XII. Mouvement des planètes et des satellites. — Lois
de Kepler. — Principe de la gravitation universelle.
184. Les astronomes ont établi d'après l’observation les lois géométriques des mouvements des planètes autour du soleil et des satellites autour des planètes. Ces mouvements s’accomplissent à fort peu près dans des orbites elliptiques, et sont assujettis à des conditions générales , appelées lois de Kepler. Newton a déterminé d’après ces lois la cause mécanique de ces mouvements, c’est-à-dire la nature des forces dont les corps planétaires sont animés et des actions qu’ils exercent les uns sur les autres. Il a montré que ces actions sont le résultat d’une force d’attraction mutuelle existant entre toutes les parties des corps, et dont l’intensité est réciproque au quarré de la distance de ces parties. Nous indiquerons les notions principales sur lesquelles ces résultats importants sont fondés.
Première loi de' Kepler. Les orbites des planètes sont des courbes planes , et les aires décrites par les rayons vecteurs autour du centre du soleil sont proportionnelles aux temps : d’où l’on cooclut que la force qui produit le mouvement de la planète est dirigée vers le centre du soleil.
185. Cette conséquence résulte immédiatement de ce qui a été exposé dans le n° 144. Si l’on veut la démontrer directement , soit ( fig ■. 21 ) A le centre du soleil, M celui de la planète , MN l’orbite, que nous supposerons rapportée à deux axes rectangulaires Ax , A y passant par le centre du soleil. Désignons par P, Q les composantes dans le sens des x et des y de la force agissant
sur la planète, que nous supposons dirigées de manière à diminuer les coordonnées positives, rn étant la masse de la planète, les équations de sou mouvement seront
On en déduit
(Tx
x<i’y—yd‘x 1 dt‘
=Pj — Qx,
ou
d. (xdy—ydx)
l'ZT "90
=I’r — Qx.
dt* y».. «
Or, xdy — -ydx est le double de l’aire décrite par le rayon vecteur AM lorsque t augmente de l’élément dt. Donc d’après la loi énoncée , cette quantité est constante dans toute l’étendue de l’orbite. Sa différentielle est donc nulle , et l’on a
o=P^— Qx, ou £ = -.
La force dont P et Q sont les composantes est donc dirigée suivant MA.
Deuxième loi. Les planètes décrivent des ellipses dont le centre du soleil est un des foyers ; d’où l’on conclut que la force qui produit le mouvement de la planète varie en raison inverse du quarré de la distaWce de la planète au soleil.
