XVI. Principe des vitesses virtuelles

229. Les principes delà statique ont été exposés dans l’art. I , et l’on a vu que chacun d’entre eux pouvait être pris pour point de départ et servir à démontrer les autres. Enefïet, les principes dont il s’agit sont compris dans une proposition unique beaucoup plus générale , par laquelle les conditions auxquelles doit satisfaire tout système de forces , pour que ces forces se fassent mutuellement équilibre , sont dans tous les cas complètement exprimées.

On indiquera en premier lieu d’une manière plus

précise ce que l’on entend en général par système de forces. Nous avons considéré dans les art. I et II les conditions de l’équilibre d’un seul point matériel •, et dans les art. III et IV les conditions de l’équilibre d’on assemblage de points matériels assujettis les uns aux autres d’une manière invariable , en sorte que la figure affectée par ce système ne pouvait subir aucun changement. On peut concevoir l’existence d’un tel systèmes admettant que les divers points auxquels les forces sont appliquées sont réunis les uns aux autres par des verges rigides qui s’opposent à ce que les distances actuelles de ces points ne viennent à varier. Il n’est pas nécessaire d’ailleurs, pour assurer l’invariabilité de la figure du système , de supposer que tous les points matériels sont ainsi réunis deux à deux : il suffirait d’admettre, par exemple, que trois quelconques de ces points étant maintenus les uns par rapport aux autres dans des situations déterminées , le triangle invariable qu'ils forment serait la base commune de pyramides dont les autres points formeraient les sommets. Si les arêtes de ces pyramides sont parfaitement rigides , il est visible que la figure formée par l’ensemble des points matériels ne pourra subir aucun changement.

Ainsi , l’on se représente un système dont la figure est invariable, comme un assemblage de points matériels assujettis les uns aux autres par des tiges rigides, en assez grand nombre pour que les distances et les positions respectives de tous ces points ne puissent changer ; et il suffira toujours, pour satisfaire à cette condition , que les distances d’un point quelconque à trois autres points du système au moins soient rendues invariables.

230. Nous avons considéré dans l’article XV l’équilibre du polygone funiculaire, c’est-à-dire d’un assemblage de points matériels assujettis deux «à deux par des fils inextensibles qui rendaient invariables les distances de deux points contigus. L’ensemble des points matériels pouvait d’ailleurs afiecter une figure quelconque compatible avec la condition qui vient d’étre énoncée. Dans le cas particulier du n°217 la condition consistait seulement en ce que la somme des distances de deux ou plusieurs points contigus devrait conserver toujours une valeur déterminée et constante.

On voit par ces exemples que l’on peut considérer en général des systèmes de deux espèces : dans les uns les positions relatives des points d’application des forces ne peuvent changer; dans les autres, le mode de liaison des points matériels dont le système se compose est tel qu'il permet à ces points de prendre les uns par rapport aux autres certains mouvements assujettis à des conditions déterminées, par l’effet desquels l’ensemble de ces points peut présenter diverses figures. Un système est défini quand on donne le nombre de points matériels dont il se compose, et la manière dont ces points peuvent se déplacer les uns par rapport aux autres , ou par rapport à d’autres points supposés fixes dans l’espace.

Les machines employées dans les travaux des arts présentent autant de systèmes tels que ceux dont il s’agit. Mais nous admettrons ici que les points matériels dont l’assemblage forme le système sont réunis les uns aux autres par des verges parfaitement rigides , ou par des fils inextensibles et parfaitement flexibles , supposés sans masse. Nous concevrons que ces fils ou ces verges

rendent invariables les distances d’une partie des points du système considérés deux à deux , en permettant néanmoins à l’ensemble de ces points de prendre certains mouvements relatifs , et d’affecter diverses figures différentes les unes des autres.

231. Cela posé, nous énoncerons en premier lieu le principe des vitesses virtuelles. Nous vérifierons ensuite l’existence de ce principe dans l’équilibre des machines simples , et enfin nous en donnerons la démonstration générale.

Concevons un système quelconque , et représentonsnous la série infinie des figures que ce système peut affecter successivement sans violer les conditions de la liaison des points matériels. Ce système étant considéré dans une position déterminée, admettons que l’on ait appliqué des forces aux divers points, et que l’on demande les conditions nécessaires pour que ces forces se fassent mutuellement équilibre. On répondra à cette question de la manière suivante.

Supposons que l’on fisse subir au système un léger changement de figure , compatible avec le mode de liaisons qui constitue ce système , et par l’effet duquel les points d’application des forces aient décrit des espaces infiniment petits. Supposons de plus que les espaces décrits de cette manière par chaque point d’application aient été projetés sur les directions des forces appliquées à ce point, et désignons par Sjj l’espace infiniment petit décrit par le point d’application de la force P estimé dans le sens de la direction de cette force. Le produit P .Sp de la force P par l’espace vp décrit par le point d’application de celte force dans le sens de sa

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direction est ce que Ton nomme le moment virtuel de la force P : cette quantité est regardée comme positive lorsque l’espace Sp est décrit dans le sens de l’action de la force , et comme négative dans le cas contraire. Or les forces appliquées au système seront telles qu’il y aura équilibre si , prenant la somme des moments virtuels de toutes ces forces , on trouve pour cette somme une valeur nulle , en sorte que la seule équation

exprime, dans tous les cas, les conditions nécessaires et suffisantes pour l’équilibre du système.

232. 11 est aisé de reconnaître l'exactitude de cette proposition dans le cas des machines simples. Dans le levier, la nature du système consiste en ce que les points d’application m,m' (fig. 28) des deux forces forment avec le point fixe A un triangle dont la figure est invariable, et qui peut tourner librement autour de ce point sans sortir du même plan qui con lient aussi les directions des forces P,P\ On peut toujours supposer les côtés Am, Am' perpendiculaires sur ces directions. Soit Su un angle infiniment petit décrit par le triangle autour du point A dans le sens de l’action de la force P. On aura ici

Sp—Am.Su^ fipzzz — Am.' .Su.

L’équation précédente devient donc