C .dr

V r wj H

D’après la relation r'dv = C .dt posée n° 186, cette équation donne

dt=-

r. dr

ou en mettant pour C’ sa valeur (u‘ 194) H’V'sin.'J; et

ayant égard aux expressions de p et e écrites n° 196 ,

r.dr

dt = -

* / A A 2Ar

y m mp m

Cette dernière équation peut s’écrire

r.dr

* x/zsz.v/^-r^-iT

V rn(t-e2) V [ P

ou en mettant a à 'la place de

r.dr

dl—

dont l’intégrale ( qui s’obtient facilement en posant -1 — t = ecos.ç , y désignant une nouvelle variable) est

const.-\/ ^[\/eJ-( ~-l )* +arc' cosr \ ' 1 )

Si l’on pose successivement r=a(l — e) et /-=a(l +e) , cette formule deviendra

% / nia3

t=const. — jtV/ — ■ — , et t=

const.

Ainsi , la durée entière d’une révolution entière est

2 tt Ce résultat s’accorde avec l’équation écrite

n° 188 , puisque nous avons ici r = — .

DigifizedÇjj

XIV. Attraction d'un corps sphérique sur un point matériel. — Variations de la gravité a la surface de la terre. — Densité moyenne de la terre.

200. Nous avons admis dans les articles précédents que l’attraction exercée par les corps planétaires sur un point matériel pouvait être regardée comme émanant du centre de ces corps , de la même manière que si toute leur masse était concentrée dans ce point. Celte hypothèse est conforme à la vérité lorsque l’on consi sidère les corps planétaires comme des sphères homogènes , ou comme des sphères formées de couches concentriques homogènes.

Soit C [fig. 23) le centre d’une couche sphérique d’une épaisseur infiniment petite dont nous , désignerons le rayon CM par R ; et A la position d’un point matériel dont la masse est m , et que nous supposons d’abord placé au dehors de la courbe sphérique. Appelons r la distance AC. Il s’agit de connaître la force avec laquelle le point matériel est attiré par la couche sphérique , force qui est évidemment dirigée suivant la ligne AC lorsque la couche est homogène. Nous pouvons décomposer cette couche en éléments différentiels en la coupant par des plans MN perpendiculaires à la ligne AC. Désignons pour l’un quelconque de ces éléments par <•> l’angle MCA, et par x la distance AM. Nous aurons

MP=Rsin.w, et x'=r‘ — 2Rrcos.M-t-R\

Le volume de l’élément différentiel dont il s’agit sera <^R.27rRsin.'.>.Rrfw ;

et, par conséquent, en appelant p la masse de la matière de la couche pour l’unité de volume., la masse de cet élément sera

uâ.jr.RWJWwsin • W.

Remarquons d’ailleurs que les portions de l’élément différentiel placées en M et en N exercent sur le point matériel placé en A des actions qui se détruisent en partie, et dont on ne doit prendre que les composantes dans la direction AC. On aura d’après cela , pour la force avec laquelle le point matériel est attiré par l’élément différentiel ,

/’.[i/tt.2rrR'V£R.<£Msin.M r — Rcos.m

/’ désignant uq coefficient constant , comme dans le n° 189; ou en mettant pour w la valeur qui se déduit de l’équation écrite ci-dessus entre u et r,

. rRfllR , .r’+r'— RJ fum — - — .dx = .

201. On aura l’attraction exercée sur le point matériel par la couche sphérique entière en prenant l’intégrale de cette expression entre les valeurs extrêmes AB et AD de x, c’est-à-dire depuis x=r — R jusqu’à x=r+R. L’intégrale indéfinie étant

f.um-

»RrfR/

l’expression cherchée est donc

„ 4kRVR

Le fée leur 4^R’ représente la surface de la couche sphé-

rique, et p.kxrR’^R en représente la masse. Ainsi, l’attraction qu’exerce cette couche sur un point matériel placé au dehors ne difl’ère pas de celle qu’exercerait un point matériel de même masse que celle de la couche et qui serait placé au centre de cette couche.

202. Une sphère étant l’assemblage d’une infinité de couches concentriques, on peut lui appliquer le même résultat ; et on voit que ce résultat subsiste également lorsque la quantité f* est constante , ou lorsqu’elle varie seulement avec le rayon R, c’est-à-dire lorsque la sphère est homogène, ou composée de couches concentriques homogènes.

203. Si nous regardons p comme constante , l’attraction exercée sur le point matériel par une couche d’une épaisseur finie ayant pour rayons extrêmes R' et R , sera

f. •un. — - — .

L’attraction d'une sphère dont le çayon est R est donc . 4- R3

et si le point matériel était placé à la surface de cette sphère, l’attraction dont il s’agit deviendrait

/• *ru /.uw.— R,

c’est-à-dire quelle serait proportionnelle au rayon de la sphère.

204. Considérons maintenant le cas où le point matériel attiré par une couche sphérique d’une épaisseur

Digitizeçjib.

1 aflft

infiniment petite est placé en A (fig. 24) en dedansde cette couche. L’expression obtenue n>- 200 , pour l’attraction d’un élément diflérentiel de la couche, convient é^alement au cas dont il s’agit pour ceux de ces éléments dillérentiels qui sont placés à gauche du plan EF mené par le point A perpendiculairement à la ligne AC. Ainsi, l’attraction de cette partie de la couche est exprimée par l’intégrale indéfinie

f.ton.

qui doit être prise entre les valeurs extrêmes AE et AD

de x, c’est-à-dire depuis x= l/Rr r’ jusqu’à a.=R + r.

Cette attraction est donc

. irRrfR/ Rr — 2r3-t-R3 \

f.um.— — ( 2R -r ).

A 1 égard des éléments de la partie de la couche sphérique qui sont placés à droite du plan EF, le même calcul fait dans le n° 200 donnera pour l’expression de leur attraction

f.um.2nR'dR.da>s\n.to Rcos.u — r

qui se change en

„ rRafR , R* — r1 — x’ f.fim dx-

expression dont l’intégrale indéfinie est

TiRrfR/' R3 — r

Cette intégrale doit être prise entre les valeurs extrêmes AB et AE de x, c’est-à-dire depuis a; = R — r jusqu’à x—V'R i — r*. L’attraction cherchée de cette seconde partie de la couche est donc

TrRdR^ R

Rc — 2r’+R'\ l/R^r‘ /

c’est-à-dire égale à celle de la première partie. Et, comme ces deux attractions s’exercent en sens opposés , on voit qu’elles se détruisent réciproquement ; en sorte qu’un point matériel placé dans l’intérieur d’une couche sphérique homogène d’une épaisseur infiniment petite ne tend à se déplacer dans aucune direction.

205. Ce résultat s’applique évidemment à un point matériel placé dans l’intérieur d’une couche sphérique d’une épaisseur finie , pourvu que la densité ne varie dans cette dernière couche que dans le sens du rayon.

206. On voit enfin qu’un point matériel placé dans l’intérieur d’une sphère pleine n’est attiré vers le centre qu’en vertu de l’action d’une sphère concentrique à la première et passant par le point , puisque toutes les couches qui enveloppent celte dernière sphère n’exercent sur le corps que des actions qui se détruisent réciproquement. La force qui attire ce point matériel vers le centre est donc exprimée par la dernière des formules écrites n° 203, en sorte qu’elle est proportionnelle à la distance au centre, conformément au résultat dont on a fait usage dans le n° 131.

207. Si la terre était une sphère parfaite composée de couches concentriques homogènes, et si elle était immobile, l’intensité de la force de la gravité serait constante

Digittzed

pour tous les points de la surface, et partout dirigée vers le centre. Cette intensité décroîtrait en raison inverse (lu quarré de la distance au centre pour des corps qui s'éloigneraient de plus en plus de la surface de la terre. La régularité de ces lois est altérée par deux causes principales : 1° parce que la terre n’est pas exactement formée de couches concentriques homogènes , et surtout parce qu’elle n'est pas exactement sphérique; 2° parce que la force centrifuge résultant du mouvement diurne de rotation se compose avec l’attraction de la masse de la terre, et diminue un peu l’action de cette force.

Par l’effet du défaut de sphéricité de la terre, 1“ l’action de la pesanteur n’est pas dirigée exactement vers le centre : elle est dirigée suivant la ligne appelée verticale; 2° l'intensité de cette action augmente de l’équateur aux pôles, par l’effet de la diminution du rayon, d’une petite quantité proportionnelle au sinus de la latitude du lieu.

208. Quant à l’effet de la force centrifuge, on peut l’apprécier en considérant que la terre effectue une révolution entière sur son axe en 8616k secondes. Soit donc R le rayon moyen de la terre supposée sphérique, 10 000 000m

dont la valeur est R =

6366198“, et Lia

latitude du lieu 2ttR.cos.L

La vitesse de rotation sera en ce lieu , et par conséquent la vitesse imprimée dans

l’unité de temps par la force centrifuge dans le sens d’un rayon mené dansle plan du parallèle sera, conformément au n" lk8 ,

( ) R. cos.L=0m, 033853. cos. L.

La composante de cette vitesse dans le sens de l’action de la gravité, c’est-à-dire la quantité dont la force centrifuge due à la rotation de la terre diminue la vitesse imprimée dans l’unité de temps par la gravité , est donc

0m, 033853. cos. aL.

Cette diminution est d’autant moindre que l’on s’éloigne davantage de l’équateur. Ainsi , l’ellet de la force centrifuge se réunit au défaut de sphéricité pour faire augmenter de l’équateur aux pôles la force avec laquelle les corps sont véritablement attirés vers le centre de la terre, et qui cause leur chute.

Nous avons représenté par g la vitesse qu’imprimait cette force aux parties matérielles dans l'unité de temps. L’unité de temps étant la seconde sexagésimale, la valeur de g est à l’Observatoire de Paris g = 9“, 8089G. A la latitude de 45° et au niveau de la mer, on a g = 9“, 80557. Au môme niveau, et pour une latitude quelconque L, on doit prendre

g=gm, 80557( 1 — 0, 002588cos . 2L).

Et lorsqu’on s’élève au-dessus de la surface des mers d’une hauteur /t, cette expression doit être multipliée par le rapport

Densité moyenne de la terre.

209. On a employé pour l’évaluation de celte densité tleux méthodes : 1° la déviation du fil à plomb causée par l’attraction des montagnes voisines ; 2° l’observation

• jF

des oscillations produites par l’attraction d’un corps. On indiquera succinctement le principe de ces méthodes.

Soit A le volume de la terre et n le poids moyen de l’unité de volume de la matière dont elle est formée. La

masse de la terre sera exprimée par A- en désignant toujours par g la vitesse imprimée par la gravité aux corps pesants à la surface de la terre. En représentant par a f le volume d’une montagne voisine, par <zo~ le poids moyen de l’unité de volume des matières qui la composent, on

aura également — pour la masse de cette montagne. Si S

maintenant on représente par c la distance du lieu où l’on se trouve au centre de gravité de la montagne , nous devrons concevoir que les corps sont sollicités dans

ce lieu, 1° par une force verticale exprimée par^.A - .jjj ,

en désignant parole même coefficient qu’au n° 189 , et par R le rayon moyen de la terre ; 2° par une force

fîa—.\ due à l’action de la montagne, que nous pouvons ë C

généralement supposer horizontale sans erreur sensible. Or, le fil à plomb devant se diriger suivant la résultante de ces deux forces, nous aurons donc, en désignant par a l’angle de ce fil avec la verticale , angle qui peut être observé ,

ats- R’

Âïî 7-=ta“^

équation d’où l’on déduira la valeur du rapport — de la

tW'

densité moyenne de la terre à celle des matières dont la montagne est formée.

On a conclu d’une observation de ce genre faite par

— it>5 —

Maskeline en Ecosse que la densité moyenne de la terre était quatre à cinq fois plus grande que celle de l’eau.

210. La seconde méthode repose sur un principe différent. Concevons une verge AA {fig. 25) considérée comme levier rigide et sans masse aux extrémités duquel on a placé deux petits corps égaux entre eux. Ce levier est suspendu par son milieu C au moyen d’un lil très-fin. Admettons maintenant que l’on présente aux deux corpsA deux masses égales D. L’attraction de ces masses tend à faire sortir le levier AA de sa position naturelle et à le transporter dans une position voisine BB , en faisant tordre le fil auquel ce levier est suspendu. Le fil résistant à cette torsion, les corps placés aux extrémités du levier prennent par l’elTet des actions opposées de , l’attraction des masses D, et de la résistance du fil, un mouvement dont l’observation peut conduire à la solution de la question dont il s’agit.

Nous savons en effet, par les expériences de Coulomb, que la résistaneequ’oppose un fil àla torsion est proportionnelle à l’angle de torsion. Cela posé, considérons seulement le mouvement de l’un des corpsA : soit usa masse, m la masse placée en D , /■ le rayon CA , c la distance AD , et m l’angle de torsion au bout du temps t, angle que nous supposerons très-petit. D’après cette dernière supposition, l’attraction exercée par la masse D pourra être censée dirigée dans le sens du mouvement de la petite

masse A, et l’on aura pour l’équation du mouvement de cette masse

rd3w /.mu

dt7 (c — rv>)

/ désignant toujours le même coefficient qu'au n” 189,

iS6

et T la valeur de la résistance du fil à la torsion lorsque ce fil est tordu d’un arc égal à 1. Cette équation , en négligeant les puissances supérieures de w, peut s’écrire

<To f.m f T 2/.//A

dû c‘r \ur c3 /

211. Pour l’intégrer, c’est-à-dire pour trouver une expression de « en fonction de l par laquelle l’équation soit satisfaite et qui s’accorde également avec les données de l’état initial, on posera

w=A+Bsin.j»t+Ccos.ÿr ,

A, B, C, p et q étant des constantes ; et l’on s’assurera facilement que cette expression satisfait à l'équation différentielle , pourvu que l’on ait

ur c

L’expression générale de w est donc

-t-Bsin.t

fir

+.Ccos.<Y/y

tir

Les constantes B, C se détermineront d’après l’état initial du corps A. Supposons que quand t = o , la vitesse de ce corps soit nulle : l’expression précédente ne pourra satisfaire à cette condition à moins que l’on n'ait B — o. Supposons de plus que la valeur initiale de « soit également nulle ; il faudra alors que l’on ait

Ainsi , la valeur complète de <u sera définitivement

iir e3

212. Cette équation fait connaître la nature du mouvement périodique que prendra le corps A. Le levier oscille autour d’une position qui forme avec la position primitive AA l’angle

T 2 f/n3 pr c3

et cette même expression est aussi celle de l’écart du levier à partir de cette position intermédiaire. On peut observer l’amplitude de ces oscillations : en la désignant par l’arc a , 011 aura donc

f rn

il=2. .

La durée des oscillations dont il s’agit est d’ailleurs

\f ur c 3

Cette durée peut également être observée : en la désignant par 0 , et ayant égard à l’équation précédente, on

1 /a. cV

Mais si la masse de la terre est désignée comme ci-

dessus par A- , et son rayon par R , l’équation écrite S

n° 191 nous donnera

Ç-=g, d’ou f=- ^,R

aurons rn = a — .

Mettant ces valeurs dans l’équation précédente, elle deviendra

d'où l’on déduit

2 # R’ a'Sf

» e. - ffR'a -’n cVA '

Les expériences dont il s’agit sont très-délicates et exigent des précautions minutieuses. Celles qui ont été faites par Cavendish ont conduit à attribuer à la terre

une densité moyenne égale à environ 5 ^ fois celle de

l’eau , résultat un peu plus grand que celui qui a été mentionné n° 209.