Le cas le plus simple est celui où le point ma
tériel se meut sur une ligne droite inclinée. Soit a l’angle formé par cette ligne avec !a verticale : on aura dx dz
sin.* cos. «. La pression exercée par le
point matériel sera simplement
mg. sin.a. ■ fjf
L’expression précédente de de deviendra
0, jim M
ds • ;
di=-
\/ e.’+2gcos.«.(.« — in)
et étant intégrée de manière que s = sa quand 1 = 0, donnera
— v<r\\/ v’„+2gcos.a.(s— s-') g cos. a.
Ce résultat ne diffère point de celui qui convient à un corps cédant librement à l’action d’une force accélératrice constante qui lui imprime dans l’unité de temps la vitesse g cos.* , c’est-à-dire la composante de la vitesse g dans le sens de la ligne inclinée.
164. On peut remarquer que si le corps part sans vitesse initiale de l’extrémité supérieure de la ligne inclinée , on a simplement t = \ / — — — Par consé-
\ g COS. a.
quent, si l’onconsidérail des lignes diversement inclinées AC, AC', etc. , (/ ig . 18), et qu’on voulût les assujettir à la condition qu’un pointmatériel partant du point A arrivât à l’extrémité de chacune dans le même temps , il faudrait leur donner des longueurs telles que le rapport
fût constant; d’où l’on conclut que ces lignes dé-
cos.*
vraient se terminera la circonférence d’un cercle passant par le point A.
165. Dans les cas naturels , lorsque les corps glissent le long d’une courbe en cédant à l’action de la gravité, il existe des résistances qui en altèrent les mouvements. L’hypothèse qui sera en général le moins éloignée de la vérité, quand il s’agit d’un corps solide, consiste à regarder la résistance comme due à un frottement dont l’intensité est proportionnelle à la pression exercée contre la courbe. On écrirait alors pour exprimer les condi-
lions du mouvement d’un corps pesant glissant sur une courbe contenue dans un plan vertical, l’équation
Dans quelques cas, il pourrait être nécessaire de considérer la résistance comme dépendant de la vitesse du point matériel , et d ajouter au second membre un terme de la forme
H et C désignant des coefficients constants. -
L’intégration de cette équation fera connaître la loi du mouvement.
160. Si l’on suppose, comme dans le n' 163, le point materiel assujetti à se mouvoir sur une ligne droite formant un angle a avec la verticale , l’équation précédente deviendra , en désignant toujours par v la vitesse
Celte équation ne diffère point de celle qui a été traitée dans le n" 103. Le mouvement du point matériel sur la ligne inclinée est égal au monvement qui aurait lieu sur une ligne verticale si la gravité était réduite dans le rapport de cos. a— /sin. a à l’unité. Ce mouvement devient uniforme lorsque la valeur de la vitesse v satisfait à la relation
/désignant le rapport du frottement à la
frottement à la pression.
de ce point à la fin du temps t ,
dv
m ="'£•( c°s • «— /ii n . ») — ( Bp-KV ) .
rfglçtis <*s—/t>i Bn+O’ •
Mouvènumt d'un /> oint matériel jiesitnl dans le cercle..— Pendule circulaire. '
167. Considérons un point matériel pesant assujetti à se mouvoir dans un cercle dont AB( fig. 19) est le diamètre vertical. Soit M la position initiale de ce point et e0 sa vitesse initiale. En cédant à l’action de la pesanteur, il descendra sur l’arc MA. Parvenu au point inférieur A.
sa vitesse sera la plus grande possible. 11 montera ensuite avec une vitesse décroissante l’arc AN, et lorsqu’il arrivera en N au niveau du point de départ M , il aura la
même vitesse v„ qu’il avait en ce dernier point. Si t’„ surpasse la vitesse due à la hauteur BP, le point matériel montera de N en B, et dépassant ce point redescendra sur l’arc BMA. Dans ce cas, il continuera à parcourir dans le môme sens la circonférence du cercle, les
maxima et minima de la vitesse ayant lieu respectivement aux points A et B.
Mais si i*0 est nulle, ou seulement moindre que la vitesse due à la hauteur BP, le point matériel ne pourra pas monter jusques au point B. Il redesceudra donc sur l’arc BNA à partir du point où sa vitesse est devenue nulle, puis remontera sur l’arc AMB jusques au niveau de ce dernier point. Le point matériel continuera ainsi à osciller dans le cercle , c’est-à-dire à parcourir alter-
nativement en sens opposés une portion de la circon-
férence formée de deux arcs symétriques par rapport au diamètre vertical AB. La vitesse de ce point sera nulle aux extrémités supérieures des deux arcs , et la plus grande possible au poinl inférieur A. Les temps em-
ployés par le point matériel à descendre sur l’un des arcs ebà monter sur l’autre seront égaux entre eux.
Jt |
Digi
168. Supposons les points du cercle rapportés au* deux axes horizontal et vertical Ax, A z, passant par le point inférieur A, les z étant comptés de bas en haut. Soit M la position intiale du point matériel et zo l’ordonnée du point M. Admettons qu’au bout du temps t le point matériel soit parvenu au point m, dont les coordonnées sont x et z , Am sera l’arc désigné par s. Pour appliquer ici la formule du n° 162 , il faudra donner aux différentielles dt et ds des signes contraires, et changer le signe de g, parce que la gravité est dirigée de manière à diminuer les z. Nous aurons donc
dt--
ds
V' vS-\-'2g[Zo— s)
ou , parce que
ds = dz.
\/ Orz—z' r.dz
Ainsi l’intégrale
V' (2rz— z'fc'S+Zgiz— z)]
— r.dz
l/ (2rz— s’)[vo’+2g(Zo— s)]
représente le temps employé par le point matériel à parcourir l’arc Mm dont les coordonnées des points extrêmes sont z. et z. «' y, ’iS * ’
169. Nous considérerons le cas où le mobile part du point M sans vitesse initiale, et nous chercherons lé temps T qu’il emploie à descendre au point inférieur A. \ L’expression précédente donnera '.ri
— r dz
J. l/(2rz-z%).2iïvt—z\
qui peut s’écrire
dz
té*.
jlF •
ou en développant le facteur ^
Od remarquer.! d’abord que dz
par conséquent
: arc. sm.
? représenUint le rapport de la circonférence au diamètre. Quant aux intégrales relatives aux autres termes de la série , qui sont toutes de la forme ...
.z'dz
l/zoz-z' '■ &
m • ; * . »rt %t '-*„•»* .4|
‘ lfcurs valeurs dépendent les unes des autres et peuvent s’exprimer au moyen de la précédente, comme on 1 a vu dans le n° 287 des Leçons d’analyse. On peut d’ail-
IC l
leurs s’en assurer d’une manière fort simple en observant que
z'dz z'+'dz
1/zoZ-z'
ZoZ-
On aura donc, en intégrant les deux membres de cette équation depuis s = z„ jusqu’à z = o, puisque l’intégrale du premier membre est nulle entre ces limites ,
f*. z'+'dz (2«+l)sof z"-dz
Jo V* s., S— s"
Celle relation , en faisant successivement n = o, ri = i , n=2, etc., donnera, à partir du second, tous les termes de la série précédente, laquelle deviendra
Le point matériel parvenu en A emploie pour s'élever en N au niveau du point de départ M le même temps qu’il a employé à descendre de M en A. La durée d’une oscillation, c’est-à-dire le temps nécessaire pour que le point matériel parcoure l’arc MAJV, est double de la valeur précédente de T.
170. Soit n l’angle MCA formé par le rayon CM qui répond au point de départ du point matériel avec le diamètre vertical AB. On aura
-= 2 (1 eos ft), ou etc. ,
Sr 1 arc ’ft.esl très-petit , l'expression de la durée d'une
oscillation se réduira donc, en ne conservant que le» deux premiers termes de la série , à
et, en ne négligeant qu’une quantité très-petite du se-
Àinsi , la durée des petites oscillations circulaires d’uu point matériel est indépendante de l’amplitude de'ces oscillations , propriété qui s’exprime en disant que ces oscillations sont isochrones, c’esl-a-dire que leur duree est la même , quelle que soit leur étendue. Cette durée est égale au temps qu’emploierait un corps pesant à tomber d’une hauteur égale à la moitié du rayon du cercle multiplié par le rapport n. Une courbe quelconque pouvant être regardée comme se confondant dans une étendue très-petite avec son cercle osculateur , la formule précédente exprimera également la durée des oscillations d’un point matériel sur une courbe quelconque tracée sur un plan vertical dans une étendue très-petite de part et d'autre du point où la tangente est horizontale, r désignant le rayon de courbure dans ce point.
171. Les résultats des deux nos .précédents donnent la loi des oscillations de ce qu’on nomme le pendule simple , c’est-à-dire d’un point matériel pesant suspendu à un point fixe au moyen d’un fil inextensible et sans masse. En supposant ce point matériel placé hors de la
cond ordre, à
verticale qui passe par le point (le suspeusion , puis abandonné sans vitesse initiale à l’action de la gravité, il fera de part et d’autre de cette verticale des oscillations circulaires , dont la durée , abstraction faite de l’ellel de la résistance de l’air , est donnée par l’expression de 2T. La longueur du fil est représentée par / . ...
Comme il est aisé de compter le nombre des oscillations faites par un pendule dans un certain intervalle de temps , et par conséquent de comiaître la durée de chacune de ces oscillations, ce genre d’observations donne une évaluation exacte de la quantité désignée par y , c’est-à-dire de la vitesse que la gravité imprime aux corps pesants, ou du double de l’espace que cette force peut leur faire parcourir dans la première unité de temps de leur chute. Mais on doit considérer que l'hypothèse du pendule simple, c’est-à-dire d’un corps dont la masse est concentrée à l’extrémité du fil de suspension, ne peut être réalisée. Il est nécessaire d'avoir égard au volume et à la figure du corps oscillant, ce qui donne lieu à une nouvelle question qui exige un principe spécial et dont on s’occupera dans la suite. Il est également nécessaire d’avoir égard à la diminution que subit dans l’air le poids des corps, à l’elfet de la résistance que ce fluide oppose au mouvement du corps oscillant, à l’influence du mode de suspeusion, et à quelques autres circonstances.
172. En revenant à la considération du pendule simple , on peut remarquer que le fil de suspension sera constamment tendu. La tension de ce fil n’est autre chose (pic la pression exercée par le poiut matériel contre la courbe qu’il est assujetti a décrire, pression dont la va-
leur a été indiquée n° 161. Lorsque le point matériel est enm[Jig. 19), la composante du poids mg dans le sens du
rayon Cm est mg. — ; et la force centrifuge de ce
, . , v 2g(su — z) , . .
point materiel est m. — =m.~ La tension du
fil, qui est la somme de ces deux forces, est donc exprimée par
Mouvement d'un point matériel pesant dans la cycloïde. — Pendule eycloïdal.
173. Soit une cycloïde DAD1 dont l’axe DD'(/zg.20) est horizontal, A étant le point le plus bas de cettecourbe, et AB le diamètre du cercle générateur, que nous désignerons par a. En représentant comme ci-dessus par zn et z les hauteurs verticales au-dessus du point A de la position initiale M du point matériel pesant et de la position m où ce point se trouve au bout du temps t , nous aurons , comme au n° 168 ,
ds
dt =
s représentant l’arc Am. Mais par la nature de la cycloïde ( voyez le n° 191 des Leçons d’analyse)
s= as, et ds =
l’équation précédente devient donc , en supposant la vitesse initiale nulle ,
•JTL dz
dt=-\/-.-y==r,- •’
En intégrant comme au n° 169 , cette expression donne 1* / 2a
■ arc. cos.-
pour l’expression du temps employé par le point matériel à descendre de M en m.
Le temps T employé par ce point pour descendre de M en A est donc exprimé par
Ainsi , le temps de la descente d’un point matériel sur un arc de cycloïde jusqu’au point inférieur est indépendant de la longueur de cet arc. Une courbe qui a cette propriété se nomme courbe tautoebrone. La propriété dont il s’agit n’appartient qu’à la cycloïde, ou aux courbes a double courbure que l’on formerait en pliant la cycloïde sur un cylindre vertical à base quelconque. Lorsque le corps, parvenu au point A, montera en M' , puis oscillera en parcourant alternativement en sens opposés l’arc MAM', la durée des oscillations sera le double de l’expression précédente, ç’est-à-dire égale
àV— , quelle que soit l’étendue de cet arc. ë
17 h. On doit remarquer que l’expression T=~V —
ne diffère point du premier terme de la série obtenue n° 169 , dans lequel on remplacerait r par la. Ainsi , la
- 'Mi-
durée des oscillations daus la cycloïde est égale, quelle que soit leur amplitude, à la durée des oscillations trèspetites d’un pendule circulaire dont la longueur serait double du diamètre du cercle générateur de cette cycloïde. De plus , si l’on place en CD et CD' deux moitiés d’une cycloïde décrite par le même cercle générateur que la cycloïde proposée DAD\ les parties AD, AD' de cette dernière seront respectivement les développées des arcs CD, CD'. Par conséquent, si l’on conçoit le point matériel placé à l’extrémité d’un fil parfaitement flexible attaché en C, dont la longueur soit CA ou 2 a, et qui oscille de part et d’autre de la verticale AC en développant les portions de courbe CD, CD', ce point matériel décrira des arcs appartenant à la cycloïde DAD’ ; et la durée des oscillations de ce pendule cycloïdal, quelle que soit leur amplitude , est la même que la durée des oscillations très-petites du pendule circulaire dont AC est la longueur.
