Si la densité est uniforme , on a simplement
A désignant l’aire de la surface.
80. Enfin l’on peut considérer un corps dont deux dimensions seraient très-petites , ce qu’on appelle chercher le centre de gravité d’une ligne. Nous supposerons, en général, cette ligne donnée par deux équations, l’une entre y et x , l’autre entre z et x ; et nous désignerons par 'ZD- la valeur du poids de la ligne, pour une unité de longueur, qui convient au point dont les coordonnées sont x, y, z. Le poids de l’élément de la ligne placé à ce point sera
Par conséquent P représentant le poids total de la ligne, etX,Y,Z les coordonnées du centre de gravité, nous aurons
jdx^y\J 1 + (^)V (£)
La valeur de-®- , qui doit être donnée en fonction de x,
. dy dz , . -
et celles de y, z, ^r;,^r , qui Ie sont également, doivent être substituées dans ces formules. Les intégrales sont prises entre les valeurs de x, qui répondent aux points extrêmes de la ligne proposée.
81. Si les poids des parties égales de- cette ligne sont partout les mêmes, les expressions de X, Y, Z deviennent
\dx{
jd. «y^i+(|)+(
'dz y
A désignant ici la longueur de la ligne.
82. Il convient quelquefois , pour la facilité des calculs , de rapporter les points des corps à d’autres coordonnées , mieux appropriées à leur figure que ne le sont les coordonnées rectangulaires. On ne s’arrêtera pas à
détailler les formules générales que l’on peut obtenir de cette manière et qui sont toujours déduites des mêmes principes. Quelquefois , aussi , la figure particulière des corps indique sur-le-champ un mode de décomposition en éléments dillérentiels parle moyen duquel une - seule opération suffit pour déterminer le centre de gravité. On reconnaît immédiatement que si un corps homogène peut être partagé en parties symétriques par un plan , ou plus généralement si un corps quelconque peut être partagé par un plan vertical en deux parties dont les poids se feraient réciproquement équilibre autour d’un axe horizontal placé dans ce plan, les plans • dont il s’agit contiendront nécessairement le centre de gravité du corps. Cette seule considération suffit quelquefois pour faire connaître ce point. Souvent elle en réduit la recherche à celle de deux ou d’une seule coordonnée.
83. Soit par exemple un solide de révolution décrit autour de l’axe des x par une courbe dont l’ordonnée y est donnée en fonction de l’abscisse x. Le centre de gravité est évidemment placé dans l’axe des a;. De plus, on peut partager immédiatement le corps en éléments dillérentiels compris entre des plans perpendiculaires à cet axe. L’élément diflérentiel du volume sera vy'dx-, et par conséquent le corps étant supposé homogène , l’abscisse X du centre de gravité du volume a pour expression
Y f xfdx
fy'dx •
8i. L’élément diflérentiel de solide ,est
• 2 nydx
la surface du même
et par conséquent l’abscisse X du centre de gravité de la surface est
fxydx\y i+(^y
f yda
dy
On doit substituer dans ces formules pour j- et — leurs
valeurs en x données par l’équation de la courbe génératrice. Les limites des intégrales répondent aux valeurs de x entre lesquelles sont comprises les portions du solide que l’on considère.
Un calcul semblable pourrait servir à déterminer le centre de gravité du volume ou de la surface d’un segment formé dans un ellipsoïde par un plan perpendiculaire à l’un des axes principaux, puisque le centre de gravité dont il s’agit serait nécessairement placé dans cet axe.
85. Nous appliquerons les notions précédentes aux cas les plus simples.
Le centre de gravité d’une ligne droite supposée chargée de poids également répartis est évidemment au milieu de sa longueur.
Considérons un arc de cercle AM [fig- 17). Soit m un point quelconque de cet arc, « l’angle compris entre le diamètre AB et le rayon Cm mené à ce point, r le rayon de l’arc. L’élément de la longueur de l’arc placé enm est rdu , et la distance C p est/’cos.w. Soit de plusü l’angle
formé avecÀB par le rayon CM mené à l'extrémité de l'arc. La distance X du centre de gravité de cet arc au centre C sera
^ /■<&>. rcos.w
sin.ft
nn \ — r
ra ' a
Ainsi le poids du sinus de l’arc AM placé à l’extrémité opposée B du diamètre horizontal AB ferait équilibre autour du centre C au poids de cet arc.
La valeur précédente de X donne également la position du centre de gravité de l’arc MAN.
86. Soit encore un arc de cycloïde compté du sommet de la courbe. On a trouvé, dans le n° 325 des Leçons it analyse , pour l’expression de la longueur de cet arc
s — 2|/ 2Ry, d’o
l’ordonnée^ étant également comptée du sommet de la courbe. Ainsi , nous aurons pour les coordonnées du centre de gravité de cet arc, en les rapportant au même point
. t-vf
