XX. FOIITT8 SING.UUERS DES COUHBES PLANES

309. Les notions qui ont été exposées dans les articles XVI et anivants, et qui se rapportent à la .Æ^rmiuation des tangentes 4«s courbes , dejieuirs éercles osculateurs , ou en général des courbes oscuiatrioes, ^t fondées stir

remploi «la théorème de Taylor, et supi>osenl ciî générai «tUBj le» ooeaidents dificrentiels-dë la fonction qni dt-i prime la videur de l’ordonnée au moyen de l’abscisse prennent pour le point de la courbe que l’on considère, des valeurs finies et détemrinées. Il est donc nécessaire, xonlormément à ce qu’on a vu dans l’article,! X , qUe l.a figure de la courbe soit continue près de ces points ; et de plus il ne faut pas qUé la fonction dont il' s’agit se tftmvp, pour la valeur de l>bsci>e jour app^a^^^^^ dàns'fes 6a?d'excéption‘qui ont^éte r’^arque's dans même“àrticl'e’''ûrsqu il en ç^fatrtreAefi^ la figure des courbes est en général allectée d’une manière particulière et présente ce qu’on nomme ni) paîni singulier.

Dans la plupart des cas . l’existence des points singu^ liers tient à ce.quo la courbe a deUx ou plusieurs branches qui se réunissent dans «les jioints dont il s agit. Néanmoins les, courbes qui ont un cours Unique, ou qui sont partagées en jdusieurs branches distinctes qui ne se croisent point, présentent quelquefois des points reniarquablcs que l’on a généralement compris sous la dénomination de points singubers.

Concevons que 1 ôn ait fprme les coefiieiepts dilleren—

‘tiels etc., de l’ordonnée y de la courbe

dx dar djr .

exprimée en fonction de l’abscisse r. ’ •» '

dy J »

Si le premier coefficient différentiel ^ devient nul pour une valeur x=a de l’abscisse, les aiHres coefficients Observant dés valeurs finies, la tangente dë la ebuAe est au <point*correspondant parallè|fe‘à laxe des xj et l’ordonnéei^ Cohformért'ePt K ce qu’ëd. n vit dans l’article XIV; est'ûta «tiitimumOti un minimttHi. s- ' • ■

■ *dn

bi le coefficieut difiereotiel devieot seuI'Dul , tous

)es autres conservaut des videurs 6niM, le rayon de courbure est in^ni, et le sens de la , courbure change. 11 ya un point d’injlexion. i lo •

Si le coefficient différentiel du troisième ordre dé?

venait 'seul nul / cela indiquerait que est un maxi>

.mupi ou.un nainimum : mais cet^e fircoastahce ne peut en général se remarquer sur.Ia fiûiiro de la courbe. , ^ .

Si les deux premiers coefficients difiérentiels et

étaient nriis en mêrue temps, ôn se trouverait dans.

le cas remarqué à Li fin du n® liS", c'est-à-dire qu’jd y aurait- ün pofnt d’inflèxion clans Iciquel la tangente de la courbe serait parall^le'àï’axc des x. '

, 206. Outre les cas' où quelques-uns des coeffiçienU^ différentiels. prennent des valeurs milles"*, on doit considérer ceux oùf ils prenuénf des valeurs infinies,'"

Si' le coefficient, différentiel du premier ordre —

prend une valeur infinie', Li twgente de la courbe est parallèle à l’axe desj-,. Celupeut arriver dans (^atre'cas,^ en un point L (^. 39). formant danslsAsens de , «cia limite de fespace ocçqpé par la courbe ; eri Miorsque l’ordonnée - • . • est infiliie 4 iit Li courbe louche une ligne parallèle à Taxe des,/; ou lorsqu’il y a un point ,d’ inflexion ; et eidir . 'en O dans un point tle a-ebrouisenitint, ^ .

aia —

Si le coefficient diflërentiel du second ordre devenait seul infini , il en résulterait que la valeur dù rayon de courbure serait nulle. ^ .. ^

' 907. Considérons maintenant les cas où les courbes présentent plusieurs branches dont la réunion ou le croisement donnent lieu à des points singuliers. Lçs^cas dont il s’agit répondent toujours à ceux qui ont été remarqués dans les numéros 90 et suivants. En efiet^ une courbe ne

peut avoir plusieurs branches qu’autant quç la fonction y=.J‘(^x) qui représente l’ordonnée contient des radicaux pairs auxquels on doit attribuer un double signe* En'g^ néral à chaque valeur de x répondent plusieurs valeurs de y, et autant de valeurs de chacun des coefficients différentiels 'qui appartiennent' respectivement aux; différentes branches de la COurbe. Mais si la valeur particu-« Hère x = a fait .disparaître un radical ilans f[x), et réduit par conséquent les valeurs de à ’un^moîndre nombre, deux ou plusieurs branches de la courbe se réunissent dans' lé point correspondant , qui devient ce que J’on nomme un point' multiple. On a vu d'ailleurs dans les numéros cités qu’il fallait ici distinguer deux cas. •

1® Lorsque le radical disparaît dans f{x) pour là valeur. a parce que cette valeur rend nul ce radical même', ^1 développement dé y*(a+A) 'ne ‘peut alors contenir que des puissances fractionnaires de A , et par conséquent tous les coefficients différentiels doivent'de^ venir infinis. ^ •

9° Lorsque le radical disparaît parce que la valeur x=a rend nul un certain facteur- dont ‘ce radical est.

affecté Hansyi[jc), mais qui peut reparaitre dans' les coe£ffcients difTérentiels après un certain nombre de différentiations , • La .formule de Taylor subsiste. Mais les premiers coefBcîents différentiels dans lesquels ce facteur se trouve encore deviennent nuis pour la valeur x= a , làndisque les coefficients différéntiels des ordres suivants où se'retrouvè le radical dont il s’af^it, présentent des valeurs finies et distinctes appartenant respectivement aux diV’erses branches de la courbe. ? ,

On voit donc, d’après ce'qui précède, qu’un point multiple peut être 'indiqué pariés valeurs infinies que prendraient les coefficients différentiels du premier ordre et des ordres supérieurs. Mais cette indication n’est pas certaine, puisque lù ihétne chose peut avenr lieu dans un point d’inflexion où la tangente de la courbe serait parallèle à faxè des y. ^ ‘

On voit encore qu’un point multiple peut être indiqué parce que les premiers coefficients différentiels auraient des valeurs nulles. Cette circonstance peut également' avoir beu pour'un poînUl’inflexion où la tangente ,,de ' la courbe serait pàrallèlé à l’axe des x. Mais si les premiers coefficients différentiels réduits à. ïéro sont suivis d’autres coefficients différentiels affectés de radicaux, on’ est bien aSsuré que le point dont il s’agit est formé parla réunion de plusieurs branches delà courbe qui ont entre elles un contact dont l’ordre est marqué par le nombre des * coefficients différentiels qui reçoivent la valeur commune z^o;' ' r ' • • • . ..‘

En général les valeurs nulles 6n infinies affectées par les premiers coefficients différentiels ne peuvent faire juger exactement de la nûture du point singulier, et il

• , • • • • . ai4 -A ' • •

est néceâsaii» pour *’eu as^ürçr ^^ftiscuter le coUfs de la courbe près de ce poiut. '• ,> ^ ‘ ’

,208. Le cae lo plussinple apquei s’appliquent les côn=^ tidérations pr^édeutes est.eelui'du point 4.0} qui

forme la Jiihite d’UpO courbe d^ns le sens.des a;. ,ph.doit considérer les deux parlies Mm, Mm' comniq. deux branches distinctes (soit -.qu’elles s’étendent ^d’infinj, ou qu’éiles se .rq^^ocnt pour former une courbe ferpiée) , qui se feunissent en M.. Les ooe(Bcients- différentiels du premier or4te,et des. 'ordres supérieurs sont infinis* peur la valeur de - l’ab»[;i8$e. qui- répond à un tel poiUt. La rnéme chose ^ lieu lorsque la limite de la courbe, formée par un point de rebroussement, NJ / .

Remarquon's que le jKÛnt N , où les deux branches de la' courbe' sont du même cùté de la, tangente copunune, est un point de rebroussemeht de la seconde espèce ; et quo' le • point O de la figure dn n* 20fi ; ,où tes deux branches dç la courbe sont placées'de pîSrt et d’antre dç la'taogeute oommune, est un point de rebroussement de la première espèce. Le ,cUs où tous .les coefficients difié- ^ rentiels devi«anent infinis peut répondre d'ailleurs à divers points multiples O, P, dans lesquels se réunissent deux ou . plusienrs. branches de courbé^, qui touchent (ùn se croisant ou |t»n } 'une rni^e l^e partdlèle à l’axe desj, •

. -309. A l’égard des cas où- les premiers coefficients difiérëniiels deviennent nuis , tamlis^que les coefficients diilerentiels suivants conservent des valeurs finies affectées de radicaim , ils donnent lieu à des points multiples analogues aux ' points <) ef .Pÿ mais dans desquels la i^otgente de la coqrbè est parallèlaà |’as,e ties x. . . '

Digilized by Googlc

aia — ■

si .la première diirércuüatiqn a/ suffi pour£(irc . ilispar/ittr^le:&cteUF doQt le radical était afleoté dans la ' Ibpctton et 4U1 devenait nul pour b valeur particulière

''x^a -, en Sbrtequelè râdicaîse retrouvant dans . cç

' coefficient, dip'érentiel présente plusieurs valeurs ünies distinctes ; on aura lors un point multiple Q dans lequel • f les branches de la courbe se croiseront sans se toucher.,.

, Et'si diuoa un teT point là, valeur de nri' se trouvait nulle,

. .il, y, aurait , comme en J$. up^inflêxion dans phaçune brapeUp* dfl b ipourV,''. ,• \ •• - i-'l ‘

- *• ïWf. Nêuotertninerohs enfln'én obscrvant'qùe l'oO a ' . nommé points isolés ou coq^ugüés certains points don^ les coordonnées ùlisfbht a réqinition' proposée entro x * et y, mais qui sont entièrepient séparés de b Jigne'^ijé cette équation représoate- Il Existera ^ 'par exemple , un

point conjugué co^respond.atit à b^ valeur x = a si, cette'

, valeur’ fait dîspar.lîtré dans b fonction jr=y'(.i) im^ràdi- *

àr-æy

cal sans le faire .^disparaître tbns etc.; et 'si ce

radical est imaginaire pour la valeu^' n de x et pour les , valeurs comprises éntre a et a +,,6, &.désiguant une qnài^' lité %iié.

VLANS TAHCEAT$ ET NORMAtES AUX SURFACES