L’équilibre du levier donne immédiatement l'é
quilibre de plusieurs forces appliquées à un point matériel. Soient trois forces P, Q, R dirigées dans le même plan, appliquées aupointM [fig. 5), et supposées en équilibre. Prenons un point A sur la direction de la force R prolongée, et abaissons de ce point les perpendiculaires AB, AC sur les directions des forces P, Q. Considérons BAC comme un levier dont le point fixe serait en A, et supposons ce levier invariablement uni au système donné des trois forces. L’équilibre de ce système ne sera pas troublé. Or on peut maintenant supprimer la force R , qui est détruite par la résistance du point fixe A. Donc les deux forces restantes P,Q se font équilibre sur le levier BAC , d’où l’on conclut que les lignes AB, AC sont réciproquement proportionnelles aux valeurs de ccs deux forces , ce qui ne peut avoir lieu qu’autant que la direction de la force sera celle de la diagonale du parallélogramme construit sur les lignes qui représentent en grandeur et en direction les forces P, Q. On verra de même que la force Q doit être dirigée suivant la diagonale du parallélogramme construit sur les lignes qui représentent les forces P, R; et l’on en déduit facilement que chacune des trois forces est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur les lignes qui représentent les deux autres.
On voit aussi que trois forces appliquées à un même point, et en équilibre, sont entre elles comme les côtés d’un triangle formé par trois ligues respecti- ' vement parallèles aux directions de ces forces , et que chacune des forces est proportionnelle au sinus de l’angle compris entre les directions des deux autres.
13. La proposition précédente se déduirait également du principe du plan incliné (voyez n°8). Puisque les forces P, Q se font équilibre autour du point D supposé fixe , ce point est situé sur la direction de la force qui pourrait leur faire équilibre. Or, les perpendiculaires abaissées du point D sur les directions des deux forces leur sont réciproquement proportionnelles : donc ce point appartient à la diagonale du parallélogramme construit sur les lignes qui représentent respectivement les forces dont il s’agit.
14. On conclut immédiatement de ce qui précède le principe de la composition des forces appliquées à un point matériel. L’action résultante de deux forces est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur les lignes qui représentent les composantes En elle t , une force égale et opposée à cette résultante détruira l’action des deux forces proposées.
Ce principe peut être démontré directement ; mais en général lesdémonstrationscom portent des considérations délimité ou d’infini. Wous indiquerons l’une des plus sim- *
pies. Considérons IelosangeADBD(/%. 6), et admettons que l’on ait appliquéaux angles A,B,etdans le prolongement des côtés , quatre forces égales : ce système sera évidemmenten équilibre : soit ensuite placé en CBEF un système pareil également en équilibre; l’équilibre subsistera toujours si l’on suppose les deux systèmes réunis. On peut maintenant, sans altérer cet équilibre, supprimer les forces qui se détruisent, et supposer les forces qui s’ajoutent appliquées aux points A, E. Or les résultantes des forces qui seront alors appliquées à l’un et à l’autre de ces deux
points devront être dirigées suivant ]a diagonale AE. Il est donc prouvé , pour le cas où les forces proposées sont dans le rapport de 1 à 2 , que la résultante est dirigée suivant la diagonale du parallélogramme construit sur les lignes qui représentent ces forces. Le même raisonnement s’appliquera au cas où les forces sont entre elles dans le rapport de deux nombres entiers quelconques , et l’on pourra en conclure facilement la vérité du principe dans le cas général.
15. On peut aussi donner de la manière suivante une démonstration purement analytique du principe de la composition des forces.
Soient deux forces égales P [fig. 7) appliquées au point M, dont les directions forment entre elles l’angle 2x. La résultante R des deux forces P est évidemment dirigée dans le plan de ces forces , et suivant la ligne qui partage l’angle 2x en deux parties égales. Déplus, la grandeur de cette résultante est toujours proportionnelle à celle des forces P. On peut donc écrire R = P./(x),
f{x) désignant une fonction inconnue de l’angle x. Considérons maintenant chacune des forces P comme la résultante de deux forces égales p dont les directions forment un angle y avec les directions des forces P : on aura également
P =p-fiy),
d’où l’on déduit
R =/>./(*). /tr).
Or le système des deux forces P pouvant être remplacé par celui des quatre forces p, la résultante R peut être regardée comme la somme des résultantes des deux
forcesqui comprennent entre elles l'angle 2(x-+^) et deux forces p qui comprennent entre elles l’angle 2(x — y). Donc on a également
R =pf(x+y)+p.J\x+y).
La comparaison de ces deux valeurs de R donne
f{x)f y)=f{x+y)+pr+y) («b
équation à laquelle doit satisfaire la fonction désignée par j\ et au moyen de laquelle on peut reconnaître la nature de cette fonction.
En effet , dillerentiant deux fois de suite par rapport à la variable y, il viendra
f(x)-f {y)=f{x+y) —f {x—y) f (*)■/' (y) —f'{xyy) -yf’(x-y)-,
et en supposant^ = 0,
f[x).f (0) =2/ (x), d’où /(O) = 2 f(x).f'( 0) = 0 /'( 0)=0
V désignant une constante quelconque , à laquelle on peut indifféremment donner le signe + ou le signe — . Nous aurons donc successivement
f (x) —zt l'f (x), d'où f’’{x)=±Ÿf {x) f'{x) = ±xp(x)
/'(X) = ±Ÿf"{x) f'\x) = ±Vp(x) etc.
f (0) = dfciy* (0) = dt 2 a*
/"(0) = ±xy,(0)=o
/"(0) = ±*y,'(0) = ±:2A‘, etc.
Par conséquent , en formant le développement de f(x ) au moyen de la série de Maclaurin , on trouvera
et en prenant les signes inférieurs f(x) = 2 cos. 1 x.
L’un ou l’autre de ces résultats satisfait à la condition exprimée par l’équation (<z) ; mais le premier est exclu par la nature de la question dont il s’agit, parce qu’en attribuant à la variable x une valeur très-peu différente de zéro , il donnerait pourra;) une valeur plus grande que 2, d’où l’on conclurait R>2P, ce qui est impossible.
Il résulte de ce qui précède que la valeur de la résultante R des deux forces P, dont les directions comprennent l’angle 2x, est nécessairement représentée par l’expression
R = 2Pcos.)x,
X désignant une constante dont la valeur est encore indéterminée. Mais si l’on suppose x — \ . les deux forces Pétant directement opposées l’une à l’autre, R=0.
Donc 0 = cosA- ; et par conséquenU = 2f+l :de plus on
doit prendre i= 0, sans quoi la résultante R serait nulle dans le cas de deux forces faisant entre elles l’angle
TT
aigu — : — . Ainsi l’on a définitivement * 2t+l
R = 2P cos. x ,
conformément au principe démontré dans le n° (14). On passe facilement du cas de deux forces égales à celui de deux forces inégales dirigées perpendiculairement l’une à l’autre , puis au cas de deux forces inégales dont les directions comprennent un angle quelconque.
16. Le principe de la composition des forces donne immédiatement des formules dont il est utile de garder le souvenir. P,Q désignant deux forces données, et R leur résultante, on a
sin.o =
R = Pcos.à+Q cos. 6,
R’=PJ+Q*+2PQ cos.(a+S).
•g sin. (a+6), sm. ë = — sin,(a+6)
il II
a, e angles compris entre les directions des forces P,Qetla direction de la résultante R.
a+ë angle compris entre les directions des forces données P, Q.
Les deux dernières équations servent à décomposer une force proposée R en deux autres forces P,Q dirigées suivant des lignes données : on en déduit
sin. S
sin.(x+6) ’
sin. a
sin. (a— 1-6) '
II. COMPOSITION ET ÉQUILIBRE DE PLUSIEURS FORCES APPLI- QUÉES A UN POINT MATÉRIEL.
17. On obtient facilement la résultante commune de plusieurs forces appliquées à un point matériel en prenant d’abord la résultante des deux premières , puis composant cette résultante avec la troisième force , et ainsi de suite.
La résultante de trois forces est représentée par la
diagonale du parallélipipède construit sur les ignés qui représentent ces trois forces.
Si l’on trace dans l’espace un contour polygonal avec des droites parallèles et proportionnelles aux forces proposées , la ligne qui fermera le contour en achevant le polygone représentera en grandeur et en direction la résultante.
Si les forces proposées sont dirigées dans un même plan , la direction de la résultante y sera également dirigée.
Le système des forces proposées est en équilibre si la résultante est nulle. Chacune de ces forces est alors égale et directement opposée à la résultante de toutes les autres.
18. Les opérations relatives à la composition et à la décomposition des forces s’effectuent avec facilité au moyen des formules données parla géométrie analytique.
Considérons d’abord le cas où les directions des forces sont comprises dans un même plan. Soit A (yî«\8)le point sollicité par les forces. Traçons dans ce plan les deux axes rectangulaires Ax , A y. P désignant une force qui est supposéeagir en tirant sur le point A, nommons “ l’angle compris entre la direction de cette force et la partie de l’axe Ax sur laquelle on compte les abscisses positives. La force P sera entièrement déterminée lorsqu’on donnera sa valeur en unités de poids et l’angle » . Les signes du cosinus et du sinus de cet angle feront connaître dans quel sens agit la force, c’est-à-dire si elle tend à transporter le point A dans le sens des abscisses positives ou des ordonnées positives , ou du côté opposé.
La force P peut être remplacée par ses deux compo-
santeS dirigées suivant les axes Ax, hy, dont les valeurs sont respectivement P cos. « , Psin.a. Désignant par S. P cos. a et S. Psin.a la somme des composantes de plusieurs forces P appliquées au point A , par R la résultante de toutes ces forces , et par a l’angle que la direction de R forme avec l’axe des x , on a évidemment
R =. \/ (S.Pcos.a)M-(S. Psin.a)1,
S. P cos. a . S.Psin.v
cos. a
sin. a = —
19. Si les forces P proposées sont en équilibre R = 0 ; ce qui suppose que l’on a séparément les deux équations
S. P cos a = 0 et S.Psin.à=0.
20. Considérons maintenant le cas où les forces P appliquées au point A sont dirigées d’une manière quelconquedans l’espace. Chaque force est toujours supposée agir en tirant sur le point A. Nous faisons passer par ce point trois axes rectangulaires Ax, A y, A z, et nous désignons par a, 6, y, les angles formés par la direction de la force P avec la partie de chacun de ces axes sur lesquels on compte les coordonnées positives. Chaque force P peut être remplacée par ses trois composantes suivant les axes Ax, A^, A z, qui sont respectivement P cos. j, Pcos.S , P cos. y. Par conséquent R étant la résultante de toutes les forces P, et a, b, c les angles que la direction de R forme avec les axes Ax, A y, As, nous avons ici
R = j/(S.P cos.*)‘+(S.P cos.3)M-(S.P cos. 7)’
S.Pcos.a , S.Pcos.6
cos.*= R , co s.Ù= R ,
cos.c
S P cos. 7
pT
Les signes de ces cosinus feront connaître le sens suivant lequel agit la résultante R. Lorsque cos. a sera positif, la force R tirera le point A du côté des a: positives, et ainsi des autres.
21 . Soit une ligne droite formant les angles X. jx, v avec les axes des x, des y et des z. Si l’on multiplie respectivement les trois dernières équations par cos. X , cos .p, cos.v, et si on les ajoute, il viendra
R (cos.a.cos.X+cos.ô. cos. p + cos. c cos .7)
= SP (cos. a. cos.X+cos.S.cos.fi+cos.y. cos.v.);
d’où l’on conclut que la projection de la résultante sur une ligne quelconque est égale à la somme des projections des composantes sur cette même ligne.
La somme des projections des composantes sur une ligne quelconque perpendiculaire à la direction de la résultante est nécessairement nulle.
22. La condition de l’équilibre du système consiste en ce que la résultante R soit nulle , ce qui exige que l’on ait séparément les trois équations
S.Pcos.a = 0, S.Pcos.6=0, S.Pcos.7=0.
En général un point matériel ne peut demeurer en équilibre qu’autant que les forces qui le sollicitent étant projetées sur une ligne quelconque , la somme des projections est nulle.
Equilibre d’un point matériel assujetti à demeurer sur une surface ou sur une ligne courbe données.
23. Soit en premier lieu un point M (fig. 9) assujetti à sc mouvoir sur une courbe nui tracée dans un plan . et
Mi
sollicitée par plusieurs forces dirigées dans ce même plan. On représente, comme dans le n° 18, par P la valeur de l’une quelconque des forces, et par «l’angle compris entre sa direction et l’axe des x. La condition de l’équilibre des forces P consiste évidemment ici en ce que la résultante de ces forces soit dirigée dans le sens de la normale menée à la courbe au point M ; car l’action de cette résultante se trouvera alors entièrement détruite par la résistance de la courbe, et ne pourra imprimer au point matériel aucun mouvement. En désignant donc, comme ci-dessus, par R la résultante des forces P, par a l’angle que sa direction forme avec l’axe des x ; et se rappelant que la courbe mn étant rapportée aux deux coordonnées rectangulaires x,y, la tangente menée à cette courbe au point M forme , avec l’axe des x,
un angle dont la tangente trigonométrique est y-; on exprimera la condition de l’équilibre en posant
