dx
pour l’expression générale de la partie du volume demandé comprise entre des plans menés parallèlement ftu . plan des^z, aux distances x„ et x'de l’origine des coordonnées. On aura , d’après cela ,
pour l’expression de la totalité de ce volume.
Ces formules sont appelées intégrales définies doubles parce qu’elles se rapportent aux deux variables x,y. On en déterminera toujours la valeur au moyen des procédés exposés dans les articles précédents. En effet , après avoir substitué pour z la valeur f{xy), on prendra par rapport à y l’intégrale indéfinie J djr.J[x,y), en regardant X comme une constante. Cette intégi'ale devant être prise entre les limites, y, qui représentent des fonctions données de x, le résultat de l'opération sera une fonction de x seule. Soit <J*(x) cette fonction :
il ne restera plus qu’à prendre l’intégrale m dx.^{x).
• Cf
Remarquons, d’ailleurs, que l’on ne change rien à la valeur d’une intégrale dpfinie double en intervertissant l’ordre des intégrations successives qui ont lieu par rapport à chacune des Variables. On a toujours
çy. çy- p.
. I dx I dy.z= I dy I dx.z-,
en désignant pj»T x^ et x^ les valeurs de x eny, tirées de l’équation de la courbe MN, appartenant respectivement aux deux parties de cette courbe qui limitent l’intégrale dans le sens des x, et parjj'o ely^ les valeurs extrêmes de l’ordonnée^ appartenant à la même courbe. Il est visible , en effet , que l’une ou l’autre de ces expressions donne également la valeur du volume cherché. Mais il ne faut pas perdre de vue. que l’usage des expressions dont il s’agit suppose en général qu’il n’y ait aucune des valeurs de l’ordonnée z qui soit infinie dans les limites de l’intégrale. S’il en était autrement, on ne pour-
rait en obtenir la valeur qu’en la décomposant en parties distinctes, séparées par les ordonnées dont il s’agit.
Si les valeurs de ces parties sont exprimées par des nombres infinis et de signes contraires, la valeur de leur somme, et par conséquent celle de l’intégrale proposée, est indéterminée.
336. Admettons maintenant que la surface du solide soit rapportée à des coordonnées polaires. Nous regarderons la position d’un point quelconque m {fig. 53) de cette surface, comme étant donnée : lo par la longueur r du rayon vecteur Om dirigé sur ce point de l’origine 0 des coordonnées ; 2° par l’angle (p que la projection Om'de ce rayon vecteur sur le plan des xy forme avec l’axe des x ;
3° par l’angle ^!< que le même rayon vecteur Om forme avec cette projection. Enfin nous supposerons que la surface du solide est donnée par l’équation
On résoudra d’ailleurs la question dont il s’agit d’une manière aussi générale qu’il est nécessaire, si l’on détermine le volume compris dans uu cône ayantpour sommet l’origine ou pôleO, et pour base une portion quelconque donnée de la surface du solide. Le contour de cette base doit être déterminé, et il le sera si l’on conçoit qu’à une valeur arbitraire attribuée à l’angle cp , répondent deux valeurs'}', et}, de l’angle }, qui appartiennent respectivement aux deux points du contour situés sur la branche , inférieure et sur la branche supérieure.
Cela posé, soit un point quelconque m de la surface du solide, déterminé par les coordonnées 9 , ■} et r. Supposons que 9 augmente de rf 9 , représentée sur la figure par
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l’angle m'Ou ; et que \ augmente de dl ^ , représentée sur la figure par l’angle mOt^. Considérons la pyramide dont le sommet est le pôle 0, et qui a pour base le rectangle m^nv dont le plan est perpendiculaire au rayon Om. Comme le côté ma de cette base est égal à sa projection mu sur le plan des xy, et comme Op' est égal à r cos.^ji, il s’ensuit que ce côté mfi = rcos.'!<.dcp. Le côté mv est égal à r.d^. Donc le volume de cette pyramide est
ou
et il est évident qu’il ne diffère que d’un infiniment petit du troisième ordre , du volume compris entre les faces latérales de la même pyramide et la surface du corps.
Donc premièrement , si l’on prend l’intégrale
rf-j».C 08 .:l/.r’,
on aura le volume delà tranche du solide comprise entre les deux plans passant par l’axe des z, dont les traces sur le plan des xjr sont Om' et Ofi'-
Et en second lieu , si l’on prend l’intégrale
-i rf^.cos.J-.r5 ,
on aura le volume de la partie du solide comprise entre les plans passant par Taxe des z, qui forment avec le plan
des xz les angles », et 7. Par conséquent, si et % sont la plus petite et la plus grande valeur de l’angle <f qui appartiennent à la base du cône , son volume entier sera représenté par
— I d:f I rfil(.cos.]<.r®.
Les valeurs de ces intégrales doubles s’obtiendront évidemment de la manière qui a été expliquée à la fin du n uméro précédent.
337. Si le pôle était placé dans l’intérieur du corps, et qu’on voulût exprimer la valeurj du volume entier de ce corps, on y parviendrait en prenant
— — et pour les limites des valeurs de l’anglè i}/,'et 2 2
0 et 27 t pour celles de l’angle q>. Ainsi ce volume est représenté par l’expression
cos.'l.r*.
338. Pour donner une application de ces formules générales , soit un ellipsoïde rapporté à ses diamètres rectangulaires , dont l’équation est
ou
a, b, c désignant les trois demi-diamètres qui coïneident avec les axes des x , des^ et des z. La section de la surface du corps par le plan des xv a pour équation
et cette valeur forme la limite du corps dans le sens des y. Les limites du corps dans le sens des x sont données par les abscisses ar = — a et x=a. Donc le volume de la moitié de l’ellipsoïde située au-dessus du plan des est exprimé par l’intégrale double
ou si l’on veut,
puisque le premier membre représente évidemment l’aire d’un cercle dont le rayon est reste donc à prendre l’intégrale
(^* — -^*) ji
339. Cette formule donne , conformément aux résultats démontrés par la géométrie, pour le volume de
la sphère dont a désigne le rayon. On obtient le même résultat d’une manière très-simple par la formule du numéro 337. En effet, l’équation dé la surface de la sphère étant r=a, cette formule devient ici
Mais f dij;.cos.^=sin. i{/, et par conséquçût i di/. cos. j>=2.
TT
Il reste à prendre intégrale — ^ Ê dont la valeur ina*
est—. .if.
•j"* Aires des surfaces d’une figure quelconque.
34-0. L’évaluation générale de l’aire d’une surface, dont nous supposons les points rapportés à des axes rectangulaires, dépend de considérations analogues à celles qui ont été présentées dans le numéro 335. Toute question de ce genre , qui pourrait être proposée -, se ramènera toujours à déterminer la valeur de la partie de l’aire d’une surface dont l’équation est
qui est comprise dans un contour dont la projection sur
le plan des xy est une ligne quelconque donnée Mm,Nw, (//g. 5a). Conservons les dénominations du n° 335, et désignons par u la valeur de la partie de l’aire dont il s’agit, qui se projette sur le plan des jy en Mm, N/n,, et qui est une fonction déterminée de l’abscisse Op ou x. L’intervalle pq représentant dx, la partie de l’aire de la surface proposée qui se projette sur le plan des xy en m,nn^m^ représentera dv. On aura
J JT.
pour l’expression de v, et
pour l’expression de la totalité de l’aire demandée, qui se projette en Mm,Nm,. Mais faire projetée en m,//,//,m, est la somme d’un nombre infini d’éléments dillérentiels, tels que celui qui se projette sur le rectangle nn^nu, dont le côté mt' est égal à dx , et le côté mu est égal à dy. On aura d’ailleurs fexpression de l’élément diflérentiel dont il s’agit en remarquant d’une part, que la surface proposée doit être regardée comme coïncidant dans l’étendue correspondante à cet élément avec son plan tangent mené au point dont m est la projection ; et d'autre part, que l’aire d’une figure quelconque tracée sur un premier plan , est égale à faire de la projection de cette même figure sur un second plan divisée par le cosinus de l’angle compris entre les deux plans. Or, le cosinus de l’angle que le plan tangent à la surface proposée forme avec Iç plan des ay étant, d’après le 0 *^ 217,
