V. Centres de gravité
• 72. Dans les applications de la mécanique aux tra-
vaux des arts , la gravité ou la force qui attire tous les corps vers le centre de la terre , est regardée comme agissant suivant des directions parallèles à la verticale, c’est-à-dire à la direction du fil à plomb , ou de la perpendiculaire à la surface des eaux. De plus, cette force est supposée constante , c’est-à-dire exerçant toujours sur chaque partie des corps une action dont l’intensité est toujours la même. En effet , les dimensions des corps qui sont l’objet de nos calculs, ou les espaces qu'ils parcourent dans leurs mouvements, sont en général trop petits pour qu’il soit nécessaire d’avoir égard au changement de direction delà gravité, ou aux variations que subit (comme on le verra dans la suite) l’intensité de cette force. Ainsi les notions présentées dans l’article précédent s'appliquent immédiatement aux actions exercées par la gravité sur divers corps, ou sur les parties d’un même corps.
73. Considérons en premier lieu un système formé de plusieurs points matériels pesants , assujettis entre eux d’une manière invariable. Les poids respectifs de ces points matériels sont autant de forces verticales , et par conséquent parallèles entre elles, par .lesquelles ils sont sollicités. Si nous désignons par P l’un quelconque de ces poids, et par z les distances du point matériel à trois pians rectangulaires, les distances X,Y,Z du «centre des forces parallèles aux mêmes plans seront exprimées d’après le n" bO par les formules
S.P.v S.Pr Z S^
Quand il s’agit de poids , le centre des forces parallèles prend le nom de centre de gravité. Ainsi les expressions précédentes présentent les coordonnées du centre de gravité de plusieurs points matériels pesants , exprimées en fonction des coordonnées de ces points matériels , et de leurs poids respectifs.
1W. La position du centre de gravité relativement aux parties du système demeure la même , quelle que soit la situation du système dans l’espace. Ce système serait en équilibre si le centre de gravité devenait fixe. Les poids de tous les points matériels sont donc soutenus lorsque l’on soutient le centre de gravité , comme si toutes les parties du système étaient concentrées dans ce point.
75. Si au lieu de considérer un système de points matériels pesants on considère un système formé de plusieurs corps solides qui ont de l’étendue , on pourra lui appliquer les formules du n° 73. Les coordonnées x,y, z appartiendront respectivement aux centres de gravité de chacun de ces corps, et X,Y,Z seront les coordonnées de leur centre de gravité commun.
76. Les mêmes principes s’appliquent à la recherche du centre de gravité commun des parties d’un même corps. En général un corps n’est pas homogène , en sorte que ses parties n’ont pas toutes la même densité, ou n’ont pas toutes le même poids sous le même volume.’ Supposons les positions des divers points du corps rapportées à trois plans rectangulaires au moyen des coor-
données jc, y, z. Nous désignerons par <zs le poids que les parties du corps présenteraient sous l’unité de volume dans le .point dont les coordonnées sont x, y, z, et par P le poids total du corps.' Le poids de l’élément du volume dx.dy.dz qui est placé dans ce point sera donc exprimé par <zsdx.dy.dz-, elles moments de ce poids pris par rapport aux trois axes le seront respectivement par 'zsx.dx.dy.dz , <zii y. dx.dy.dz, <zs-z.dx.dy.dz.
Ainsi, nommant P le poids total du corps , et X,Y,Z les coordonnées du centre de gravité , nous avons , conformément aux principes exposés dans les articles XXVIII et XXIX des Leçons d’ylnalyse ,
P = fdxfdyfdz.'ZS , fdx.xjdyfdz.<zs ~ P
__ fdxfdy.yfdz.-ZS
/ dx fdy f dz.'ZB-z
La quantité <zs doit être donnée et exprimée en fonction des coordonnées x, y, z on substituera sa valeur dans les formules précédentes. La figure de la surface qui termine le corps doit également être donnée par une équation entre x, y, z. Les limites des intégrales commencent et finissent aux valeurs de chaque coordonnée qui appartiennent aux limitesdu corps. Ainsi, 1° l’on prendra la première intégrale par rapport à z entre •les valeurs de z données en x et y par l’équation de la surface qui appartiennent aux deux nappes opposées entre lesquelles le corps est compris ; 2° la seconde in té-
grale , par rapport à y, sera prise entre la plus petite et la plus grande valeur dey que donnera l’équation de la surface quand on y fera varier z seule , valeurs qui seront exprimées en x ; la troisième intégrale , par rapport à x, sera prise entre la plus petite et la plus grande valeur de x qui satisfassent à l’équation de la surface.
Lorsque les corps ne sont point enveloppés par une surface dont la nature puisse être définie par une seule équation, on décompose alors les intégrales définies en plusieurs parties dont on calcule séparément les valeurs en se conformant à ce qui vient d’être indiqué.
77. Si la densité est uniforme, devient un facteur constant qui disparaît dans les expressions de X,Y,Z. Ces expressions se réduisent alors à
V Jdx.xJdy.Jdz v f dxf dy.yfdz
f dxf dyf dz.z
A désignant le volume du corps.
78. On est quelquefois dans le cas de considérer un corps dont une dimension est fort petite ; c’est ce qu’on appelle chercher le centre de gravité d’une surface. Supposons cette surface donnée par une équation entre l’ordonnée z et les abscisses xy. Soit-®- la valeur du poids de la surface dans le point dont les abscisses sont x,jr, pour une étendue égale à l’unité de surface. Le poids de l’élément de l’aire de la surface placé au même point sera exprimé par
Ainsi , nommant comme ci-dessus P le poids total du corps* et X, Y, Z les coordonnées du centre de gravité , nous aurons
V=fdxfdy.v\y (±)V(
fdx.xjdy.?a\y (~) +
fdxjdy.'&y'^/ (fjl) +
„ fdxfdy.^z \/ (J) +
On doit avant les intégrations substituer dans les fordz dz
mules pour z, —, — leurs valeurs en x,jr, données par
l’équation connue de la surface. Les limites des intégrales sont déterminées par les valeurs des cordonnées x , y qui correspondent aux limites de la surface. On doit également substituer pour sa valeur en fonction de x, y, ' •
