L’équation (6) donnant une relation entre q
fait connaître la figure de la courbe. Éliminant e entre cette équation et l’équation (5) , et représentant par Q la quantité
on déduit
, m dq
dl=~ k <>■
dzi •“ •
m qdq
le Q ;
et par conséquent
'x-- ^tan8'9 -q
m f tanS® qdq
Ces intégrales définies étant calculées par approximation feront connaître les coordonnées du point de la courbe dans lequel la tangente a une inclinaison fixée par la valeur de q. On pourra donc tracer cette courbe qui se trouvera déterminée par une suite de points et par la direction des tangentes tracées par ces mêmes points. Les valeurs de x et de z correspondantes à q = o donneront les coordonnées du sommet de la courbe. La valeur de x qui répondra à la valeur o de z donnera l’amplitude du jet.
La courbe n’est point ici formée de deux parties symétriques séparées par le sommet ; la branche descendante a pour asymptote une ligne verticale. En eflet, soient x' etz' deux valeurs de x et z correspondantes à une valeur négative très-grande de q que nous désignerons par q' ; et soient également x“ et z' deux autres valeurs «le x et z correspoudantes h une valeur négative q" encore plus grande. On «aura sensiblement
or, la première de ces expressions tend vers la limite o à mesure que q et q'' sont plus grandes , tandis que la seconde expression tend à devenir — , d’où résulte la
proposition énoncée.
L’équation (6) donne la longueur de la courbe en fonction de l’inclinaison de la tangente.
180. Pour obtenir l’expression du temps nécessaire pour parcourir une portion donnée de la courbe , on
observe que , d’après l’équation (4), dt‘ = dq.dx .
ou en remplaçant dx par la valeur précédente , dt=
d’où
v gKl/Q
%/ m ftan6-9
181. Enlin, pour avoir la vitesse du projectile en un point donné de la courbe , vitesse que nous désigne-
doc*
rons par v, on observe que v = (l+o*) ou à
de
cause de l’équation (ü) ,
ou en mettant à la place de dt la valeur précédente ,
En donnant à q une valeur négative de plus en plus grande, cette formule s’approche de plus en plus de là
valeur v' = , ce qui s’accorde avec les résultats ob-
tenus n° 122. -
182. Considérons maintenant le cas où la direction initiale du mouvement s’écarte très-peu d’une ligne horizontale. On peut alors regarder dans la partie de la courbe située au-dessus de l’axe des x les quantités x et s comme ne différant pas sensiblement l'une de l’autre. L’équation (3) devient
dx — * dt
ak
et l’équation (5) ,
dfj=—~dx.e’ d’où l’on déduit, au lieu de l'équation (6) ,
ZF*.
ms
ï=tanS’Ç-2KT
Cette dernière, en remarquant que dz — qdx, donne pour l’équation de la courbe
ni' g ( — * 2K X
=,r.tang.8 —^X~ 1 )■
dx
