La considération de la force et du couple dont

il s’agit peut d’ailleurs faire reconnaître immédiatement la condition analytique à laquelle il faut satisfaire pour que les forces proposées se réduisent à une résultante unique. En ellet cette réduction aura lieu si la direction de la force est comprise dans le plan du couple , ou si la direction de la force est perpendiculaire à l’axe du couple , condition qui est exprimée par l’équation obtenue ci-dessus.

59. On peut remarquer aussi que les trois dernières équations posées n° 56 peuvent s écrire

S. Pcos.ce (y — Y) — S.Pcos.6(x — X)— 0 ,

S.Pcos.6(.r — X) — S-Pcos.a(z— Z) =0 ,

SPcos.y (z — Z) — S.Pcos-7(y — Y)=0 ;

elles expriment visiblement que la somme des moments des forces du système pris par rapport «à trois axes parallèles aux axes des z, desjy et des x , menés par le point dont les coordonnées sont X,\ ,Z est nulle. Or cette propriété doit subsister pour un point quelconque de la direction de la résultante , si cette résultante existe. Donc il y aura une résultante unique si ces trois équations peuvent être vérifiées par les mêmes valeurs des trois coordonnées X,^,Z.

Cas où toutes les forces appliquées au système sont dirigées dans un même plan.

60- En prenant pour plan des xy le plan des directions des forces, il est visible, d’après ce qui précède, que les conditions de l’équilibre seront données par les seules équations

S.Pcos.a = 0, S.Pcos.G =0,

exprimant que la résultante des forces est nulle ; et S. P (ycos.a — arcos.6 = 0 ,

exprimant que le moment du couple résultant est également nul. Cette dernière équation peut être remplacée par la suivante :

S.Pp=0,

où p désigne la longueur de la perpendiculaire abaissée de l’origine des coordonnées sur la direction de la force P , et dans laquelle on doit donner aux moments P/> des signes différents , suivant le sens dans lequel les forces P tendent à faire tourner le système autour de l’origine des coordonnées.

61. On reconnaît également que l'on a, pour la détermination de la résultante , les conditions

S.Pcos.a — Rcos.cz = 0 , S.Pcos.G — Rcos.ù = 0,

d’où

R = |/(S.PcOS.a)3-t-(S.PcOs.ë)\

S.Pcos.x S.Pcos.G

cos.cz = — , cos .0 =

et

S.PO'cos.a — crcos.e) — Y.S.Pcos.a-t-X.S.Pcos.6 = 0.

Des forces quelconques agissant dans un plan se réduisent toujours à une force unique déterminée par ces équations, à l’exception du seul cas où i’oa aurait SP cos. a = 0 et SPcos.6 = 0, ce qui donnerait R=0. Les forces se réduisent alors à un couple dont le mo ment est S.P(y cos.tt — x cos. 6), ou S. Pp.

Conditions de l'équilibre lorsqu’il existe un point fixe autour duquel le système peut tourner librement dans tous les sens.

62. Admettons que l’origine des coordonnées soit placée dans le point fixe , et supposons comme dans le n" 54 que chacune des forces Pcos. a, Pcos.S, Pcos.7 ait été remplacée par une force égale appliquée à l’origine et par un couple. Les forces appliquées à l’origine étant ainsi détruites parla résistance du point fixe , le système ne pourrait plus se mouvoir que par l’effet de l’action des couples. L’équilibre subsistera donc si le moment du couple résultant est nul , c’est-à-dire si l’on a les trois équations

S.P(/cos.a — xcos.6) =0, S.Pfxcos.y — zcos.a)=0,

S.P(zcos.6— ^ros.y) =0

Ainsi , un système dans lequel il existe un point fixe est en équilibre lorsque la somme des moments des forces pris par rapport à trois axes quelconques passant par le point fixe est nulle.

63. L’effort exercé sur le point fixe est la force résultante des trois forces

S. Pcos. 2, S. Pcos.S, S. Pcos. y

qui sont dirigées respectivement dans le sens de l’axe des x, de l’axe desjy et de l’axe des z.

Conditions de l’équilibre lorsqu’il existe dans le système deux points fixes.

64. Nous, admettrons , pour plus de simplicité, que l’origine des coordonnées est placée dans l’un des

points fixes , et que l’axe des x est la ligne droite qui joint ces deux points. Leur distance sera représentée para. *

Si le système est en équilibre, ou ces forces se détruisent entre elles , cas dans lequel leurs valeurs vérifient les six équations du n° 54 ; ou ces forces sont détruites par la résistance des points fixes , et dans ce dernier cas les six équations dont il s’agit doivent être vérifiées lorsque l’on comprend dans le système des forces égales et directement opposées aux ellorts exercés sur les points fixes. D’après cela , si nous désignons par E,F,G les trois composantes dans le sens de l’axe des x , de l’axe des y et de l’axe des z de l’eflort exercé sur le premier point fixe placé dans l’origine des coordonnées; et par E',F',G' les trois composantes de l’elïort exercé sur le second point fixe placé dans l’axe des x à la distance a du premier; on aura évidemment

S.Pcos.a — E — E'=0 et S.Pfycos.x — jrcos.6)-t-F'a = 0

S.Pcos.6 — F — F'=0 S.P(jrcos.y — zcos.a) — G'a=0

S.Pcos.y — G— G'=0 S.P(zcos.G — ycos.y) =0.

Quelles que puissentêtre les forces proposées , on pourra toujours trouver des valeurs deE,F,G, E'.F'.G', qui satisfassent aux cinq premières équations. La seule condition nécessaire pour que l’équilibre subsiste est donc exprimée ici par l’équation

S.P(zcos.S — y cos. y) = 0,

qui doit être vérifiée par les valeurs des forces ; d’où l’on conclut que le moment de rotation des forces pris par rapport à l’axe passant par les deux points fixesdoit avoir une valeur nulle.

05. Quand d existe deux points fixes , le système ne peut plus que tourner autour de la ligne droite passant par ces deux points : l’équation précédente exprime que les forces ne tendent pas à produire un tel mouvement. Mais si l’on ne supposait pas que les deux points dont il s'agit fussent entièrement fixes . mais seulement qu’ils ne peuvent sortir d’une même ligne droite donnée , il faudrait alors attribuer une valeur nulle aux composantes désignées ci-dessus par E et E'. Ainsi , l’équilibre du système exigerait , outre l’équation précédente , l'équation

S.Pcos.a=0,

qui exprime que la somme des composantes des forces dans le sens de l’axe de rotation a une valeur nulle.