On déduit des équations (a) et
dy p(stù — s)-f-P®
dx = Q ;
et en égalant cette expression de ■— à celle qui se déduit de l’équation (c), on trouve
Si l’on représente par C la longueur de la courbe depuis l’origine A jusques au sommet O, le radical
V/ (T.— Ær)‘— Q*
étant nul pour la valeur de y qui convient à ce point , on a
, aou .f=L:p
225. Les résultats précédents sont exprimés d' manière plus simple quand on transporte l’origine des coordonnées en un point A' situé dans la ligne verticale qui contient le point le plus bas O de la cotirbe , la
distance OA' étant égale , et quand on compte les
nouvelles ordonnées verticales^ de bas en haut. Posant
en effet
il viendra, au lieu- des équations (d), ( f),(§ ) et{&),
On peut remarquer de plus que le rayon de courbure, pour un point quelconque dont l'ordonnée estjr1, a pour
expression ; et pour le point O, — .
Les équations ci-dessus contiennent seulement la quantité Q, qui est là composante horizontale de la tension : d'après l’équation (a), celle composante conserve
la même valeur dans toute l’étendue de la courbe. On déterminera toujours par le moyen de ces équations la figure du fil , en se donnant d’avance sa longueur ou les positions relatives de ses extrémités.
226. Nous considérerons encore le cas particulier où la force verticale appliquée aux points de la courbe, au lieu d’être proportionnelle à la longueur des parties de cette courbe , comme on l’a supposé dans les n°’ 222 et suivants , est proportionnelle à la projection horizontale de ces partie». On a alors, au lieu des équations (a), (b), (c) du n° 222 ,
T ~ =T«cos.a»=Q ,
as
T x)+Pi, ,
dT= — pdx. ÿ =— ds
Lesdeux équations (/) et (m) donnent
dy jr)-fPM
dx~ Q
et en intégrant •
— — j+P-ar
La courbe du fil est donc une parabole dont l’axe est vertical.
La valeur de la tension en un point quelconque de
■jV^T'
celle courbe , qui se déduit de l’équation (/), est
227. En représentant par /t et /Tabscisse et l’ordonnée du point le plus bas de la courbe , où la tangente est horizontale , et qui est le sommet de la parabole , les équations (o) et (p) donneront
Quant à la longueur de l’arc, on l’obtiendra par les procédés connus en intégrant l’i
dans laquelle on remplacera l’équation (o).
expression dx dy
par la valeur donnée par
’ •? tV->7
228. Si l’on veut transporter l’origine des coordonnées du point A au sommet en comptant les nouvelles ordonnées^ de bas en haut , on doit changer x en od-\-h, y en f—y; et il vient en substituant ces valeurs.
En nommant s1 la valeur de l’arc comptée du point A' qui répond à l’abscisse x', on aura
et en faisant = et appelant c la valeur correspondance de s ,
Cette dernière équation donne, par le retour des
Les résultats précédents sont principalement utiles pour l’établissement des ponts supportés par des chaînes en fer. On trouvera les détails nécessaires aux applications dans l’ouvrage intitulé Rapport et mémoire sur les ponts suspendus.
