Soit maintenant lé segment circulaire MAN
(fig. 17). H suffira de considérer sa moitié MAP, et de
chercher la distance du centre de gravité de cette moitié
au centre C par la seule formule
•v fdx.xy
En conservant les dénominations du n°85, et comptant les x du point C , nous avons ici
.r=r.cos.*> , dx— — rsin.w.du , ^ =rsin.u.
La formule précédente donne donc ici
c’est-à-dire
/•^sin.’w.cos.u. éL>
r(Sï — sin.licos.fl)
„ 2 sin.’iï
3 U — sin.n.cos.tt
<Vr
89. A l’égard du secteur circulaire CM AN , comme on peut le décomposer en éléments différentiels triangulaires qui ont tous leurs centres de gravité placés
aux - du rayon , on reconnaît que la distance du centre
de gravité de ce secteur au centre C est donnée par la
formule du n° 85 , multipliée parle facteur-; c’est-à-dire
que cette distance a pour expression
2 sin.ft
3 il
90. Soit une pyramide triangulaire dont le sommet est placé à l’origine des coordonnées rectangulaires , dont deux faces sont placées dans les plans des xy et des xz , et dont la base est parallèle au plan des yz. En désignant respectivement par y—px, z = qx les équations de deux des arêtes qui aboutissent au sommet, l’équation du plan qui contient la face correspondante
sera z = qx — —y. De plus, les trois côtés de la base
pourront être représentés par a , pa, et qa ; et par conséquent on aura pour le volume de la pyra-
il 1
mide ^pqaï.-a, ou —pqà'- Les formules du n° 77 donneront donc ici
c’est-à-dire , en effectuant les opérations indiquées , v 3 v 1 r 1
X~la' X ~\Pa »
d’où l’on conclut que le centre de gravité de la pyramide est placé aux trois quarts de la ligne menée du sommet au centre de gravité de la base.
On parviendra immédiatement au même résultat si l’on observe que cette ligne contient nécessairement tous les centres de gravité des éléments différentiels que l’on formerait en coupant la pyramide par des plans parallèles à la base. De plus, le volume de l’élément placé à la distance x du sommet est î pqx'.dx.
JL
Donc
dx.-pqæ*
On voit également que le résultat dont il s’agit subsisterait lors même que la pyramide n’aurait point deux * de ses faces latérales perpendiculaires à sa base, comme on l’a supposé; et qu’il peut être étendu au cas où la base de la pyramide serait un polygone d’une figure quelconque.
Connaissant le centre de gravité d’une pyramide triangulaire , on pourra d’ailleurs déterminer le centre de gravité d’un polyèdre quelconque à faces planes.
91. Les formules données n°* 83 et 84 s’appliquent facilement à la détermination. des centres de gravité du * vol ume et de la surface du segment sphérique. Considérons en premier lieu le segment décrit par la révolution t. de l’arc AM {fîg. 17) autour du diamètre AC. Les x
étant comptées du centre C, nous avonsjy = J/ r — , r désignant le rayon de la sphère.
La formule du n° 83 donnera donc ici
. \ dx.x(r' — x')
J x __3 rt—2r‘x,+xi 3 y*
X Çr ~ \ 3r>x+x‘ ~ l 2r*— Sr’x+x1
\ dx(r,jL-x')
Jx
pour la distance du centre de gravité de ce volume au centre C, a: désignant la distance CP. En retranchant x, puis posant x r — f f désignant la flèche AP, on
trouve pour
la distance du centre de gravité au point P,
En faisant x=0 ou f—r on aura la distance au centre
C du centre de gravité de la semi-sphère, qui est - r.
92. A l’égard du centre de gravité de la surface du même segment la formule du n° 84 se réduit à
dx
Le centre de gravité dont il s’agit est donc placé au milieu de la flèche AP.
93. Enfin quant au volumedu secteur sphérique décrit par la révolution du triangle mixtiligne CMA [fig- 17) autour du diamètre AC , on en connaîtra directement le centre de gravité en observant que ce secteur peut être décomposé en éléments différentiels formés par des pyramides ayant leurs sommets en C, et leurs bases à la surface convexe du segment. Or, d’après le n° 90 les centres de gravité de tous ces éléments sont placés sur la surface convexe d’un secteur dont l’amplitude est égale à celle du secteur proposé, mais dont le rayon est moindre dans le rapport de 3 à 4. Le centre de gravité de cette dernière surface convexe est donc le centre de gravité cherché du volume dugecteur. On en conclut que ce centre de gravité est placé à la distance
- r(t — cos.û)
du point P. En faisant a —
le secteur proposé devient
la demi-sphère : ainsi ce résultat s’accorde avec celui qui a été énoncé n0 91.
Usage des centres de gravité pour C évaluation des aires et des volumes.
94. Considérôns une ligne quelconque tracée dans un plan, et admettons que ce plan se meuve perpendiculairement à une autre ligne quelconque donnée, et vienne occuper une position qui s’écarte infiniment peu de sa position primitive. Cela posé, représentons-nous l’élément de surface décrit dans ce mouvement par la première ligne , et l’élément de volume décrit par l’aire que cette ligne embrasse sur le plan. 11 est visible, en premier lieu, que l’aire élémentaire décrite aura pour mesure le produit de la Ion- ’ gueur de la ligne génératrice par l’espace infiniment petit dont s’est déplacé son centre de gravité. En effet cette aire est égale au produit de la longueur de la génératrice par l’espace moyen parcouru par chacun de ses points. Or le calcul qui donnerait cet espace moyen ne diffère pas du calcul qui donnerait la distance des deux positions successives du centre de gravité de la ligne courbe. On conclut de cette remarque qu’ayant déterminé le centre de gravité delà génératrice, on aura l’aire de la surface décrite par cette ligne lorsque le plan dans lequel elle est tracée se mouvra perpendiculairement à uife ligne quelconque, en multipliant la longueur de la première par l’espace qu’aura parcouru son centre de gravité.
95. En second lieu on voit également eue le volume élémentaire décrit par l’aire embrassée par la ligne en question lorsque le plan de cette aire passe d’une position à une autre qui s'écarte infiniment peu de la première, est égal au produit de l’aire par l’espace parcouru par son centre de gravité. En ellet ce volume est égal à l’aire génératrice multipliée par l’espace moyen parcouru par chacun de ses points. Ainsi le volume décrit par cette aire, lorsque son plan se meut perpendiculairement à une ligne quelconque, peut s’évaluer en multipliant l’aire par l’espace parcouru par son centre de gravité.
Ces deux propositions s’appliquent particulièrement à l’évaluation de l’aire de la surface, et du volume des solides de révolution. On voit que ces quantités sont connues aussitôt que l'on a déterminé les longueurs et les aires des courbes méridiennes et la position de leurs centres de gravité. Mais on reconnaît facilement que les propositions dont il s’agit conviennent seulement aux cas où le contour formé par la courbe génératrice se trouve tout entier constamment d’un même côté par rapport aux lignes droites d’intersection des positions occupées successivement par le plan de cette courbe.
