AX AX

et comme ces deux expressions ont pour limite commune, lorsque Ax devient de plus en plus petite, , nous devons en conclure

dv

dx

ou dv?=vy'.dx.

pour l’expression générale de la différentielle du yolume représenté par t'.

D'après cela l’on reconnaît immédiatement que l’intégrale définie

donne l’expression de la partie du volume d’un solide de révolution qui est comprise entre deux plans menés perpendiculairement à l’axe aux distances Xo et x de l’origine des coordonnées.

330. Soit par exemple l’ellipsoïde de révolution dont l’axe de révolution est 2a , et dont l’axe perpendiculaire à celui-ci est 2i. L’équation de la courbe génératrice, en comptant les x du centre , est

Donc

dx(a’ — X*) ,

représente la partie du volume du .corps comprise entfe le plan perpendiculaire à l’axe qui passe par le centre et le plan mené à la distance x de celui-ci. Cette formule donne d’ailleurs

En faisant x=a, on aura —ab' pour le volume de la

moitié de l’ellipsoïde de révolution. Le volume entier de

ce corps est donc

331. Ou calculera facilement d’après ce qui précède le volume de tout solide décrit par la révolution d’une figure plane quelconque autour d’un axe pris dansle plan de cette figure. Le volume du solide décrit par la révolution de l’aire Mm, Nm, [fig. 52 ) tracée dans le plan des xf autour de l’axe des x, est exprimé par l’intégrale définie

. ÇXa

jCo etxu représentant la plus petite valeur OP et la plus grande valeur OQ de l’abscisse x, les valeurs des

ordonnées m,p, mj> des deux lignes MroJV, Mn/,N qui répondent à une abscisse quelconque x.

5° Aires des surfaces de révolution .

332. Considérons la surface décrite par une courbe plane quelconque Mm dont l’équation est

lorsque cette courbe* tourne autour de l’axe Ox [fig. 51 ). Désignons par u l’aire de la partie de cette surface décrite par.la révolution de la partie Mm de la courbe. Soit x l’abscisse Op. Lorsque x augmentera de l’intervalle infiniment petit dx représenté sur la figure par l’aire m augmentera de l’aire décrite par la révolution de l’élément mn ou ds. Or, la courbe étant regardée comme coïncidant avec sa tangente dans l’étendue de cet élément , l’accroissement de u dont il s’agit sera regardé comme égal à la surface d'un cône tronqué dont pq est la hauteur et dont mp et nq sont les rayons des deux bases.

Donc

'du—7t{2y+dy)ds,

et en supprimant les quantités infiniment petites du se^ coud ordre

dw=.^r.y.ds ou du=2js.dx.y Ainsi nous aurons