L’équation de la parabole
y‘=2px donne y= V'ipx, ^ = V^Z..
dx 2x
Ainsi, l’arc compris entre le sommet de la courbe et le point dont x est l’abscisse a pour expression ,
dx\ 1+^.
L’intégrale indéfinie / dx 1 + ■^
se trouvera en po-
sant
y/l+ — =r, d’où X:
2 (<’— 1 ) ’ et
Jdx\/l+ £.=/dx.t=xt-^Jxdt=xt—^ Comme l’intégrale Jp^ .=
Tient
"'-i'7ïî+<=
=‘=V'-*éc-\->
et en prenant l’intégrale depuis x=0 juscpi’à x=x, on a
ou
1 2x+{^ 2px+4x*
Soit maintenant comme dans len* 316 la courbe dont l’équation est
{iy
et donne — =:la.a"=la.y\
<Lx
on aura donc
ÇXt,
t= I djcV'\-\-(la.a*)'
J Xo
pour la longueur de l’arc dont les extrémités correspondent aux abscisses et x. Pour trouver la valeur de cette intégrale définie, nous poserons
dy , „ . . . dr , i dr
— =/a.j'=tang.T, dou la.dy=^ — p, dx=-,
dar ' cos. T la y
1 dx
la sia.r.cos.T. ’ et
^ J To T
Mais , par la quatrième des formules données n® 293,
^ sin.r.cos. T cos. T J sin.T
et par l’une des formules du n" 295 , on trouve dx
Donc
r^=Z.tang.I+C.
J sin.T 2
Il est sans doute superflu de remarquer que
T=:arc tang. {la.j\ est jci l’angle formé avec l’axe des x par la tangente menée à la courbe dans le point dont l’abscisse est x.
325. Soit encore comme au numéro 316, la cyclol'de dont l’équation a été donnée n» 179 [Jig- 49 ). On aura
dx ou =
Or la différentielle dx
del’arcd'unecourbe
pouvant également s’exprimer par nous pouvons représenter ici par
dy
la longueur de l’arc compris entre l’origine de la courbe et le point dont l’ordonnée est y. Et comme on a
dy
r dy
il vient
Cette formule donnera la longueur de la moitié de la courbe en y faisant j'=2R. Cette moitié est donc égale à 4R, comme on l’a déjà remarqué n* 191. Si d’ailleurs on voulait compter l’ordonnée^ de baut en bas, à partir delà ligne nq, et l’arc s à partir du point n dans le sens nmo, on devrait écrire 2R— ^ à la place de y et4R — s à la place de s , ce qui donnerait
5=2kirt^.
326. Nous considérerons en6n la spirale logarithmique dont l’équation, rapportée aux coordonnées polaires , est
dr
d’où
da
= = la.r.
Il viendra, d’après ce qui a été dit n° 320 ,
/•w Tu
s= 1 d<^ r'+{lay.r'-=\^ l+(/a)' I
J Wo
c’est-à-dire
pour la longueur de l’arc compris entre les points de la courbe auxquels appartiennent les rayons vecteurs et r. Comme l’angle compris entre la normale et la courbe a pour tangente trigonométrique, d’après le n° 204, — la, Tangle compris entre la tangente et la courbe a pour tan-
* . , . 1 . la
gente trigonométrique—, et pour cosinus — :• —
]/\MlaT
est évident en effet , par la nature de la courbe dont il s’agit , que la difiérence de deux rayons vecteurs est à la longueur de l’arc qu’ils comprennent dans un rapport constant exprimé par ce cosinus.
Lorsque l’équation de la spirale logarithmique est simplement r — e“ , on a s—\^ 2(r — ro). La longueur de l’arc compris entre deux points quelconques delà courbe est la difiérence des diagonales des carrés construits sur les rayons vecteurs appartenant à ces points.
3° Longueurs des courbes à double courbure.
327. Une courbe à double courbure étant donnée par les équations ^
y—f{x), s = F(jt),
on a trouvé dans le n° 227 , pour l’expression générale de la didérentielle de cette courbe ,
ds= dx
D’après les principes établis au commencement de cet article, on aura donc
pour l’expression de la longueur de l’arc de la courbe dont les deux extrémités répondent aux abscisses et x.
328. Soit , par exemple , l’hélice représentée par les équations
JT = R cos. U, j^ = Rsin.a>, z — aR«p>,
qui donnent
dx = — Rsin.u.t/u, <(^=Rcos.t>>.<^, dz=dR.d 0 .
L’expression précédente prendra la forme
résultat qu’il est aisé de prévoir d’après la nature de la courbe.
4° Volumes des solides de réTolntion.
329. Supposons que l’aïe d’un solide de révolution coïncide avec l’axe des x , et représentons par
l’équation de la courbe plane dont la révolution autour de cet axe décrit la'surface du solide. Désignons par v la partie du volume du solide comprise entre deux plans menés perpendiculairement à l’axe Ox {fig. 51 ) par les points P,^, et qui est décrite par la révolution de la partie PMmjj de l’aire delà courbe génératrice. Soit x l’abscisse Op. Il est visible que quand x augmentera de’ûx représentée, sur la figure par pq, le volume v augmentera d’une quantité égale au volume décrit par la révolution de l’aire pmnq. Or ce volume, (en supposant ^x assez petite pour que y soit constamment croissante ou décroissante dans l’intervalle pq) est compris entre ceux des deux cylindres ayant pour hauteur commune pq, et pour rayons pm et qn. Donc on a
ou bien
— <jt(r+Ar)’;
