ANNÉE

XV. Équilibre du polygone funiculaire. — Courbe funiculaire. — Chaînette.

213. Soit un fil parfaitement flexible et inextensible attaché par une de ses extrémités à un point fixe, et supposons qu’à divers points de ce fil soient appliquées des forces. Il s’agit de reconnaître et d’exprimer les conditions de l’équilibre de ce système. On voit en premier lieu qu’en supposant l’équilibre établi, les parties du fil seront tendues et dirigées en ligne droite d’un point d’application des forces à l’autre, en sorte que ce fil formera un polynôme rectiligne dont les points d’application seront des sommets. De plus les forces appliquées aux points extrêmes devront être dirigées dans le sens des côtés extrêmes du polygone, que nous supposons ici n ôtre pas fermé , jiour plus de généralité.

ma étant ( /ig . 26) le point fixe auquel la première extrémitédu fil est attachée, et le polygone m0mimlmi...mnmn+1 représentant la figure affectée par le fil , nous désignerons généralement par

x, ,ji , z, les coordonnées du point m, comptées sur trois axes rectangulaires ;

a,-, b, , c, les angles formés avec les axes des x, des y et des z par le côté m,m1+1 ; f la longueur de ce côté ;

P, la force appliquée au point w, ; a, , S, , y, les angles formés avec les axes des x , des y et des z par la direction de cette force;

T, la tension qui s’établit dans le côté mimi+x du polygone.

Cela posé, nous remarquerons que le système étant en équilibre , chacune des forces P, est nécessairement détruite par les tensions qui se sont établies dans les deux côtés du polygone adjacents au point d’application de cette force. Ainsi la direction de la force est comprise dans un même plan avec les deux côtés ; et il existe entre sa valeur et les valeurs des deux tensions les rapports nécessaires pour l’équilibre de trois forces appliquées à un point matériel , conformément à ce qu’on a vu dans les n05 17 et suivants. La tension T0 du premier côté est donc égale et directement opposée à la résultante de la force P, etde la tension T, du second côté. La tension T, est de même égale et directement opposée à la résultante de la force P. et de la tension T, du troisième côté : et ainsi de suite. D’où l’on voit , que si l’on considère un côté quelconque m,wI+1 du polygone , toutes les

lorces Pt+,,...P„ et T„ appliquées à la suite de ce côté devront avoir une résultante unique, et que la tension T, du côté dont il s’agit devra être égale et directement opposée à cette résultante.

Cette condition , qui est nécessaire et suffisante pour assurer l’existence de l’équilibre dans le polygone funiculaire, peut s’exprimer en écrivant les équations

TIcos.a,=P,+,cos.a,+,-t-P«+jCos.ct,+i+ +Pncos.a„+T»cos.fl„ ,

T,cos . b,— P,+ , cos . , 4-Pi+a cos . 6,+,+ +P„cos.6„+Tncos.ô„ ,

T'COS C,= P.+.COS.'/.+^P. + îCOS. +P„cos.7„+l\cos.c„ ,

et en admettant qu’elles doivent subsister pour toutes les valeurs de i depuis »=0 jusqu’à i = n — 1. Les équations particulières que l’on formera d’après celles-ci pour tous les côtés du polygone en commençant par l’avant-dernier, donneront toujours les moyens de déterminer les directions et les tensions des côtés lorsque les forces P seront données, et réciproquement. Il est évident que la tension T„ du dernier côté n’est autre chose que la force appliquée à l’extrémité libre du fil , et que la tension T„ du premier côté est l’elfort exercé sur le point fixe auquel la première extrémité du fil est attachée. Si cette première extrémité du fil était libre , comme l’est l’extrémité opposée, l’équilibre exigerait qu’une force égale et directement opposée à la tension T0 lui fût appliquée.

214. Les équations précédentes peuvent être écrites d’une autre manière en observant que l’on a

cos. a'

Xi+, — x,

eos.ôi—

cos. c,=

S5rH — Zi

Si i’on remplace cos. a, , cos. b, , cos. c, par ces expressions, les équations dont il s’agit contiendront alors les coordonnées des sommets du polygone , et pourront servira en déterminer immédiatement la position.

215. Si les directions des forces P, partagent toujours en deux parties égales l’angle compris entre les deux côtés du polygone adjacents à leurs points d’application, la tension T est nécessairement constante dans toute l’étendue du polygone. De plus , en nommant 0, l’angle compris entre les deux côtés adjacents au point m, , on aura la relation

— P,=2Tcos. — ,

qui doit subsister pour toutes les valeurs de i.

216. Si les directions des forces P, sont toutes parallèles entre elles, l'équilibre ne pourra subsister qu’autant que1 les directions de toutes les forces et tous les côtés du polygone seront compris dans un même plan. Admettons que ce plan soit celui des xy, et que les directions de toutes les forces soient parallèles à l’axe des y que l’on supposera vertical. Les trois équations du numéro 213 se réduiront aux deux suivantes,

T,-cos . <ï;= T„cos . ,

T,sin.«,=P,+1-fP,+.+ -j-Pn-J-TnSin.Æ* .

On en déduira facilement la valeur delà tension d’un côté quelconque du polygone et sa direction. Ces équations donnent

tang. «,=

Pl'+l-j-Pi+J-j- -j— Pn— |— T* sin.a„

T„cos.rt„

d’ou l'on peut conclure que s'il existe dans le polygone

un côté horizontal , la tangente de l’angle d’inclinaison des côtés du polygone sur l’horizon augmentera à partir de celui-ci proportionnellement à la somme des forces comprises entre le côté horizontal et celui que l’on considère.

On voit aussi que les composantes horizontales des tensions T0 , des côtés extrêmes du polygone doivent être égales entre elles ; et que la diflérence des composantes verticales de ces tensions doit être égale à la somme des forces verticales appliquées au fil. En général , la composante horizontale de la tension d’un côté quelconque du polygone a toujours la même valeur. Enfin on peut remarquer que si le polygone est formé de deux parties séparées par un côté horizontal, les composantes verticales des tensions T0, T„ des côtés extrêmes seront respectivement égales à la somme des forces verticales comprises entre ce côté horizontal et l’extrémité correspondante du fil.

Cas où les points cl application des forces peuvent glisser librement le long du fil.

217. Si le point d’application m, de la force P, peut glisser librement le long du fil , l’équilibre ne peut évidemment subsister a moins que la direction de cette force ne partage en deux parties égalesl'anglecomprisentre les deux côtés adjacents au point m,-; d’où il résulte que les tensions de ces deux côtés seront égales entre elles. On aura d’ailleurs, entre les valeurs absolues de ces tensions et celle de la force , la relation exprimée par l’équation

— P* = 2cos. , o ’

comme on l’a vu n” 21 S.

tjf

Si les points d’application de toutes les forces peuvent glisser librement le longdu fil , la tension sera constante dans toute son étendue, les directions des forces parta- A geront toujours en deux parties égales l’angle des côtés adjacents à leurs points d’application, et leurs valeurs «auront avecla tension constante la relation exprimée par l’équation précédente. On aura l’exempled’un équilibre , . , de cette nature en concevant une série d’anneaux placés fixement d’une manière quelconque dans l’espace, dans lesquels passerait un fil. Abstraction faite de l’effet , du frottement du fil dans les anneaux , l’équilibre ne pourra subsister à moins que l’on n’applique aux deux bouts du fil, dans la direction des parties extrêmes, deux forces égales et agissant en sens contraire , par lesquelles le fil sera tendu. Chaque anneau supporte alors un effort dirigé dans le plan des parties contiguës

du fil et égal à la tension multipliée par 2 cos.- , G étant

JL 9

l’angle compris entre ces parties.

Courbe funiculaire.

218. Reprenons les considérations exposées dans le n° 21 3 , mais en supposant que les forces agissant sur le fil , au lieu d’étre appliquées à certains points placés d’espace en espace , sont distribuées d’une manière continue dans toute l’étendue du fil. Désignons maintenant par

x,y, z les coordonnées rectangulaires d’un point quelconque m du fil ;

s la longueur de l’arc de la courbe du fil comptée jusqu’au point m;

Bri

)Éi 'MM

WP,

s„ , s» les longueurs de l'arc de cette courbe comptées jusqu’au premier et jusqu’au dernier point de la partie où les forces sont appliquées ;

aoi b0, ca et a* , b„ , c„ les angles formés avec les axes des x, desjy^ et des z par les tangentes menées au premier et au dernier point de cette partie du fil ;

p la valeur de la force appliquée au point ;n, cette valeur étant rapportée à l’unité de longueur, et donnée en fonction de l’arc s ; a, 6, •/ les angles formés avec les axes des x , desj' et des z par la direction de la force p , ces angles étant également donnés en fonction de l’arc s ;

T la valeur de la tension du fil au point m ;

T„,T„ les valeurs de la tension au premier et au dernier point de la partie du fil où les forces sont appliquées.

Le même principe énoncé dans le n°213 donnera ici, au lieu des trois équations obtenues dans ce numéro , les suivantes

dx Cs'r

T = ds.pœs.a-j-T „cos.aWj J s

dy Cs*

Tdï=\ dsPcos ^-t-î.cosA.,

dz ÇSm

T — = J «k.^jcos.y-j- Tb cos . cM-,

Ci, r

— ig6 —

qui devront subsister dans toute l’étendue de la courbe , et qui en déterminent la figure. Pour le premier point de la courbe elles deviennent

T„cos.ao=T<» cos.Æm -J- T.cos.A„=T<»cos. bu- f- T0cos. c0=T» cos. ca-\-