MATÉRIEL LIBRE, SOLLICITÉ PAR DES FORCES QUELCONQUES

134. Dans les questions qui viennent d’être résolues, le mouvement du point matériel était rectiligne, parce que l’on a supposé ce point lancé dans la direction même de la pesanteur, et parce que les résistances ont été regardées comme des actions dirigées en sens contraire du mouvement. Nous considérerons maintenant le cas général où un corps serait soumis à l’action de forces quelconques dont les intensités et les directions peuvent varier avec le temps et avec la position de ce corps.

Nous avons expliqué dans les n»s 103, 104, 105, 106 et 117 comment les forces étaient définies et évaluées. Nous considérons ici des forces dont l’action est continue, telles que la gravité. 11 serait possible que cette action ne s’exerçât que pendant un temps très-court: ce sera une circonstance particulière à laquelle on aura égard dans les cas où elle se présentera. Nous dirons d’ailleurs que , dans la nature , aucune action n’est rigoureusement instantanée. Lorsqu’on considère de telles actions, c’est par une abstraction purement mathématique, dont il n’est pas question dans cet article. 11 y deux manières de définir une force, soit en donnant en unités de poids l’eflort quelle exerce contre le corps, soit en donnant en unités de longueur la vitesse qu’elle peut imprimer à une certaine masse dans l'unité de temps; nommant P l’ellort exercé et g la vitesse que la force pourrait imprimer dans l’unité de temps à un corps dont la masse est tn, il existera nécessairement entre ces

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fe* ;

quantités la relation P = mg. Quant à la direction de la force , on la détermine . comme on l a vu n° 20 , en donnant les angles que cette direction forme avec trois axes rectangulaires fixes.

Nous avons également expliqué n” 108 la manière dont on exprimait la nature du mouvement d un corps, en déterminant sa position à chaque instant par les valeurs de trois coordonnées rectangulaires qui sont regardées comme des fonctions variables du temps.

135. Le mouvement que prend un corps résulte nécessairement : lüde la vitesse initiale avec laquelle il a été lancé dans l’espace , 2° des actions exercées sur ce corps par les forces auxquelles il est soumis La question consiste à déterminer le mouvement du corps lorsque la vitesse initiale et les forces sont données. Quelquefois aussi l’on considère le problème inverse, c’est-à-dire que le mouvement du corps étant donné , on demande quelle vitesse initiale lui a été imprimée, et quelles sont les forces dont il a ressenti l’action.

L’analvse dilférenliellc est éminemment propre à la résolution de ces questions, parce qu’clledonne le moyen d’exprimer immédiatement des relations générales toujours subsistantes entre les fonctions du temps qui représentent les coordonnées variables du point matériel et les valeurs des forces. On a ainsi (les équations didtrentielles du second ordre qui doivent être intégrées , et dont les intégrales se complètent par la considération particulière et spéciale de la position et de la vitesse initiales du point matériel.

13G. Considérons un point matériel en mouvement, dont la masse est m,'e l désignons 'par ,r, y, z ses di-