Mais comme les points mt, etc,, sont

supposés ici former un système , ils ne peuvent se déplacer que d’une manière conforme à la nature des liaisons établies entre ces points et qui constituent le système, ce qui restreint la généralité des valeurs qui peuvent être attribuées dans les équaLions précédentes aux variables 3pt, Spt, 3p)t etc., et Sfl} 3J„ o/j , etc. Cette restriction nécessaire ayant lieu, on peut affirmer que quel cjue soit le changement de figure infiuiment petit subi par le système , si l’on vient à ajouter toutes les

équations du numéro précédent , les moments virtuels dus aux forces intérieures se détruiront toujours réciproquement et disparaîtront entièrement du résultat , en sorte que l’on aura l’équation

0=S.P,.£//1+S.P,.^,-pS.PJ.<Sp1-j-et.c. , y'

ou simplement

0 = S.P.<îp.

PJp représente ici généralement le moment virtuel de l’une quelconque des forces appliquées extérieurement au système ; c’est-à-dire le produit de la force par l’espace infiniment petit parcouru par son point d'application dans le sens de sa direction , lorsqu'on fait subir au système un changement de figure quelconque sans violer les conditions de la liaison des points matériels.

Pour reconnaître la vérité de cette pToposition, considérons deux quelconques des points matériels m, , m,t et admettons qu’il existe entre ces points une tige rigide qui empêche leur distance de subir aucune variation. Si l’équilibre des forces extérieures P,, P„ P3, etc., exige qu’il s’établisse un effort dans le sens de laligne m„ m„ cet effort donnera lieu à comprendre dans l’équation relative au point m„ une force Fi qui sera dirigée suivant//», m, dans un certain sens. Il faudra de plus comprendre dans l’équation relative au point rn, une force F, égale à Ft , dirigée suivant la même ligne w, m, dans le sens opposé. Or on voit facilement que., quels que puissent être les déplacements des points m, et mt quand on fera subir au système un changement de figure infiniment petit, les conditions de la liaison exigeant que la distance m, m, ne varie pas, les moments

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virtuels des deux forces F, et seront nécessairement égaux et de signes contraires (en négligeant une quantité infiniment petite du second ordre). Donc ces moments se détruiront réciproquement lorsqu'on ajoutera les équations du n° 238. La même remarque peut s’appliquer à tous les ellorts intérieurs qui s’établissent dans les parties du système , eflorts qui donnent toujours lieu à deux .actions égales et contraires. Ainsi l’on est assuré que l’existence de l’équilibre dans un système quelconque entièrement libre exige nécessairement l’existence de l’équation S.P.Jp=0.

240. Il est facile de reconnaître d’ailleurs que si le système n’est pas entièrement libre, c’est-à-dire si quelques-uns des points sont fixes , ou assujettis à se mouvoir sur des surfaces courbes ou des lignes courbes données, cette même équation doit encore subsister dans le cas de l’équilibre. En ellèt, on peut toujours, sans altérer l’équilibre , supprimer les obstacles par lesquels les points sont retenus, pourvu qu’on les remplace par des forces extérieures égales aux eflorts que ces obstacles supportaient, et considérer alors le système comme libre. Or il est évident que pour tous les déplacements compatibles avec la nature du système, les moments virluels de ces forces extérieures par lesquels les obstacles seront remplacés , seront nécessairement nuis .puisque les points matériels ne peuvent se déplacer dans le sens de ces efforts. Ainsi l’équation S P.tf/>=0 subsistera sans qu’il soit nécessaire d’y introduire les efforts dont il s’agit.

241. II est démontré par ce qui précède que l’équilibre ne peut exister dans un système quelconque sans que

l'équation S. P. 3p—0 subsiste pour toutes les valeurs des variations ^compatibles avec les conditions de la liaison des points d’application des forces extérieures P. On reconnaîtra de plus que si cette équation a lieu , les forces P se font nécessairement équilibre sur le système. En effet, admettons que l’équation S. P.<îp=0 étant vérifiée par les valeurs des forces P, l’équilibre ne subsiste pas, en sorte que le système soumis à l’action de ces forces subisse un changement de ligure quelconque que nous supposerons très-petit. On pourrait évidemmeutprévenir ce changement de figure, et mettre le système en équilibre, en appliquant à chacun des points m„ma,mi, etc., de nouvelles forces Q , , Q, , Q, , etc. , dans les directions contraires aux espaces Sq„ Sq,, Sq,, etc., que les points matériels auront parcourus. Et puisque le système est actuellement en équilibre , on aura

S.P.ôjp-j-S.Q.^j=0 ,

qui se réduit à

S.P.fy=0,

le premier terme étant nul par hypothèse. Or, comme les forces Q ont été appliquées dans un sens contraire à celui où se sont mus les points m pour parcourir les espaces Sq, tous les moments virtuels Q.°q sont négatifs. Donc on ne peut satisfaire à l’équation S.Q.iîq=0 sans supposer nulles toutes les forces Q„ Q„ Q„ ce qui démontre la proposition énoncée.

Usage du principe des vitesses virtuelles pour la recherche des conditions d’cquilibre d’un système de forces.

242. Les points du système étant rapportés à des coordonnées rectangulaires, soient x„ y,, zt les coordonnées du pointm,. Désignons également par x,,y„z, les coordonnées du pointm,, et ainsi des autres. La composition du système, ou les conditions de la liaison des points d’application des forces , seront exprimées par certaines équations subsistantes entre les coordonnées des points m„ m,, m3, etc. Par exemple, si la distance des deux points m, , m, devait conserver toujours une valeur constante f on aurait l’équation

Si le point ni, était assujetti à se mouvoirsur une surface fixe donnée , ses coordonnées x„ y,, z, devraient satisfaire constamment à l’équation de cette surface ; et si le même point devait se mouvoirsur une ligne fixe donnée, elles devraient sa tisfaireconslamment aux deux équations qui déterminent cette ligne.

En général les coordonnées x,yyz,\ x1%y„s„- x,ynz„ etc. , des points m, ,m,,m„etc., doivent être regardées comme étant assujetties à satisfaire constamment à plusieurs équations de condition

L=0, M=0, N=0, etc.,

qui expriment la nature des liaisons établies entre les points qui constituent le système, et dans lesquelles L , M , N , etc., peuvent représenter des fonctions quelconques de ces coordonnées. Il faut remarquer toutefois

que le nombre des équations dont il s’agit, distinctes les unes des autres , doit être moindre que le triple du nombre des points m,, m, , m, , etc. ; car s’il lui était seulement égal, toutes les coordonnées étant déterminées, les points du système seraient fixes dans l’espace.

2ü3. Cela posé , chaque force P appliquée au système . peut être remplacée par scs trois composantes X, Y, Z parallèles aux axes des x, des y et des z. L’équation donnée parle principe des vitesses virtuelles, et exprimant l’égalité à zéro delà somme des moments virtuels de toutes les forces appliquées au système, sera donc

c’est-à-dire

X,5'xt-|-Yt^1-j-Zi5zr-f-X,Jx,+Y,^-j- etc . = 0 .

Dans cette équation, les variations Sx, Sj, Sz des coordonnées de chaque point du système ne peuvent prendre que des valeurs conformes au mode de liaison de ces points. Donc elles sont assujetties à satisfaire aux équations que l’on obtiendra en différentiant les équations de conditionL = 0, M = 0, N=0, etc., par rapport aux coordonnées xt,yt, zt ; xt,j\, zt\ x„j-,, z, , etc.; et marquant les différentielles par le signet. Ainsi posant de plus les équations

<îL=0, aM=0, rîN=0, etc (B)

cest-à-dire

dL „ , dL . , dL . dL „ , dL

d7t **'+ + d7t Sz^dZ*xà- d?î&>+ etc* =° »

, .dm, . , dm t ,

on devra les réunir à l’équation (A) pour éliminer autant des variations 3xt, Syt , Szt-, Sx ,, Sy3, Szt ; Sx3, etc., que le nombre des équations de condition le permettra. Les variations restantes après cette élimination demeurant entièrement indéterminées , on devra égaler séparément à zéro chacun de leurs coefficients. Les équations obtenues de cette manière exprimeront toujours les conditions auxquelles doivent satisfaire les forces

X„yt,Z,; X,,Y„Z„ X3, etc.,

pour qu’elles se fassent mutuellement équilibre sur le système.

244. Nousremarquerons maintenant que ces équations Gnales peuvent être obtenues soit par les procédés ordinaires en prenant dans les équations (B) les valeurs de celles des variations

Sx„Sy„Sz, ; Sx,, etc.,

que l’on veut éliminer, et substituant ces valeurs dans l’équation (A) ; soit par un autre procédé appelé méthode des multiplicateurs, qui consiste à multiplier chacune des équations (B) par un facteur constant indéterminé , à les ajouter à l'équation (A), et à considérer ensuite cette équation comine la seule à laquelle il s’agisse de satisfaire. En désignant par etc., les facteurs

dont il s’agit, on formera donc ainsi l’équation

S.X.to+S.Y.^+S.Z.a'z+X.JL+f/.-îM+v.i'N+etc^O... (C)

Égalant séparément à zéro le coefficient de chacune des variations SxtiSy,,8z,i o-r,, 3z, , etc., on aura un

nombre d’équations égal au nombre des coordonnées des points du système. Si l’on élimine ensuite entre ces équations les coefficients indéterminés >,«,», etc., les équations finales ainsi obtenues ne différeront point de celles que l’on aurait trouvées par la méthode ordinaire de l’élimination, comme il est facile de s’en assurer. On remarquera d’ailleurs que ces équations finales réunies aux équations de condition

L=0,M=0,N=0, etc.,

son t en nombre égal au nombre des coordonnées des poi n ts du système , en sorte que la figure du système est entièrement déterminée lorsque les forces X, Y, Z sont données , et réciproquement.

2i5. La remarque précédente donne lieu à en faire une autre plus importante. Poser l’équation (C) et égaler séparément à zéro les termes contenant chacune des variations

î etc.,

c’est faire ce qui devrait être fait si chaque pointdusystème était entièrement libre ; et si , outre les forces désignées par