DES FONCTIONS DÉRIVÉES ET DES DIFFÉRENTIELLES

1. L’analyse aljjébrique considère les relations qui existent entre des quantités connues et des quantités inconnues , relations qui sont exprimées par des équations. Elle a pour objet principal de trouver les valeurs déterminées des inconnues qui satisfont à des équations données. En général chaque inconnue prend une valeur unique lorsque les équations sont du premier degré, ou plusieurs valeurs dillérentes lorsque les équations sont d’un degré plus élevé : mais ces valeurs sont toujours des quantités déterminées réelles ou imaginaires.

L’analyse dilTérentielle et intégrale, et toutes les .parties des mathématiques qui en dépendent, considèrent les relations qui existent entre les quantités con-

statues {c’esl-à-dire qui cop^ervent toujours une même valeur ) et les quantités variables. Ces relations sont toujours exprimées ou censées exprimées par des équations. Mais le nombre des quantités appelées variables étant plus grand que celui des équations, ces quantités peuvent prepdfe une inüuité de valeurs différentes, qui sont seulement assujetties à satisfaire aux équations données.

2. Admettons que la question dont on s’occupe comporte n équations, et qu’il y ait un nombre m de variables plus grand que n. Comme n équations ne peuvent déterminer que n inconnues, il y aura m — n variables dont les valeurs demeureront arbitraires. Mais quand on aura fixé ces valeurs à volonté , celles des n autres variables se trouveront entièrement déterminées. C’est ce qu’on exprime en disant que ces dernières variables sont fonctions des premières. En général on distingue dans chaque question : 1° les variables indépendantes auxquelles on peut attribuer des valeurs quelconques ; 2“ les variables dont les valeurs sont déterminées quand on s’est donné celles des premières , et qui en sont des fonctions. On peut choisir à volonté celles des variables qui seront indépendantes ; mais les formes du calcul exigent que ce choix étant fait , rien ne soit changé à cet égard dans le cours de l’opération ; ou du moins un tel (■hangement exigerait des précautions et des transformations particulières.

Pour fixer les idées , considérons deux variaUes se, y, entre lesquelles il existe une .seule équation. La valeur de l'une de ces variables , de x par exemple , peut être prise arbitrairement; mais à cette valeur arbitraire cor-

respolulfa toujours une valeur d{éterBÛ.Dée pourj^. Ainsj X sera la variable indépepdante , et y une ionplion de x.

Si l’on avait trois v;>rjaWpe x, y, z, et une seule éqi^ation entre ces variables , pn pouirai^ regarder y: et y comme indépendante^ , e^ ^ sprait bmcHon de or et jr. Mais s’jl existait deux équations en^pe X, y et z, la seule variable a: serait indépen4ante , et les yari^les^et z seraient chacune fonction 4e x.

Ces notions s’étendront facilement pux cas pu l’pp aurait un plus grandnombre de variablef et d’équatipf».

3- Op exprime qu’une quantité y est fonction d’une aptre quantité x ( c’es.‘-à-4ixe que y doit prendre une valeur déterminée quand pn donne à X une valeur arbitraire) en écriyanit

y ==/{ X ) QU ^=;:F ( j), etc.

Lorsque z est ibnction de deux variables x, y, on écrit

^=/(x,y) ou z = F(j:^); et ainsi de suite.

Une expression analytique formée d’une manière quelconque des variables x, y, z et d’autres quantités constantes s’exprimera donc par F {x,y,z), en sorte qu’une équation quelconque entre les variables x,y, z est représentée par

f ix,y,z) = 0.

Si colle équation est résolue par rapport à z, elle prendra la forme z= y{x,y).