I. cot^(r — »)=3— j-I Vî, ' -,*>• P

•'.'Sironnommeo'rangle formé parla normale inéitée à

ÿa courbe au point m aveol'axe de$a^ on aurafdmic d’après

•iaiOEmule précédente ' '

,tang.(«— »»)^—

rdfü dr ’

c«-ar étant'l’angle formé par la no£màIe et le rayon veo-

199. L aipe de la èoùrbe, lorsque!'^ emploie des coordonnées polaires es{ fespace triangulaire compris entre ■ èettecburbe, un rayon vectéuràxê (’par^xemplfc le raydn • Oo (j%.’^7) qui coïncide' atéc l’axe)', et le ràyon vecteur mobile Ora. Nous désignerons cet axe par ù,' Lorsfpie u angn^nte dé d'j, u croît dû triangle fimn, dont l’aire, en Vegardant encore imi commé'une ligne droite, éat

- (r+dir)rt4>v

Nous aûrens’dancf^ négligent (commo On doit le faire 'an passant à la Umite), ,lea quotités infijiiment petitea. du second ordre

' • du=^rtU. , '

SQO. Quant- à Ja>âi^retLlieU(î de l’arç 4e la courte , que nous continuoqs à représenter par j ■, die est évi^ dcnunent exprimée , puisque ‘ .l’élémènt mn {/eg., 3Ï) peut'étre çegardé'à la limite comuie’rbypothénuse du Iriangle rectangle m/iÿ.do&t les ç4tés soût rJu et dr, par

Nous supposohs qâej’atç r augmentera en inéme temps que l'angle ». • '

201. Si l’on veut enfin connaître l'expression générale du rayon de courbure mi coordonnées polaires, on emploiera la ibrmule du n^ ifil .

^ ^ Tr’- • •

en'obÿéWântquede réqùatiqiidiin* 19^ ’’;

1 dr càL

r CM

«ondédittt pax la difiérentiatvon \

’ , , dr^du ‘ J [ idf\ , 'dr ^ \ d ( 1 ir\

Mais célle même équation donne. ’ •. • '

Oonc f' ■ ■» * ” ' .■•/■.- ' t - ly-' ■■

• '•Vi: ifÎJflîV c ,

, ' jdr d»»J duyrdttJ ‘ ,

' dt». I /I «rV . ,

Digilized by Goc^le

■ ^ — 'aoS" — •

D'ailleur» noiis avoils tfouVé ci-<lessuS *

.Donc

^tta'si l'on veut

La di reetion de^^ normale, é tan jL connue d'après le n* 1 , cette, expression du rayon de courbure Suffit pour déteprminer la position du'cnnixe du oehrcle oscillateur. Le<

radical ]’ peut 4tru affecté du jignn + ou 4“

«i^e — . Si l’on convient dé prendre le signè'4- il s’ei^stiivra.<jtie le rayon de courbure Serh'rtgardé comme po* silif lorsque les differéntidles t/r eldsseropt de m^e '^i^e, et comme négatif lersqu’dlçs, seront de signe contraire. Nous supposons ici que l^rox migmente dans le même sens que l’âpgle ». Ainsi le rayon de. courbure est '■'Censé positif lorsque laToncavi té de la courbe est loupiée du côté de l’origin^ ou pôle dont émane lé rayon vecteur «t négatif dans le cas contraire. ,

: {Tourbes nommées spirales.

202. Les géomètres oift donné le nom de spirales à diverses courbes (lontla^nature elles propriétés s’expriment d’une manière plus sinàple au moyen des 'çoorrdonnées polaires. / t ’l -.«]>" i ■ ■ •?

La spirale d’ Àrclumède a poul' équation ^

r=aa>.

a désignant une constante positive. La courbe comr .ntence à l’origine ou pôle, et forme upe- infinité jIg révolutions àutour de ce point, dont elle s’éloigne de plus eof>lus.. I , v '. . . ■

203. Dans la spirale hyperbolique , ainsi nommée à raison del’analogie de sonéquation ' ■

(a désignant toujours une constante positive) avec celle de l’IijrperbolerappOTtée à ses asymplotes, la courbe pCend son origine à une distance infinie du pôle, -où elle touché une droite parallèle à l’axe des Jc dont l’équation est^=a

(puisque l’équation précédente peut s’écrirej^=a ,

ei donne y-=a lorsque w = 0). Elle forme une infinité de révolutions autour du pôle,,dont elle sîapproche progressivement, mais sans l’atteindre, puisque l’on n’a r=0 qu’en attribnant à l’angle u une valeur infinie.’

204. La spirale logarithmique, courbe très^-remair^ quablc dont les propriéhÉs ont été étudiées par Jacques Bemouilli, a pour équation

.T“ ao8 1 - * . ,

wsslog. r, ’ o« r=Ba'’,' oa ertfin 'r4=e'“'*,'' '

a désignant la baÿc dii fiystème de logàrithiaeSi que douâ iap^osons plus grande ^ue îtinité- L’a yalèur OAde r ■qui correspond à‘*»!==0 est égale à l'unité. Lorsque « crott positivement à- partit.de' zéfo^ r augmente de plus en plus : ainsi la courbe à partir du point A fonpe autour du pâle une ^Ënité de révolii^ions en s’éloignant progressivement de ce point. Lorsque a croit négativement à partir de zéro, r diminue de plus en plus. : la courbe ibrmé égaleUiént à pattir dü poini A', êt'en s'approchant 'pro^essivementdu.p^iht Oi sans l’atteindre^.uite infinité de révolntions.»' ■ ' • • •.’ i • , •

De l’équation , • •

' • ’i’ 'rxse'*-* ‘

'onàéduit . . , j -^iî X

^ dr '

La formule du n* 198, talig. (v— w)*ei , donUg dope

’sei pont détênniner l’angle comprisenbre fv^ortdale' et le rayon YecteuE.-’ ’” ■ • ''

Ainsi cet angle a onè valeur cOnstantéi '*' ^

L^érpressioq, du ràyon dé courbée , n° 20f, . .

Dir..

i y üoogk

aog^ — -

Doftcf» étant (^. 88)lecontredecourlmrecorr«8pôiidanl

an point mde la spirale Jogarithmique, lalignet»^ est perpeiïiÜçulaire sur le rayon vecteur Ow. Le ra;yon veçteur "

• e^ le rayon de courture conservent un rapport cwjstant.

Soient a ét K les cooSrdonaées polaires du centre' de cour^ure.^, Dnaura-doncdaprès ce qui précède.':-

et en substitilant ^ vdeurs de » et r tirées de ces tiobs daiu l’équ^tKW «îè .la xwiïbfe , il viendra

.. . RsYd.e \ «/.

on ce qui revient au ménie,' - , , •

• pour l’équation polaire de la développée. Pc*c la d^eloppée delà spirale logarithmique est cetfé même courbe

qui a tourné, autour du .pôle d’un angle à

suffit dailleurs , pour reconnaître que la développée est une spirale logarithmique, de remarquer que,sa4angente > qui n’est autre chose que le rayon /im, forme un angle

constant avec sou rayon vecteur Oy. ,