AVERTISSEMENT DE NAVIER

SU u MDuiii iDinoN (its).

La première édition de ce Résumé, qui a paru en 1826, étant épuisée depuis longtemps, on a dû le réimprima, et Ton s'est efforcé de le rendre moins imparfait.

Nous avons rapporté les résultats des expériences sur la résistance des matériaux publiés depuis 1826, et plusieurs résultats inédits que M. Minard, ingénieur en chef des ponts et chaussées, a bien voulu nous communiquer.

Les inexactitudes ou erreurs qui avaient été reconnues, et

DE NAYIEB. IXXXiX

dont plusieurs nous ont été signalées par M. Coriolis^ ont été rectifiées, et l'on a complété la solution de quelques questions.

On a évité toutefois d'augmenter beaucoup l'étendue de l'ouvrage (ce qu'il eût été facile de faire sans sortir du sujet). Il a paru convenable de se borner aux questions les plus importantes, et dont la solution pouvait servir d'exemple dans les nouveaux cas qui viendraient à se présenter. Comme il existe d'ailleurs un écrit dans lequel la théorie mécanique des ponts en chaînes de fer est exposée avec détail^ il eût été superflu de s'en occuper ici.

Nous avons indiqué les auteurs des résultats les plus remarquables qui ont été donnés dans ces derniers temps. Les personnes qui voudraient connaître en détail l'histoire des travaux dont cette partie de la mécanique a été le sujet, ^pourront recourir à divers ouvrages, parmi lesquels nous citerons principalement le Traité analytique de la résistance des solides et des solides d'égale résistance, par M. Girard^ membre de l'Institut; le recueil des articles, de Robison, publié après sa mort sous le titre de A System ofmechanical Philosophy ; l'ouvrage anglais de M. Barlow,' intitulé : An Essay on the Strength and Stress of Timber; le Traité de la poussée des terres, par M. Mayniel; les Mémoires sur la poussée des terres et sur les voûtes, donnés par MM. Français et Audoy, dans le n*" 4 du Mémorial du génie. On pourra juger, en consultant les ouvrages dont il s'agit, du point auquel ce genre .de recherches avait été porté, et des efforts qui ont été faits pour les étendre et les perfectionner.

On reconnaîtra principalement que les conditions d'équilibre d'un massif de terres, qui forment le sujet de l'article 1** de la II* section, n'avaient point été données, et qu'il en est de même à l'égard des résultats présentés dans l'article 3 de la même section, et des notions relatives à l'usage des tirants ou des ceintures de fer destinées à consolider les constructions en maçonnerie.

Quant aux questions relatives à la résistance des corps solides et à l'établissement des constructions en charpente, on

n'avait traité que les cas les plus simples de l'équilibre d\iiie pièce droite, c'est-à-dire les questions élémentaires exposées dans la première section de cet ouvrage, et le premier des cas d'équilibre d'une pi^ce chargée verticalement, qui forment le sujet de l'article 2 de la IV* section. Toutes les autres questions relatives à l'équilibre d'une pièce droite ou courbe, chargée horizontalement, verticalement ou dans une direction oblique, OQt été considérées et résolues pour la première fois par l'auteur. Il en est de môme des questions relatives à la flexion et à la rupture des plans. Les applications qui ont été faites de ces diverses solutions à rétablissement des principales constructions en charpente semblent mériter l'attention des ingénieurs.

N.B. Comme eette préface et cet avertissement de Navier offrent à peu près les seuls passages de son livre où il parle des recherches antérieures sur la matière qu'il doit traiter, nous pensons qu'on nous saura gré de donner, sur ce sujet intéressant» des détails en grande partie peu connus^ et que nous étendrons à peu près jusqu'à l'époque où nous sommes.

HISTORIQUE ABRÉGÉ DES RECITERCHES SUR LA RÉSISTANCE ET SUR L'ÉLASTICITÉ DES CORPS SOLIDES.

I. Moyen âye. — Les architectes de cette remarquable période ne nous ont initiés par aucun écrit dans le secret de la manière dont ils déterminaient les proportions de leurs constructions si légères et si hardies (^). « Ils cherchaient sans

(*) On ne trouye à peu près rien sur ce sujet dans VAlfmm ou le Calepin de Villard de Honnecourt, architecle du iiii* •ièele, publié en 1S58, afee laie, à l'Imprimerie impériale, el ini? I de po(et de feq H, Laum,

^ HfSTOBIQUB XCJ

cesse, 9 ditM. Vionei-Leduc(*), a et la routine n'avait pas de prise sur eux; en cherchant, ils trouvaient; ils allaient toujours

en avant, et ne disaient jamais : Nous sommes arrivés

Tous leurs efforts tendaient à équilibrer 4es forces et à ne plus considérer les points d*appui que comme des quilles maintenues dans la verticale, non par leur propre assiette, mais

par la neutralisation de toutes les actions obliques Ils

connaissaient le principe du levier droit ou coudé, et probablement n'ignoraient pas celui de la composition des forces concourantes, qui peut s'en déduire si naturellement quand les forces sont rectangulaires, bien qu'on en attribue la découverte à Stevin, qui le premier l'a formulé dans sa Statique en 4586. » Os avaient une sorte de passion pour la diminution du cube des appuis ; ils s^ livraient probablement à quelques essais comparatifs, à Taide de leviers, avant d'employer quelque pierre non encore comiue.

Quant aux charpentes, ils en connaissaient et raisonnaient les assemblages (*); mais le bas prix des bois permettait de donner de fortes dimensions aux pièces. On peut cependant présumer qu'ils savaient qu'une pièce prismatique chargée transversalement résiste en proportion bien plus forte par son épais* senr que par sa largeur, car Galilée semble avoir pour but principal, en cherchant le premier la loi théorique de cette résistance, de. déterminer au juste la proportion en question, ainsi que le rapport entre la résistance dite absolue qui s'exerce quand on tire une pièce dans le sens de sa longueur, et sa résistance dite respective ou relativey qui entre en jeu quand on veut la rompre par un effort dirigé perpendiculairement. Il y avait été amené, après une visite à l'Arsenal de Venise, en réfléchissant sur les causes de la non-réussite en grand des machines qui ont réussi en petit (*).

(^) Dictionnaire raisonné de l'Archt lecture française du xi* au xyi* siècle, t. IV^ article Construction.

(') On trouve dans Vlllard de Honneeourt la description du plancher formé par quatre pièces d*une portée moindre que le côté de la salle carrée qu'il est destina à recouvrir, celle d'une roue hydraulique dont les quatre rais principaux embrassent l'arbre sans remanier, etc.

(>) Académie des sciences, 4 70S, partie biiloriqua, p, iO%,

XCiJ RÉSISTANCE DES SOLIDES.

II. Galilée. — L'auteur des immortels Dialogues, considérant donc d'abord un parallélipipède ou un cylindre horizontal encastré dans un mur (*) à une de ses extrémités^ et sollicité à Tautre par un poids^ et supposant égales toutes les résistances à la disjonction aux divers points de la base ou section située dans le plan du mur^ en sorte que leur résultante horizontale passe au centre de cette base^ met en équilibre cette résultante avec le poids en les faisant agir aux deux extrémités d'un levier coudé à angle droit, dont il place le point d'appui ou l'axe de rotation à la partie inférieure de la même base ou section de rupture. Les forces étant réciproques à leurs bras de levier, il conclut que la résistance absolue est à la résistance relative comme le bras horizontal, qui est la longueur ou la saillie du solide^ est au bras vertical, qui est sa demi-épaisseur ou hauteur.

De là Galilée déduit facilement qu'une pièce rectangulaire sollicitée de champ résiste plus que la même pièce sollicitée à plat dans le rapport de la plus grande à la plus petite dimension transversale; que les poids capables d'être supportés par des pièces soit encastrées à un bout, soit posées sur deux appuis, sont comme leurs largeurs, comme les carrés de leurs tisseurs, et en raison inverse de leurs longueurs; que les cylindres creux, tels que les os, les plumes, les cannes ou tiges de graminées, etc., résistent bien plus aux efforts transversaux, à égal volume, que les cylindres pleins, dans une proportion qu'il détermine ; ce qui lui donne lieu de se livrer, sur les œuvres de la création, à des considérations d'un ordre élevé. Enfin, fondant du même jet la théorie des solides d'égale résistance dont l'application procure la plus grande économie de matière, Galilée montre qu'une pièce encastrée, de largeur constante, . et dont la face inférieure est un plan horizontal, remplira la condition de résister autant partout d'un bout à l'autre si la face supérieure a pour coupe verticale longitudinale une para-

{}) Dialogo mcundo, Giornati tem, 4638. — Opère di GiHleo GtlUei, t. lU» p. 63, article 656 de l'èdiiion de 4744.

HISTORIQOB XCiiJ

bole dont le sommet est à Textrémité où le poids se trouve suspendu.

m. Suite de CMUlée. Blonde MareheUl. — Tous ces théorèmes de Galilée sont justes et ont été confirmés par les recherches faites ultérieurement, sauf toutefois celui qui donne le rapport entre les résistances à la rupture par effort longitudinal et par effort transversal, car c*est le seul point sur lequel influe Terreur de sa double hypothèse consistant à faire toutes | ^ales les tractions aux divers points de la section de rupture, et à placer au bas de cette section Tappui du levier fictif.

On lui a bien plus reproché, pendant quelque temps, la conséquence suivante qu'il tire de son théorème de la Forme pa* rabolique d'égale résistance d'une pièce encastrée : a D'où l'on voit, » dit-il (p. 8i), a comment avec une diminution de plus de 33 p. iOO on pourra faire des poutres sans rien diminuer de leur force, ce qui en particulier dans les grands navires peut être très-utile pour régler leurs couvertures; car dans de pareils édifices la légèreté importe infiniment. » Cette assertion a fourni l'occasion de contestations très-vives sar la priorité de la découverte et de la rectification de Terreur qu'on y croyait renfermée. Cependant le principe, posé par lui, de l'économie d'un tiers sur la matière, est parfaitement juste et applicable aux pièces posées sur deux appuis tout comme aux pièces encastrées, si ces {ûècesne sont chargées qu'en un seul point, car leur section longitudinale d'égale résistance doit offrir alors deux paraboles ayant leurs sommets sur les appuis et se rencontrant en ce point (*) . On ne doit prendre une coupe elliptique^ comme l'ont conseillé le célèbre architecte François Blondel dans sa deuxième lettre au physicien suédois P. Wurtius ('), et ensuite Alexandre Mar-

(*) Soui-nole de la p. 30 du t. H du Traité de la ConilrucUon des ponts de Caulhey; et, aussi, ii<* 323 (p. 503) de l'édition 1833 des présentes Leçons,

. (*) F. B. Epistçla ad P. W. in qud famoia Calilœi proposilio discutitur circà nahârum Imea qud lirube$ seeari debeani ut élut œqualië ubiquè resisienliœ, et in qud lineam illam non quidem parabolicam ut ipse Galilaut arbitratus est^ sed elUpikam eMse demonsiratur, (Data Paritiit, 1661.) Dans cette lettre, Blondel dil qu'il avait composé, dés 1649, un opuscule sur la Résistance des solide?^ intitulé GaiUœus promotuê. Sa première lettre, do 1657, éuit relttlTe aux expérienwi entreprises par le suédoli Wurllottar le même sujet.

XCiV RÉSISTANCE DES SOLIDES.

chetti, professeur à Fisc (*)| que lorsque la pièce doit résister à une charge quel' que soit le point où celle-ci agisse (ce qui peut être en effet le cas des poutres des ponts des vaisseaux) ; et alors, comme Ta remarqué Navier ('), la poutre û'edt d'égale résistance pour aucune position de la charge, car elle a ud excédent d'épaisseur partout excepté en un seul endroit; lA coupe en demi-ellipse ne lui donne cette propriété que lorsque la charge est également répartie sur toute la longueur, comme l'a remarqué également Navier ('); mais il y a toujours une économie de matière en l'adoptant dans l'autre cas (^).

IV. Hooke et MarioUe. Éiabllmieineiit da principe tondaiiieiiial. — Pendant que les principes de Galilée étaient commentés aussi et appliqués par le P. Fabri (Traité de physique, Lyon. 1669), par Vincent Viviani, et surtout par son continuateur le P. Grandi (Guido), camaldule, dont le traité, très-remarquable au point de vue géométrique (*), a été inséré à rédition de 1744 des OEuvres complètes de Galilée, deuxjdes plus illustres physiciens dont s'honorent l'Angleterre et la France posaient les bases de la vraie théorie de la rupture des solides, ou plutôt, et ce qui importe plus comme on va voir, des modifications qu'ils subissent longtemps avant qu'elle se déclare, et qui sont susceptibles de l'amener.

Eu 1078, Robert Hooke, à la suite d'une étude des ressorti d'acier (*) (surtout de montre], donnait son fameux principe ut tensio sic visy trouvé par lui, dit-il, dès 1660, mais annoncé seulement en 1676 sous l'anagramme ceiiinosssttuu C^), et

(*) De ReiUifnUd 8olidorum,ïn'^'', Florence, 4669.— Ad lectorem. — Propotilio 39. — Appendii. — Et, aussi, Lettera nella quaU êi ribatUmo Vingiusie accuse date dal P. D. G, G., 474 1 , pages 48 et 27.

(<) Page 333 (d<> 503) de l'ëdiUon de 4 833 des présentei Leçons.

p) Idem, n" 324, p. 604.

4 — ic (^) Sealementelle n'est alors que des — — = 0,245 aa Ueu det 0,333.

(") Geometrica demonêtraiio Fivianorum problenuUumf in-4<', 4699. (*) LecturesDe potenUâ restitutiYâor of Springt^ eiplaining the Power offpring* iugsBodies ; inséré i aes Philosophical Tract* and Collections. (T) K la suite de sa Description of Helioscopes and some other InHrumenis,

filSTOBIQUE. XCV

énonçAut oomine basé de la théorie de l'élasticité, la proportion^ nalité des extensions ou contractions aux efforts qui les amènent ou qu'elles développent. Il explique par là les mouvements vibratoires des corps; et s*il ne tire du même principe aucun calcul de résistance à la flexion, il fait déjà cette remarque féconde^ que la matière des barres élastiques fléchies oppose une réaction (springing) de traction du côté qui devient convexe et une réaction égale de pression du côté qui devient concave.

Vers le même temps (en 1680] notre Mariotte, ayant aperçu par plusieurs expériences sur des tiges de bois et de verre que le rapport entre les poids qui produisent la rupture par traction longitudinale et par effort transversal était plus grand que celui qui résulte du calcul de Galilée, constatait aussi (^)que les parties des corps même Ui plus durs (tels que le verre, Tacier) « s'éten-' dent plus ou moins sous l'action de différents poids, » à peu près proportionnellement à ces poids, « et retournent ensuite d'elles-mêmes à Iqpr première étendue; o et qu'elles se compriment aussi, en sorte a qu'un bâton qu'on plie se resserre vers la concavité de la courbure et s'étend vers la convexité avant que de rompre f p et il ajoutait « qu'il est très-vraisemblable que ces pressements résistent autant que les extensions^ et qu'il faut une même force pour les faire ; » enfin, que les parties étendues ne rompent que parce que leur extension v[ent à dépasser une certaine proportion qu'elles ne peuvent plus souffrir.

U montre donc d*abord que si Ton met, comme Galilée, l'axe fixe de rotation au bas de la section, en sorte que les fibres Ion-, gitudinales dans lesquelles on peut concevoir le solide divisé ne soient qu'étendues, l'inégalité de leurs tensions diverses qui varient uniformément depuis sKéro pour la fibre inférieure jusqu'à ceUe qui est capable de rompre la fibre supérieure, place leur

(1) Traité da moufement des etnx (qui ne fut publié qu'en 4786 parlessoios de Ph. de la Hire après la mort de Mariotte, arrivée le 4 9 mai 4784), 1 volume 1d-4 3, et eofloite OEurret complètes, 6* partie, deuiiéme diseoors, où il ebercbe la force à doooer aoi loyaux de conduite et à leurs platines, relatif eomit A k hauteur d'eau qu'ils aupportenl,

XCVJ BÊSISTANGB DBS SOLIDES.

résultante aux deux tiers de la hauteur (*); et comme cette ré* sultante, à l'instant de la rupture de la fibre la plus tendue, n'est que la moitié de la force qu'il faudrait pour les rompre toutes à la fois par traction longitudinale^ on a entre cette dernière force (résistance absolue) et celle qui fait rompre pAr flexion (résistance dite relative) le même rapport qu'entre la longueur du solide et le tiers de son épaisseur (au lieu de la moitié qu'avait trouvée Galilée en supposant tacitement toutes les tensions égales).

Et, ensuite, vu les compressions d'une partie des fibres, dont ce premier calcul ne tenait pas compte, Mariette place définitivement au milieu de la hauteur du solide Taxe d'équilibre sur lequel elles ne sont ni étendues ni comprimées ( c'est-à-dire cette ligne que M. Ch. Dupin a appelée des fibres invariables, et M. Tredgold ligne neutre), et il considère à la fois les r^istances développées par les compressions en dessous et par les extensions en dessus. «

Il se trompe, il est vrai, par une singulière inadvertance, du simple au double dans la supputation du résultat ('), cequi lui fait trouver la même chose que a si toutes les parties s'étendaient, » ou que si la rotation se faisait autour du bas de la section et non pas autour du milieu, et lui donne le rapport de la longueur du solide au tiers de son épaisseur pour celui des résistances absolue et relative, ou les deux tiers du résultat de Galilée, quand il aurait dû n'en trouver que le tiers d'après son point de départ. On ne doit pas moins considérer Mariette comme ayant posé d'une manière à peu près complète, au moins pour les prismes ayant des sections de forme symétrique dans deux sens rectangulaires dont Tun est celui de la force sollicitante» les principes sur lesquels on se base encore aujourd'hui pour calculer les flexions, et aussi la résistance des solides dans les limites en deçà desquelles on se tient toujours, et où les extensions et compressions

(') Fontenelle obierTe, dans les Mémoires de r Académie pour 470S, que c'est lubstituer, poar le point d'application de la résultante, le c9Htr€,dê percutêhn ou d'oiclilation au centre de gravité de la section.

(*) Idem, U* alinéa du Discourt,

HISTORIQUE. XCVij

des fibres restent sensiblement proportionnelles aux efforts qui les soUiciient.

y. Jacqoes Bemovlli. — C'est donc à tort (*] qu'on a à peu près généralement regardé Jacques Bernoulli comme ayant le premier, ainsi quMl le prétend, tenu compte des compressions, et comme ayant donné, conformément au titre de son écrit de 1705 (*)j la véritable hypothèse à adopter pour calculer ce genre de résistance des solides. L'illustre géomètre de Basle n'avait aucunement parlé de compressions dans son^ précédent écrit, contenant la découverte de la courbe élasti- ': que (*){voy, n»XII) et qui est d'ailleurs postérieur de neuf/ ans à la publication du Traité du mouvement des eaux. Il nefaiti même, à la théorie de Mariotte, qu'un seul changement peu heureux, consistant à regarder les extensions et contractions comme augmentant dans un rapport moindre que les forces qui les produisent ; il prétend le démontrer d'une manière mathématique en disant que si les compressions étaient proportionnelles aux poids qui les causent, la fibre finirait par a se comprimer dej^lus que toute sa longueur; » il ajoute qu'il en doit être de même des extensions, a parce qu'elles ne sont que des compressions négatives, » et il croit le confirmer, en ce qui regarde les pièces solide», par des expériences sur des cordes à boyaux^ qui en effet suivent cette loi(*), toute contraire à ce qu'on a récemment trouvé pour le fer et pour les bois étendus au delà

. (>) Navi«r en fait déjà li remarque à une note du Traité de la construction des IpoBUdeGautbey.t. H (4813), cbap. \", p. 90.

^ véritable nypoibése de la résistance des solides aTec la démonstration de la eovrbure des corps qui font ressort; lettre du 19 mars 4705^ insérée aux Mé- ■oires de l'académie pour la même année ; ou Jacobi Bemoullii opéra omnia^ U 11, p. 976.

(*) Jacobi BernoulliiCurTaturalamin» elastic». ActaeruditorumLipsiaJunii4694 pw 96), ou Opéra omnia, p. 676.

(*) Une corde à boyau de 3 pieds, chargée successivement de 9, 4, 6, 8 liTres, s'étendit de 9, 47, 93, 97 lignes, Undis qu'elle se serait étendue de 9, 48, 97 et 36 lignes si elle avait suivi la loi de proportionnalité.

L'historien de l'Académie pour 4705 ajoute cette raison peu concluante : « que ti les extensions étaient proportionnelles aux forces, comme les forces peuvent aagnenter à i'inani, il faudrait que les fibres pussent s'étendre aussi à rinflni, ee qui est absurde.

XCVlîj RÉSISTANCE DES SOLIDES.

de la limite de oonservation de leur contexture. De plus Bernoulii, se trompant du simple au double comme Mariotte^ dan« son lemme IV, affirme que « la force transversale capable de rompre, est la môme que si les fibres étaient ou toutes étendues ou toutes comprimées^ » et avance que la position qu'on adopte pour l'axe fixe autour duquel se font les rotations est tout à fait indifférente^ soit qu'on le mette en bas de la section ou en haut ou en tout endroit intermédiaire. C'est que, n'apercevant pas le principe de l'égalité nécessaire des deux sommes des forces tendant à accourcir les fibres et des forces tendant à les allonger (voy. n" YIl], principe qui est seul propre à fixer la position de cet axe, il cherche à échapper, par un raisonnement singulier, à la nécessité de déterminer cette position préalablement. La compensation partielle de cette seconde erreur par la première est cause de la conformité approchée de ses résultats avec ceux de quelques expériences de rupture faites précédemment par Mariette.

C'est ce qu'observe très-bien, en citant Parent et Bilfinger {voy, n* VI), l'auteur d'une note mise au bas du Lemme IV à l'édition complète des œuvres de Jacques Bernoulli.

Mais voyons d'abord ce qui avait été dit auparavant tou^ chant la loi des allongements des fibres sous diverses tractions.

VI. lieibnlte, Varl^non, Parent. — Leibnitz, en uillet 1684, c'est-à-dire deux mois après la mort de Mariette ('), dont il cite les recherches, mais comme ne coninaissaut que par oui-dire ses seuls résultats expérimentaux, admettait comme Mariette et comme Hooke la loi de proporlionnaUté des tractions aux allongements, en plaçant^ du reste*, comme Galilée, l'axe de rotation au bas de la section.

Varignon, considérant que cette hypothèse de proportionnalité de Mariette, quoique très-vraisemblable, a pouvait n'être pas au gré de tout le inonde », présentait, en 1702, un Mémoire sur la résistance des solides pour tout ce qu'on peut faire d'hypothèses

(1) Demontlraliones notœ de rcsisieniià ^oli^orum. (Arl.i erudîtorum, Liptiv, Julii lG84,p. 349.)

HISTORIQUE. XClX

touchant laforeeou la ténacité des filtres dueorps à rompre (^) ;daD8 lequel (en plaçant toujours l-axe fixe au bas de la section ou en ne tenant pas compte des compressions) il donnait une formule générale où la résistance opposée par les fibres restait une fonc^ tion indéterminée de leur extension , fonction sur laquelle on peut faire beaucoup d'hypothèses si^ns que le rapport des résistances pour diverses sections soit autre, au moins pour celles qui sont rectangulaires, elliptiques etc.^que cequ'a trouvé Galilée, à savoir le rapport des largeurs multipliées par les carrés des épaisseurs. Il faut^ on le conçoit^ supposer une autre loi que celle de proportionnalité aux premières puissances des extensions, si l'on veut que les formules donnent bien les charges capables de produire la rupture immédiate^ au lieu de ne donner, comme les formules dont on fait aujourd'hui usage, que les charges au delà desquelles la contexture commence à s'altérer, car cette loi simple ne s'observe pas jus{|u'à ce que la rupture s^o- ! père(*). C'est pour appliquer cette idée de Variguonque Jacques Bemoolli fit sa tentative, peu heureuse disons-nous, de 1705.

Mais les erreurs de supputation de BemouUi et de Maridlte furent très-bien remarquée» et rectifiées par un autre géomètre, .trop peu cité, l'académicien Parent, qui, après avoir publié divers mémoires relatifs à la théorie géométrique de la résistance des solides et à la détermination a d'autant qu'on veut de figures d'égale résistance » pour des modes quelconques d'application des forces ('), où il mettait encore, comme ses devanciers, l'axe de rotation au bord inférieur de la section, remarqua enfin très-judicieusement, dans un dernier travail (*) (comme fit Couloinb aussi quelque temps après) qu'un point ou une ligne indi» visible, comme e$t ce bord, ne saarait avoir assez de résistance

(1) Mémoire 4« rAcad^ie pour 470S.

(9) Voir d'iprés nolra DOtt du o** 464, p. 473 à 485.

(*) itfril 4704, 4 joio 4707 et 4708, et 22 rérrier 4740« au recueil dei

MéiBOlrM d« l'jUsadéiDia. C'est daoi celui de 4708 que Parent donne le moyen de lirer d'oo tronc d'arbre la poutre qui offre la plus grande résistance. (Voy. ciaprès, n» 480, p. 4 S8.)

(^) Essais et Recherches de nalbématiques et de physique, 3* volume, XI V méiBOirc : D« U vérUablt Méeaniqut des réâittanees relaUyet det toUdes^ il réfUxUmê tvir U tygtimt de M. BemouUi de Bàle, 4743.

pour servir d^appui^ en sorte qu'il faut une portion finie de la partie inférieure de la section du solide pour résister aux compressions. 11 prouva que la somme des résistances des fibres comprimées doit être égale à la somme des résistances des fibres étendues, ce qui est^ dit-il^ une propriété dont bn n'avait pas encore parlé. Cette propriété fournit , comme on sait actuellement, réquation servant à déterminer la position de Taxe de rotation, appelé maintenant ligne neutre ou des fibres invariables ('). En ajoutant les moments, autour de cette ligne, des deux espèces de résistance^ pour en égaler la somme au moment du poids qui tend à rompre par flexion^ il trouve facilement que les résultats de Mariotte et de BernouUi sont deux fois trop considérables; et le même raisonnement lui sert à montrer que leurs transformations en quelque sorte graphiques des deux moments en un seul étaient illégitimes et affectées d'un double emploi, 011^ ce qui revient au méme^ de l'omission d'une dpfalcation qu'il fallait opérer.

Bil6nger^ peu d'années après ('), fit la même remarque critique, et, en restituant à Mariotte l'idée première de prendre eu considération les compressions , aussi nécessaires pour l'équilibre que les extensions^ rectifia comme Parent la conclusion qu'il en tirait mal.

VII. Coulomb. — Occupés bientôt des questions mathématiques relatives à la flexion des tiges ou aux courbes élastiques

(1) Le raisonnement de Firent est remirquable. SI P est le poids suspendu à

une cxirémiié de la pièce horizontale encastrée OM, et si L, l, sur la section d*ea-

castcement, sont les points d'application des ré-

suluntes des tractions des fibres à traTers la pirUe

supérieure et de leurs pressions à traTers la partto

inférieure, ce raisonnement rerient à obserrer

qu'en représentant la première résultante par la

longueur LN de la pièce, il faut que le poids P

le soit par N» = Li, afin que ces deux forces, en

se composant ensemble, en produisent une Kl qui

/^ passe par ^ condition pour que la somme des no-

^^ menu de P et des deux rèsuluntes horiiontalei

suit nulle autour de ce point L Or il faut pour cela que la deuxième résultante

soit représentée par ln=zLK ; elle est donc égale à celle des tractions.

(>) Académie de Saint-Pétersbourg, 4729, t. IV, p. 478. De ioUdonm retiitentiâ spécimen.

HISTORIQUE. CJ

qu^elles affectent (voy. n* XIII ), les savants cessèrent de s'occuper de leur résistance à la rupture jusqu^en 1773^ époque où Coulomb présenta son célèbre Mémoire composé, dit-il, pour son usage particulier dans ses travaux d'ingénieur militaire à la Martinique, et où se trouvent posées presque toutes les bases de la théorie de la stabilité des constructions (^); mémoire où il montre que les questions d'équilibre y relatives peuvent se traiter comme des questions de maximum ou de mininmm, ce qui préludait, en môme temps que les recherches théoriques d'Euler et de Lagrange, à cette méthode de l'emploi du potentiel ou du travail mécanique qui est suivie aujourd'hui avec succès par des géomètres éminents (*) (voy, n» XLII).

Sans avoir eu probablement connaissance du Mémoire de Parent, de 1743, Coulomb se place de suite au vrai point de vue. D'un lemme de statique générale, enœre peu connu alors malgré son évidence, et consistant en ce que l'équilibre d*un système sollicité par des forces quelconques exige la nullité de la somme algébrique de leurs composantes suivant trois directions rectangulaires, il déduit que dans la pièce horizontale sollicitée verticalement, il doit y avoir, à travers toute section transversale, égalité entre la somme des tractions horizontales des fibres étendues, et la somme des pressions aussi horizontales des fibres contractées, ce qui lui donne, sur la section d'encastrement par exemple, la position de la ligne de séparation, ou des fibres qui ne varient pas de longueur. En égalant le moment du poids suspendu, c'est-à-dire son produit par la longueur du prisme ou par la distance entre l'encastrement et la suspension, à la somme du moment des tractions et du moment des pressions des fibres^ il obtient immédiatement le rapport, à ce poids, de la

(1) Bt»a% êUT une application des règle» de MaximU et Minhnit à quelquet pruÙèmn de italique relaiifià VArchUecture, (SaraDls étraDgers, aDDée4773, t. TU, publié en 4776.)

Ce mémoire a été réimprimé dans noire siècle aTec celui de 4784 lur la iorfioQ des filf et celui que le même Coulomb a publié sur les machines.

(*) Aucune cause naturelle, dit Euler (déTeloppant une id<lede D. Bernoulli), ne prodnil 4'elbt, qui, euTisagée sous un cerlAin rapport, ne soit on maiimum ou un minimum.

flj UÉSISTANCi: OKS SOI.IDKS.

forco de trdclion qui (cndruit toutes *les fibres autant que la plus tendue de toutes.

Ce rapport, quand la section a une forme rectangulaire à côtés horizontaux et verticaux, est celui de la longueur de la pièce au sixième de sa hauteur, ce qui fait deux fois plus que suivant le calcul de Mariotte^ moins exaci que ses principes^ et trois fois plus que suivant le calcul de Galilée.

Coulomb^ au reste^ tout en rejetant la roideur parfaite supposée par Galilée, ou la rupture simultanée de toutes les fibres sans extension préalable, remarque ti'ès-bien que si la matière du prisme ne suit pas jusqu'au dernier instant la loi de proportionnalité des efforts aux dilatations et compressions'^ Taxe final do rotation pourra se trouver ailleurs qu'au milieu de la section^ et que le rapport en question pourra être moindre (^). Mais il repousse l'opinion que cet axe puisse être au bas, par cette raison péremptoire, déjà aperçue par Parent, qu'une ligne sans épaisseur ne saurait supporter à elle seule une pression finie.

Vlil. Girard, Barlow^ Tred^old. — Le Mémoire de Coulomb comprend tant de choses dans peu de pages, que, pendant plus de quarante ans, l'attention des ingénieurs et des savants ne s'était fixée sur aucune^ ainsi que M. Poncelet l'a remarqué pour ce qui est relatif à la théorie des voûtes ('}.

Ainsi Girard, en 1798, tout en le citant, n'en avait tenu nul compte; et croyant, sur l'assertion de Bernoulli, que la position attribuée à l'axe des fibres invariables est indifférente, plaçait cet axe au bas de la section comme Leibnitz (^). Les principes si

(*) Oa peut TOir à ce sujel la note que noui avons miie au $ 154 ci-aprèt, p. 473 à 485.

(*) Examen critique et historique des principales théories ou solutions eoncer" fuint Véquilihre des voûtes. (Comptes rendus des véancct de l'Académie, l. XXXV, 1852, p. 497, 534, 577.)

(») Traité analytique de la résistance des solides^ et des toUdei dfi^aU WïïUtance, Gel outrage est écrit a?ec une clarté élégante, et les nombreui Gticuli y sont asseï bien faits. Mais leurs bases, et les conclusions, sont souveot faasies; par exemple, pour les solides encastrés aux deux bouts, quand la charge li'etitMtt à égala distance des encastrements etc. Aussi, son utilité se réduil-elleà celle des résuluis des expériences de la section 3* sur la fbrcs et VéUuUcUé spécifi/pM du chine et du sapin.

HISTORIQUE. ciij

simplet poiés par (k>uloinb ne furent étudiés et compris que dans notre siècle. Encore ne le furent- ils que peu à peu, car, tout en donnant une expression exacte du moment total des forces qui s'exercent à travers toute section symétrique, Duleau ['), sans faire attention à la S" proposition préliminaire de Coulomb et à ce que signifient deux petits triangles dont il égale les aires entre elles pour exprimer l'équilibre des forces horizontales ou régalité de la somme des tensions à la somme des pressions des fibres, croyait voir que, d*après ce savant, la ligne de passage des tensions aux pressions devait se déterminer en égalant la somme des moments des premières à la somme des moments des secondes; principe faux qui assignerait à cette ligne ou axe des fibres invariables une situation très-différente de la véritable^ pour les sections qu'elle ne partagerait pas en deux poilioni 83rmétriques.

Plusieurs autres auteurs éminents, entre autres M. Barlov^ ('}, faisaient la même confusion, avouée ingénument et rectifiée par cet illustre correspondant de Tlnstitut dans son dernier ouvrage sur la force des matériaux ('), en citant M. Eaton Hodgkinson comme la lui ayant judicieusement signalée (*]. Leur habile et savant compatriote, M. Tredgold, en mettant comme eux, et comme Coulomb et Young, Yaxe neutre à sa vraie place pour les sections rectangulaires, imaginait un principe singulier ^') pour en déterminer la position dans les sections d'ono autre forme, sans comprendre encore le principe si simple et si rationnel de Parent et de Coulomb.

(1) Estai théorique et expérimental sur la résistance du fer forgé; mémoire présenli en 4843, et imprimé en 48120; pages 3 et 3.

(•) Jn Bsêay on tke Strength and Stress of Timber, 4847, arU 490.

t*) A Treatise on the Strength of Timber, cast Jron, malléable Iron^ etc. 4 837 , art. 40.

(*) Au TOlame IV des Mémoirea de Mancbetter, nouvelle série.

(•) Essay on the Strenpth of cast Iron^ art. 85» ; et Elementary Principles of Carpmiryt G« principe qu'il substitue, dit-il, k plusieurs règles fausses données par l«t aneiena auteurs, était qu^en doublant cbacune des deui parties dans lesquelles l'axe neutre diTise la section donnée, les deux sections de forme sjmëtriqae qui m résultent soient celles de deux pièces do même résistance l'une que l'ivtre ; it refient à la condition que, pour les deux parties, le moment d'inertie nutour-de ctt axe cherché, di? iaé par la hauteur ou plus grande ordonnée, donne le même quotient ; ce qui n'atteint point le but réel et Téritable.

Civ RÉSISTANCE DES SOLIDES.

IX MaTler. Premlem es0al«9 ctlenrrectiflèMi^M.

— Navier aussi, dans les premiers écrits de sa jeunesse , se laissa tromper par l'assertion de Jacques BernouUi et de Ha* riotte, relative à l'indifférence prétendue de la situation adoptée pour la ligne des fibres invariables; il chercha même à l'appuyer d'un raisonnement ('], qui prouve seulement que^ soit qu'on la place au bas ou au milieu d'une section rectangle, le moment des résistances est comme le cube de l'épaisseur pour une flexion déterminée (et non comme le carré, ainsi que l'avaient cru Girard et beaucoup d'autres) (*). De plus, quelques résultats d'expériences lui faisant soupçonner a un vice caché dans la composition des formules, » il entreprit d'en donner de nouvelles : il supposait pour cela que chaque fibre , bien qu'infiniment mince, opposait à la flexion (comme les lame$ envisagées par BernouUi et qui venaient de faire l'objet de son étude), une certaine résistance proportionnelle à sa courbure, et que, vu sa liaison avec les autres, elle opposait à Textension une seconde résistance, supposée à la fois proportionnelle au degré de son allongement, et à sa longueur absolue (']; ce qui lui donnait pour la somme des moments des résistances des fibres une expression composée de deux termes (*).

Mais Navier ne pouvait rester dans cette singulière erreur, que nous avons dû mentionner parce qu'elle se trouve dans un volume non réédité d'un grand ouvrage. Il la rectifia dans son premier cours de l'école des ponts et chaussées en 1819. On y voit qu'il donna alors ('), pour le moment total des résistances des fibres, une expression exacte, la ligne des fibres invariables étant

(i)Tome 11(4813) du Traité de la coDslrucUoo des ponU de Gaathey, note aprèi le chapitre 4*^, page 30.

(*) El lui-même à ce qu'il paraît, aTant d'aToir été détrompé i ce iv^iet par M. Bernard, aujourd'hui correipondanl de rioslilut, alors éléfe hors de ooDCOun (4843).

(•) Idem, sout-nole, page 33.

(^) Idem^ page 34. Il est érident qu'en écrWant la sons-note de cette page, il oubliait de tenir compte, en déduction, des actions et réactions nutuelles des parties dans lesquelles il divise une tige ou une fihre qu'on étend.

(>) Sommaire (lithographie) des leçons de mécanique appliquée données à TËcoledes ponts et chaussées, 4849-4 8^0. Première partie, n* 60 (De la ré sisunce à la flexion des corps prismatiques suivant la figure de leur section transversale).