Lorsque toutes les forces du système sont diri

gées dans des plans perpendiculaires à la ligne qui joint les deux points fixes, les termes contenant cos.a sont nuis, et l’on a

S.P-rcos.S

^,S.Pxcos.Y

S.P(a — xjcos.C

S.P(a — x)cos.y a

Il n’existe plus d’efïort dans le sens de la ligne qui joint les deux points fixes ; et les efforts dirigés perpendiculairement à cette ligne sont les mêmes qui auraient eu lieu si les forces du système , sans qu’on les sortît des plans où elles sont situées , étaient transportées parallèlement à elles-mêmes et appliquées à la ligne dont il s’agit.

68. S’il existait dans le système trois ou un plus grand nombre de points fixes , l’équilibre aurait toujours lieu, quelles que fussent les forces appliquées à ce système. Quant aux valeurs des efforts exercés sur les points fixes , elles sont alors en général indéterminées. Néanmoins , comme les efforts dont il s’agit , pris en sens contraires et réunis aux forces du système , doivent'toujours vérifier les six équations de l’équilibre du n° 54, cette condition établit dans chaque cas particulier des limites entre lesquelles ces valeurs sont nécessairement comprises.

L’indétermination dont on vient de parler est un résultat nécessaire de l’hypothèse d’une rigidité parfaite dans les parties constituantes du système , ou de l’invariabilité absolue de la figure formée par les points matériels auxquels les forces sont appliquées. Celle bypo-

tî

thèse est une abstraction purement mathématique qu’il est nécessaire de faire pour présenter avec simplicité • les théories de l’équilibre , mais qui ne s’accorde pas exactement avec les effets naturels. Dans la réalité , la figure naturelle d’un corps s’altère toujours un peu lorsqu’il est soumis à l’action de diverses forces ; et les conditions de ces changements qui dépendent de la nature physique du corps, jointes aux lois générales de l’équilibre , donnent toujours tout ce qui est nécessaire pour déterminer complètement l’état du système , état dont il est évident qu’aucun élément ne peut jamais demeurer indéterminé et arbitraire.

Conditions de l'équilibre dans le cas où un corps solide soumis à l’action de diverses forces s’appuie par un ou plusieurs points contre des surfaces fixes données.

69. Supposons d’abord que le corps solide s’appuie par un seul point contre une surface. Ce point ne pourra se mouvoir dans le sens de la normale à la surface ; mais il pourra se mouvoir dans une direction quelconque perpendiculaire à cette normale; et de plus , le corps pourra tourner autour d’une ligne quelconque passant par le point dont il s’agit. D’où l’on conclut que l’équilibre exige : 1° que les forces appliquées au corps solide puissent se réduire à une résultante unique; 2° que la direction de cette résultante coïncide avec la direction de la normale à la surface menée au point d’appui. Il est visible d’ailleurs que le sens de l’action de la résultante doit être tel qu’elle tende à appuyer le corps contre la surface, et non à l’en écarter.

70. Si le corps solide s’appuie par deux points contre une surface, l’équilibre subsistera si l’on peut faire coïncider les directions des deux forces auxquelles les • forces proposées peuvent toujours être réduites, avec

les deux normales à la surface menées aux points d’appui. Et si les forces proposées se réduisent à une résultante unique, il sera nécessaire que ces deux normales soient situées dans un même plan , qui contienne également la direction de la résultante, et se rencontrent en un point qui appartient à cette direction. Il faut d’ailleurs, comme dans le cas précédent, que les forces tendent h appuyer le corps contre la surface, et non à l’en écarter.