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sm.a sin. « On trouvera de la même manière
COS. 7 COS. a COS. a
fi—x'TT~.~z ~r^7'> et r=y-:
cos.e
sin.7
sin.a sin. <5’ ' sin.y
Les trois équations dont il s’agit peuventdonese changer en
S P/«in.a=rO, S.P(7sin.6=0, S.Prsin.7=0,
Les trois équations
S.Pcos.a=0, S.Pcos.6 =0, S.Pcos.y=0, se rapportent ii Y équilibre de translation. Elles expriment que la somme des forces proposées estimées parallèlement aux trois axes est nulle; et par conséquent que la somme de ces forces estimées parallèlement à
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Et
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une ligne quelconque est également nulle. Les trois autres équatioüs se rapportent à l’ équilibre dé rotation. Elles expriment que la somme des moments des forces pris par rapport à chacun des trois axes , moments qui mesurent l’énergie avec laquelle les forces tendent à faire tourner le système autour de ces axes est nulle , et l’on en conclut que la somme des moments des forces pris par rapport à une ligne quelconque sera également nulle.
56. Admettons en second lieu que le système des forces proposées ne soit pas en équilibre. Elles peuvent alors se réduire à une force unique qui en est la résultante, ou une telle réduction est impossihle. Si elles se réduisent à une force unique , on établira l’équilibre dans le système en appliquant une force égale et directement opposée à cette résultante. Donc en désignant celle-ci par R, par a,b,c les angles que sa direction forme avec les axes, et parX, Y, Z les coordonnées de son point d’application , on aura les six équations
S.Pcos.* — Rcos.a=0,
S.Pcos.6 — Rcos.è=0 ,
S.Pcos. y — Rcos.c=0 ,
S.Pfj'cos.a — .rcos.6) — R(Ycos.a — Xcos.è)=0, S.P(xcos.y — z cos. a) — R(Xcos.c — Ycos.«)=0 , S.P(z cos. 6 — yc.os.y) — R(Zcos.& — Ycos.c) =0;
dont les trois premières donnent
R=j/ (S. Pcos.a)’+ (S.Pcos. 6)’4*(S.Pcos.7)‘
cos. a
S.Pcos
cos.è=
S.Pcos.6
cos.c =
S.Pcos. 7
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et les (rois autres
S.P(y cos.a — .r cos. 6) — Y.S.Pcos.a+X.S.Pcos.Ç=0 S.P(jrcos.y — s cos.a) — X.S Pcos.y+Z S.Pcos.a=0 S.P(scos. 6— .ycos.y) — Z.S.Pcos.E+Y.S.Pcos.y =0.
Ces dernières équations ne peuvent déterminer les coordonnées X,Y,Z. En les éliminant on trouve l’équation de condition
0= S.Pcos.a.S.P(z cos. 6 — .ycos.y)
+ S.Pcos.6 S.P(jrcos.y — z cos. a) + SPcoS.y.S.P^COS.a — JTCOS.6)^
qui doit être vérifiée pour que les trois équationsdont il s’agit puissent subsister ensemble , et appartenir aux projections d’une même ligne droite qui sera la direction de la résultante des forces du système.
57. Si l’équation de condition précédente n’est point vérifiée , les forces proposées ne peuvent se réduire à une résultante unique. Mais elles se trouvent réduites par len° 54- à une force appliquée «à l’origine, qui est la résultante des forces S. P cos. a, S.Pcos.6, S. P cos. y dirigées suivant les axes des x , des y et des z , et à un couple unique qui estle couple résultant des trois couples agissant dans les plans des xy, des xz et desjyz, dont les moments sont respectivement
S P^cos.x— jtcos.6), S P( JTcos.y — zeos.a),
S. P (zeos.ê— ^COS.y).
Or on peut composer la force appliquée à l’origine avec une des forces du couple : ainsi le système peut toujours être réduit à deux forces seulement.
