P' “ AC

234. Soit une vis verticale au moyen de laquelle un poids Q suspendu à l’écrou mobile est maintenu en équilibre par une force horizontale appliquée tangentiellement à la circonférence d’un cercle lié à cet écrou. Désignons par h le pas de la vis , et par r le rayon du cercle. Si la vis tourne de la quantité angulaire Su, le point d’application de P décrira dans le sens de cette force l’espace r.du, elle poids Q s’élèvera de la quan- , h. Su

tité— — , 7t désignant le rapport de la circonférence au

diamètre. Le principe des vitesses virtuelles donne donc pour la loi de l’équilibre :

T, * A. Su

P.rou — O. =o

2ir

. iVî1; * ,

ou - = .

Q 2rr

235. Les conditions de l’équilibre dans le coin nedif-' fèrent pas des conditions de l’équilibre de trois forces dirigées dans un même plan et appliquées à un seul point matériel. Cette question a été traitée dans les n" 28 et suivants.

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23G. Quel que soit le système que l’on considère, oh reconnaîtra facilement, comme on l’a fait dans les numéros précédents, que les conditions de l'équilibre déduites des principes ordinaires ne diflèrent point de celles qui résultent de l’application du principe des vitesses virtuelles. Mais indépendamment de ces vérifications particulières, on peut démontrer en général , sans spécifier aucunement la nature du système , qu’en égalant à zéro la somme des moments virtuels des forces, on exprime complètement dans tous les cas les conditions . de l’équilibre.

Considérons un système quelconque , et les forces qui lui sont appliquées. Chaque force peut toujours être remplacée par un poids attaché à un fil parfaitement llexible, passant sur une ou plusieurs poulies.de renvoi , et dont l’extrémité serait liée au point d’application de la force. Cela posé , concevons un levier ayant la liberté de tourner dans un plan vertical autour d’un axe horizontal fixe , et imaginons que le poids qui représente la force quelconque P (fig. 29) appliquée au système ait été amené dans le plan du levier; la distance AM étant tellement déterminée que le point M du levier décrive autour d’un point fixe A , dans un certain déplacement infiniment petit du système, l’espace Sp décrit parle point d’application de la force P dans le sens de l’action de cette force. La même chose ayant été faite pour toutes les forces, on verra, par le raisonnement employé n° 10, que , sans altérer les conditions de l’équilibre du système , on peut supposer le levier lié ou non d’une manière invariable aux cordons qui soutiennent les poids P, et que ces poids ne peuvent sc faire équilibre

Mà

sur le système seul , sans se faire également équilibre sur le levier seul. Mais l'équilibre du levier exige que la somme des produits P. AM soit nulle , et l’on peut substituer aux rayons AM les arcs infiniment petits décrits simultanément par les points M, qui sont proportionnels à ces rayons. Donc on doit avoir, si l’équilibre existe , S.P.Jp=0 pour un déplacement quelconque infiniment petit des parties du système , et cette condition assure effectivement dans un système quelconque . aussi bien que dans un levier, l’existence de l’équilibre.

237. Nous citerons encore la démonstration suivante , quia été donnée par Lagrange. Soient m, ni', m", etc. (fig. 30), les points du système auxquels les forces P, P',P",... sont appliquées. On peut toujours, au moyen de plusieurs moufles mobiles A, A', A'’, etc., et fixes B, B', B", etc., placées dans les directions de ces forces, et embrassées par un seul fil, remplacer toutes leurs actions par celle d’un poids unique R attaché à l’extrémité de ce fil. Et si l’on suppose le poids R égal à l’unité, les quantités P, P', F', etc., seront respectivement égales au nombre de cordons parallèles par lesquels les moufles mobiles attachées aux points ,... sont respec-

tivement sollicitées. Cela posé, supposons le système en équilibre , et par conséquent le poids R immobilè. Imaginons ensuite que l’on fasse subir au système un déplacement très-petit, et soient àpjp'^p", etc., les espaces parcourus en vertu de ce déplacement par les points m, m', m", etc., suivant les directions des forces qui les sollicitent. L’espace parcouru par le poids R sera évidemment

P5p-fP'JA»'-fFV'-f etc.

Or on peut affirmer que si le système est en équilibre dans sa position actuelle, cette quantité sera nulle. En ellèt , elle ne peut pas être positive , car si le poids R devait descendre par suite du déplacement supposé, comme sa tendance à descendre subsiste toujours , il ne se tiendrait pas immobile comme on le suppose. La quantité dont il s’agit ne peut pas être non plus négative ; car lorsqu’un déplacement est possible dans un système, un déplacement pareil , mais en sens contraire, l’est également; et si la quantité

Po>+ P'-J>'4-P"«^"+etc.

était négative pour l’un , elle serait positive pour l’autre. Donc quand l’équilibre subsiste, cette quantité est nécessairement nulle. De plus, si elleest nulle, et par conséquent si le poids R demeure immobile , quel que soit le déplacement très-petit que l’on fasse subir au système , il y aura nécessairement équilibre , puisque les points m, m', m", etc., n’auront pas plus de tendance à se mouvoir dans un sens quelconque que dans le sens opposé.

Démonstration générale du principe des vitesses virtuelles.

238. Les notions qui viennent d’être exposées ne peuvent laisser aucun doute sur la généralité du principe dont il s’agit, principe dont on déduira toujours dans chaque cas particulier les conditions de l’équilibre. Mais à raison de l’importance de cette proposition il convient de la considérer encore sous un autre point

méf- i ’ ■-Wfcif'' *

de vue , plus propre à en faire reconnaître la nature et concevoir le véritable sens.

Soit un système quelconque défini conformément à ce qui a été dit n° 230, et désignons généralement par mt , tn, , m3, etc., les divers points de ce système. P, représentera l’une quelconque des forces appliquées au point /» , et p, la distance que celte force tend à augmenter; Pt représentera l’une quelconque des forces appliquées au point mJ( et p , la distance que cette force tend à augmenter ; et ainsi des autres. Nous supposerons d’abord le système entièrement libre de se déplacer d’une manière quelconque dans l’espace.

Il s’agit d’exprimer les conditions de l’équilibre des forces P,, P,, P3, etc. Or, quel que puisse être le mode de liaison des points du système, les actions des forces P„ P„ P„ etc., ne peuvent se détruire réciproquement , sans qu’il s’établisse certains efforts de compression ou d’extension dans les directions des verges ou fils qui unissent les points du système, et qui s'opposent a la variation des distances d’une partie de ces points considérés deux à deux. Tous les liens existants dans le système peuvent être ainsi sollicités , ou il peut se faire qu’une partie seulement de ces liens soit contractée ou tendue. Nous appelons ces efforts forces intérieures , en les distinguant des forces P,,P„ P„ etc., qui sont appliquées extérieurement au système. Nous désignerons par F, l’un quelconque des efforts intérieurs qui s’exercent entre le point mt et un autre point du système , et par/[ la distance que cel effort tend à augmenter, distance qui est prise sur la direction de la ligne qui joint les deux points. Nous désignerons égale-

ment par F, l’un quelconque des efforts intérieurs qui s’exercent entre le point m] et un autre poiot du système, et par,/j la distance prise sur la ligne de jonction de ces deux points que la force F, tend à augmenter, etc.

Cela posé , l’équilibre général du système ne peut subsister à moinsque chacun des points/»,, m,, m,, etc., ne soit séparément en équilibre sous l’action des forces extérieures et des efforts intérieurs qui lui sont appliqués. L’existence de cet équilibre exige donc, d’après ce qu'on a vu n° 30, que l’on ait séparément les équations

0=S . P, . . F, Sft ,

o=s.p,.<î/vfs.F,-*/;, 0=S.P,.^,+S.F,.5/„ etc. :

qui seront en même nombre que les points matériels du système , et dans lesquelles les valeurs des variations 3pt , o p, , 3p)f etc., et Sfi% Sf„ o/j , etc., peuvent résulter d’un déplacement quelconque attribué à chacun de ces points.