HISTORIQUE. CV

supposée connue; maîsque^ comme Duleau, il déterminait encore cette ligne en posant une équation fausse entre le moment total des résistances des fibres allongées et le moment total des fibres accourcies, moments qui sont bien loin d'être égaux dans les pièces à base de triangle, de trapèze^ de 1* simple^ etc.

Ce n'est que dans son cours de iSU, imprimé et distribué par feuilles la môme année, et publié en i8SK6, c'est-à-dire dans la première édition de l'ouvrage que nous rééditons, que toute erreur de ce genre fut corrigée^ et que Navier, seul entre tous les auteurs, détermina la ligne que traversent les fibres invariables sur des sections de toute forme, en égalant entre elles^ non plus les deux sommes des moments^ mais les sommes des résistances elles-mêmes des fibres tendues et des fibres pressées. D'où il déduisit, le premier aussi, le principe si simple du passage de cette ligne par le centre de gravité de la section lorsque la matière est d'égale contexture dans toute son étendue^ et qu'on se tient dans les limites de la conservation de la contexture, ou, comme on dit, de Vélasti:

^ité^ ou plutôt tant que les efforts restent proportionnels

^aux effets.

X. IVaTler («nite). Yoan^. — Dans ce même remarquable cours de 1824^ dgnt. çpus avons été un desauditeuirs, et qui fit faire à cette branche de la Mécanique un pas considérable^ Navier rattacha plus franchement et complètement que n'avaient fait ses prédécesseurs^ la théorie de la résistance des solides à celle de leur élasticité, ou celle de la rupture par flexion à celle de simple flexion sans rupture (*), dont l'illustre physicien Thomas Young avait, en 1807, donné les formules exactes en y faisant entrer, le premier, un module d'élasticité^ mais en ne s*occupant que des sections divisibles en deux parties symé-

(^) Dès 4 SI 9, (Uni un article (au n" 71) de son eours Ulhograpbié, intitulé : De la rupittre conndérée comme V effet de la séparation des fibres allongées ou de técratemetU des fibres accourcies, il exprimait que la théorie de la rétistanee à la rupture exposée dans les autres articles au point de rue de ses devaiiriers était eo quelque aorte artiOcielle et qu'il fallait y renoncer.

CVJ HÉSISTANCË DES SOLIDES.

triquee par une ligne liorizontale qui est alors évidemment celle dos fibres invariables (*).

11 put ainsi résoudre ime multitude de questions non encore abordées ; car ce sont les petites déformations subies par une pièce solide qui déterminent la distribution des etfoils, nonseulement entre les diverses fibres à leur passage à travers une même section^ mais aussi entre les diverses parties de cette pièce et entre les diverses pièces d'un même système.

Navier fit à la fin de l'art. IV (!2« remarque du $ loi ci-après), une distinction essentielle entre la résistance à la rupture immédiate ou prochaine dont il est presque impossible et heureuseûient peu utile d'assigner les lois, et la résistance à une rupture éloignée y ou à une énervation qui amènerait la rupture au bout d'un temps plus ou moins long (^), et il montra (ce que Young avait indiqué en passant connue nous venons de dire) le vrai parti qu'on peut tirer des formules de flexion pour en prévenir les chances, en limitant convenablement les dilatations ou extensions, ce qui convient mieux et produit souvent d'autres résultats que de limiter les effoi-ts ou tensions ; et ce qui n'empêche cependant pas , si on le trouve commodoi d'éliminer ensuite les dilatations-limites^ ainsi que les coefficients d'élasticité, des

( *) A Courge of ÏAKturei on nalural Philosophy and the meeânical ArU, ÏJt tt'. Young y dit, vol. 4*'', p. 1 41 , que riUération permanente do forme limite U force dea matériaux presque autant que la fracture, puisque l'efTorl qui est capable de produire cet effet est suffisant pour l'accroître Jusqu'à ce que la fracture aft llea* bien qu'il reconnaisse (p. 442) que cette altéraUon de forme «te fa»9t pa$ perârt Vilaatieiti (roy. ci -après p. Sî) ; et toI. U, art. 335, que la réfistance oit !!• mitée par l'extension ou la compression que la substance peut supporter sans manquer (failing) ou s'aÛaibiir.

Son Module est (ci-après, p. 48) la hauteur en ponces que donne le ^noUtott de la charge d'un prisme d'un pouce carré de base par l'allongement on le raccourcissement qu'elle produit pour chaque pouce de hauteur, et aussi par le poids du pouce cube ; ce qui fait, en substituant le mètre au pouce angliii, le poids E de Navier divisé par le poids du mètre cube, ou exprimé en hauteur d'un prisme de mémo matière ayant le mètre carré pour section.

(^] M. de Guillebon (lithographie du cours qu'il a fait en 4839) dit i cette occasion que la désignation, moment de rupture, est donnée i tort â l'expression qu'on égale au moment des forces extérieures pour poser la condition de stabilité; car, vu que la propuriionnalKé des forces aux dilatations et corapressions ne ie conserve pas, l'équation qui en résulte est fausse si on l'applique à l'état otft ae trouve la pièce à l'instant qui précède celui où elle rompt.

HLSTDtUQUE. CVÎj

équations de cohésion ou de non-mpture; en sorte que ces exprès^ sîons des conditions de la stabilité de la contexture des pièces peuvent ne contenir que des efforts-limites (*), dont les valeurs sont fournies par diverses expériences ou observations. ( Voy. n- XLÏV.)

XI. Suite de IXmwier, Ca« où le calent des ré- «Ictoneeii doit être précédé de celai des fleiLioiiM.

— Si d'ailleurs on peut, dans quelques cas^ poser les équations de stabilité d'une manière directe, sans parler ni des flexions éprouvées ni du coeflicient de rélasticité qui y résistait, il est absolument nécessaire, dans une foule d'autres, d'opérer préalablement le calcul analytique de ces flexions, et plus généralement des déplacements des points des pièces. Ce sont, par exemple (voir ci-après, § 7 de la note du n"* 113), les cas où les flexions qui seront prises augmenteront sensiblement certaines composantes des forces extérieures, et surtout leurs bras de levier, comme quand les pièces sont sollicitées dans une direction parallèle ou presque parallèle à la leur. Ce sont aussi ceux où il y a lieu de combiner ensemble une flexion et une torsion. Mais ce sont surtout les cas nombreux où une partie des forces est inconnue parce qu'elles consistent en des réactions d'appuis ou d'encastrements, des actions mutuelles de diverses pièces assemblées , etc. , qui ne sont point données à priori , et pour la détemûnation desquelles les théorèmes de la statique élémentaire, exprimés entre les seules forces extérieures ou non-réciproques agissant sur un corps, ne fournissent qu'un' nombre insuffisant d'équations.

Ces sortes de problèmes, d'une nature implicite, peuvent être résolus, comme nous veiTons au H' XLIX, par un procédé généra), consistant à construire analytiquement les expressions des déplacements des points en fonction des forces tant connues

(^) V. ei-iprès $S 7 de )a note du n* 413, p. 93; 44 du n- 156, p, 83 , et note (^] de la p. 829, Appendice coMplèmcnlaire, § 94* Une erreur du d" 303 do la ibcilon IV de Narler relatlte à la silunllon de la seclion dangereuse ou de mptare dans une pièce horizontale chargée de diren poids, a été corrigée dans un cours lithographie de 1837-1838.11. d'Andréa, dans sa traduction lulienne de 4So6, afail Taii la même correction.

CViij BÉSISTANGE DES SOLIDES.

qu'inconnues, celles-ci représentées par des lettres, et de s'en servir pour exprimer les conditons définies que les déplacements doivent remplir aux points particuliers où ces forces agissent, par exemple leur nullité aux points fixes^ leur égalité et les raccordements qu'ils doivent observer aux jonctions des pièces ou des diverses parties dans lesquelles il faut partager une même pièce parce que les déplacements y sont donnés par des équations différentes (*). De cette manière on parvient constamment à poser autant d'équations qu'on a d'inconnues à déterminer; car il n'y a, dans les questions de mécanique physique, évidemment aucune indétermination.

Navier a posé et résolu le premier, dans son Cours de i824 (et même déjà dans celui de i819), un certain nombre de ces sortes de questions, celle par exemple de la pièce encastrée aux deux bouts et sollicitée ailleurs qu'au milieu de sa longueur (de sorte qu'on ne puisse pas obtenir, comme Girard, la solution par une assimilation à un cas plus simple] ; celles de pièces droites posées sur plus de deux appuis, ou do pièces courbes arrêtées aux extrémités ; enfin, le fameux problême de décomposition d'une force suivant des droites matérielles concourantes au nombre de plus de deux dans un même plan ou de trois dans des plans différents ('). S'il n'a pas indiqué la méthode générale dont l'application à tous les cas réaliserait l'espérance de sa préface de 1826 (p. Ixxxvij), si même, pour diverses

(1) Navier a appris i poser ainsi des équaiions disiiocles pour lei flexloot de ces direrses parties, qui sont séparées par des points où agissent des forces itolëeSy et autres où U loi de sollicitation change. U n'a pas eu besoin ainsi de recourir, comme a fait Poisson, i remploi difficile des fonctions ditcontinuei. (Traité de mécanique^ 2* édition, 1833, n» 323.)

Nous avons eu lieu d'apercevoir qu'une division de ce genre doit encore être opérée, même quand il y a parfaite continuité ou aucun changement de forme des eipressions, lorsqu'il s'agit de déterminer par exemple la flexion d'un annein ou d*un ressort de dynamomètre fermé, car une pareille pièce n*a pas d'extrémité; il faut donc poser l'équaiion d'équilibre, non pas, comme à l'ordinaire, de toale la partie au delà d'une section qnelconque, mais d'une portion comprise entre deux sections, en remplaçant la portion au delà de la seconde par une force el un moment, dont on détermine ultérieurement les intensités en posant les conditions do raccordement. (Cours lithographie, 4S37-1S3S n"* 49, 8S; oa Comptes rendus 1843, 6 novembre, t. XVII, p. 1025.)

(>) N* 633, page 34& de l'édition de 1S33.

HISTORIQUE. Cix

sortes de charpente^ il est revenu aux décompositions arbitraires ou hypothétiiiueSy fondées sur des suppressions, dont on se servait vaguement avant lui, on doit toujours lui attribuer le principe de ces solutions de questions qui ont été longtemps pour les géomètres une énigme désespérante, restant en effet sans mot tant qu'on attribue aux corps une parfaite rigidité (*) qui ne se trouve réellement dans aucune de leurs parties, ni môme probablement de leurs dernières particules (') et qui rendrait tout indéterminé dans la répartition intérieure des efforts auxquels elles sont soumises.

Au reste, à la même époque, dans une note (') intitulée Sur les questions de statique dans lesquelles on considère un corps supporté par un nombre de points d'appui surpassant trois^ Navier, en rapportant les résultats de ses belles solutions relatives à la pièce élastique droite ainsi supportée, observait très-bien que l'indétermination apparente cessait en tenant compte de rélasticité ou du corps, ou des appuis, ou de Tun et des autres j à la fois.

Le même cours de iSii contient la solution de beaucoup d'autres problèmes sur lesquels nous reviendrons au n° XV.

Xll. Courbes élastiques planes. Jacques Ber- Moolli. — Parlons auparavant des courbes élastiques y et d'abord de celles qui sont comprises dans un plan.

Leur recherche, plus géométrique que physique, a pu être fort avancée avant que les travaux de Coulomb, de Young et de Navier eussent fait connaître les vraies valeurs du nombre constant (e ou El ci-après, au n» 80 et à sa note, p. 30, 31 ) qui figure dans leur équation.

Galilée avait pensé que la courbe affectée par un ressort droit que Ton ploie pouvait être une parabole, les PP. Pardies et de

(«) Voy. Opuicule» detPMemberty t. VIII, p. 36. Sur quelques quettioDS de dy- «amiqne. — Et, U XVIII def Mémoirei de SaintrPètertbourg, un estai d'Euler. (*) Vo)ei ci-après, n« XXII.

'^>) Sociélé philomaUque, 4895, p. 33.

ex RÉSISTANCE DES SOLIDFS.

Lanis une funiculaire. Mais Jacques BernouUi (et ce fut là sa véritable découverte) en indiqua la vraie nature, d'abord eia 1691 sous forme d'énigme (*), puis explicitement dans l'année iG94 (') en basant sa détermination sur cette propriété fondamentale a qu'en un point quelconque le rayon de courbure est en raison inverse du moment, autour de ce point, de la force qui produit la flexion, » propriété dont il donna une démonstration dans Tannée 1095 ('), en attribuant une épaisseur à la lame ou au fil élastique, et en supposant, comme . Leibnitz, qu'une quelconque de ses sections acquiert une petite inclinaison sur une section voisine et primitivement parallèle en tournant autour d'une de ses bases ou de ses tangentes, qu'il prend, avec Galilée, pour l'axe d'appui d'un levier coudé. Mais il traita plus amplement ce sujet de la courbure des ressorts en 170o, à la suite de sa lettre Véritable hypothèse^ etc., citée ci-dessus (*), et où il a été, avons-nous dit, moins heureux quant à la détermination du coefficient de cette proportionnalité.

En égalant, avec lui, pour un fil élastique primitivement rectillgne, le produit de ce coefiicient ou de cotte constante par rinverse du rayon de courbure du fil en un point quelconque, à la somme des moments, autour de ce point, des forces qui sont supposées le solliciter dans un seul et même plan depuis là jusqu'à une de ses extrémités (*), on a, pour la courbe qu'il affectera, une équation difiérentielle du second ordre, dont on obtient toujours une intégrale première quand on peut prendre des axes coordonnés par rapport auxquels on connaisse la direction et la situation de la résultante de ces forces sollicitantes;

(1) AcU eruditoruin Lipsia, page SS2,ou OËuvr. compl. d** XUI.

(>) Idem, Juin 1694, p. 262, ou Œuvres u? LVUI.

(3) Idem, décembre, p. 537. Explications et noies ; OKuTres, a"* LXVI.

(^) Mém. dcl'Ac. 4705; ou Œuvres, t. II, p 976. Une question du môme genre a été traitée par son frère Jean Bernoulli; Œuvres, t. IV, n" CLXXIV.

(*) Nous verrons (n* XVl) que cette égalité n'a lieu qu'autant que la tige est droite ou plane, et que son plan, ou celui qui passe par sa fibre moyesme et par la résultante des forces, comprend aussi l'un des deux aies priBoipaux d'inertie de ses sections transversale*.

HISTORIQUE. CXJ

et une seconde intégration ramène le problème aux quadratures C).

Ces quadratures, quand on n'y emploie pas les transcendantes elliptiques, ne peuvent s'obtenir qu'en développant la fonction sous le signe J en série, comme ont fait Bernoulli, Euler et Lagrange, ou en faisant usage de diverses méthodes d'approxi-

(>) Il est olair, ea effet, que i i Ton poM Téquation, qui est de la formé

El

P oik peai le rayon de oourbuie, El esi une coosuute, eia, b lont les eoordonilèra X, y dq point d'application de la résulianie dont X, Y sont lei projeelions sur lea x et les y, et si l'on change ces coordonnées, en Taisant

a:=rar' cosa — y'sina, y=zx' s'm %-{-iy cihol

em d'antres xf, y' telles qu'il ne reste après substitution que la coordonnée x' dans le second membre, ce qui revient à prendre y' parallèle à la résultante

R=: ^x* + Y*, l'équation, qui se réduira, s étant l'aie et C' une constante, k aura pMir intégrale première, C" éuut une autre constante,

dtj' x'^ , , 4 / rfar'*

d'où Ton tire, en x' et dx' seuls, la valeur de (/«, et par suite celle de dif =

dy'

•y de. On anrait la même ebose en prenant les aies coordonnés nonveaux, ou

leur anglea avec les anciens, de manière h n'aToir dans le socond'membre que y', et

4 d9 en remplaçant- par = -~ . On y arrive aussi avec Lagrangc (Ac. de Bcr-

P dy'

lio, 1769, 5i«r la force desreêsorts pïiés, ou Mécanique analytique , \'* partie, •«icUon V, art. 60), sans changer d'axes coordonnés, en introduisant pour variable Miiiiiaire l'angle f que fait avec eelui des r la tangente à la courbe élastique au point

{x, y); car -= — ^, a;= ( cos» (/«, t/ = Ç ^ino d<;d'od, subsliluant ctdifTéfi ds ^ ' •' '

d^ reoliant, El — ~ =X8in9 — Ycos 9, qui multipliée par 2^^ et iuiégréc donne

dr *

El [ ~ J = — ^Xcosc? — 2Y sino + C"; d'où l'on peut tirer ds et par suite dx en 7 et d9 seuls.

CXij nÊSISTANCK DES SOLIDES.

mation numérique ou graphique dans les cas pour lesquels ces séries, après Tintégration^ ne sont pas convergentes^ comme l'a remarqué M. Poncelet (i).

XIII. Classification des coarbes élastlqaes plaMCS par Eairr. — Euler fit, en 1744, une énumération complète des courbes élastiques planes^ dans un mémoire (*) où il prendi d'après ce que nous venons de dire^ l'ordonnée y parallèle à la résultante, quand il y en a une^ et uù il déduit leurs formes et les lois diverses de leurs circonvolutions, tantôt de l'intégration de leur équation en série, tantôt de Téquation différentielle ellemême , car la série n'est pas toujours convergente. Il y cherche d'abord^ à la suite de considérations métaphysiques sur le double moyen d'investigation qu'offrent, d'une part, les causes finales, et, de l'autre, le calcul des effets des causes efficientes, quelle doit être la courbe rendant un minimum une certaine quantité appelée force potentielle par Daniel Bernouili, qui lui avait conseillé cette recherche; quantité qui est, ici, V intégrale de Vêlément de l'arc divisé par le carré du rayon de courbure^ pour une longueur donnée de l'arc entre deux points où les directions de sa tangente sont aussi données ('). Euler trouve que ce sont bien

(') Dans EOD Cours de mécanique induitrîelie (4840, inédit) àlaFacullé des icieoces de Paris, 44* leçon, ~

(*) Addilamentum De curvis elatticU à la suite de son bel ourrage Metkoima inveniendi lineat curvat maximi minimive proprietate gaudenUêg dont Im méthodes ont été remplacées par celle des variations.

(S) Celte quantité, appelée aujourd'hui simplement \9 potentiel {\oj.App, compl. p. 783, 796), n'est autre chose que le travail de flexion. On a en effet, c

n**' 77 et 80 (note), p. 99, 31^ p étant le rayon de courbure, tfa- pour l'alloo-

P gement subi par un élément de fibre, d'une longueur primitiTO d*, si v etl u disUnce à celles qui ont conservé cette longueur entre deui sections Toisinet w; d'uû pour cette fibre une tension dont l'intensité, nulle quand la fleiion oomawace,

a maintenant pour grandeur E dco - . Il en résulte que le traTtil de ton aUooge-

P 4 V V E dfj >•

ment est-E(fci)~. (f<-i cequi donne - --r- V r^do pour toutes les flbrei rar la

El rlds longueur ds ; ou, 1 étant le moment d'inertie de la section, •-• V --pour le tnvail

de Deiion sur une longueur quelconque l de la tige.

HISTORIQUE. Cliij

en effet les courbes élastiques de Jacques BernoulH, définies par la proportionualité de la courbure^ en ud point quelconque^ au moment des forces autour de ce point.

Il les classe en neuf espèces j dont les six premières sont relatives aux cas où les forces ont une résultante qui coupe la courbe, et se distinguent par les grandeurs plus ou moins considérables de Tangle de cette résultante et de la tangente au même point, qui ne peut être qu'un point d'inflexion, même lorsqu'il se trouve à une extrémité libre, puisque le moment et par conséquent la courbure y est zéro.

La courbe élastique est de première espèce, quand cet angle de la résultante et de la tangente est infiniment petit;

De deuxième, quand il est fini et aigu ;

De troisième, quand il est droit ^

De quatrième, quand il est obtus, mais moindre que 43i''4i';

De cinquième, quand il a tout juste cette grandeur, pour laquelle la courbe prolongée se replie sur elle-même, et a un nœud au point où la résultante la coupe ;

De sixième, quand l'angle est plus grand, sans excéder deux droits.

La septième et la huitième espèce, qui sont sans point d'inflexion, ne peuvent être produites que par des forces dont la résultante agit par l'intermédiaire d'un bras de levier, sur un point hors de la lame primitivement droite qui a été fléchie.

Et la neuvième espèce, fort remarquable, est relative au cas où les forces, situées toujours dans un plan, n'ont pas de résultante, c'est-à-dire où elles se réduisent à un couple. Euler montre que la courbe est alors un cercle.

Dans le cas de la quatrième espèce, si l'angle de la tangente et de la force est supposé très-peu au-dessus de Tangle droit, on peut, en mettant approximativement l'élément de l'abscisse pour rélément de l'arc, intégrer l'équation en termes entiers, ce qui donne simplement une courbe parabolique du troisième degré. C'est le cas très-connu d'une pièce horizontale peu flexible encastrée à un bout et sollicitée à l'autre par un poids, et c'est de la réunion de deux des courbes de cette quatrième espèce^ se

CliV RÊSISTANCB DBS SOLIDES.

raccordant au point de suspension du poids^ que se compose la ligne affectée par Taxe d'une pièce posée sur deux appuis et sollicitée transversalement dans l'intervalle; et alors les véritables points d'application des forces, ou les points pour lesquels leur moment est nul^ sont aux extrémités^ vu les réactions des appuis. Euler remarque le premier qu'en observant la petite flèche de flexion on peut déterminer par l'expérience la constante qui I mesure l'élasticité de la lame; mais il se trompe en regardant cette constante conmie proportionnelle au carré et non au cube de l'épaisseur.

La première espèce n'est pas moins importante. Elle se distingue par une singularité qui a étonné les géomètres, et donné lieu à de nombreuses discussions. Elle est relative au cas où la force fait un angle excessivement aigu avec la tangeùte. C'est le cas des pièces dites sollicitées debout, c'est-à-dire pressées dans une direction sensiblement pai*allèle à leur longueur. Euler, substituant encore approximativement à l'élément de Tare celui d'une coordonnée, qui est alors prise parallèle à la force, intègre complètement Téquation par sinus sous forme finie. Il en déduit une grandeur que la force est obligée d'atteindre pour pouvoir opérer un commencement de flexion, et qui, une fois . jsurpassée, sufiit par cela seul pour que la force détermine la rupture, car \sl courbure acquise lui donne un bras de levier sans cesse croissant.

C'est ce qu'il a appelé la force des colonnes. Le coefficient d'élasticité y entre seul, et non le coeflicient de cohésion, parce que quelque grand que soit celui-ci, la pièce ne pourra résister à une flexion qui, une fois commencée, devient rapidement et indéfiniment croissante (^).

(<) Duleau ei M. Bernard (mjoard'hui corretpoDdaat de rintUtut) saDt twlr pa consulter, à Cubzac, le mémoire d'Ëuler, ont aperçu ce principe d'aoe autre manière, à tavoir en supposant approximativement que la courbure de la pièce, d'une losf ueur a, pressée debout par un poids Q, prend la même courbure que si, étant appuyée à ses extrémités, elle était sollteftéa iransTersalement au milieu par une force p résulunte des deux forces Q supposées agir suiTant ses tangentes extrêmes. Alors, en effet, f désignant la flèche de courbure, rindioaiioa de ces dent iangentet sur ta ligne d^

HlSTOfilQUE. CXV

A la fin de cet admirable mémoire^ Euler étend son analyse: 1* A une lame d'élasticité ou de grosseur inégale; T A une lame égale^ mais naturellement courbe, et il prouve qu'on doit égaler le moment des forces au produit de la con*

stante par la différence des mverses des rayons de cour-

9 Po bure ancien et nouveau p« et p;

d^ A une lame sollicitée à la fois par des forces agissant en des points particuliers et par d'autres distribuées sur toute une partie de la pièce, telles que celles qui résultent de son poids propre;

4* Enfin aux oscillations de la lame abandonnée à elle-même après avoir été fléchie (Voy. d-après, n* LUI).

Euler revient, dans un mémoire de 1757 (*), sur ce qu'il a dit de la force des colonnes, et justifie l'assertion en apparence singulière qu'aucune flexion ne sera prise par un ressort droit pressé longitudinalement, tant que la pression n'excédera pas une certaine intensité dépendant de son élasticité, et qu'il trouve aussi inverse du carré de sa longueur, conune l'avait annoncé Musschenbroeck en 1729 (*).

XIV. Salie. IjSigrsiWkge. Ealer. (Pièces debout. Parado^ne apparent.) — Lagrange confirme ce résultat d'Euler dans un premier mémoire ('), où il exprime d'une manière simple les intégrales premières de l'équation de l'élastique au moyen des deux variables s (l-arc) et ^ (l'angle que la

8r p Bf

Jooclion des deux extrémités serait ~(d« 87 ci-aprés); d'où - =S. — . Or (même

n' 87, p. 76), on a f =s-p ( ^« ) z — » «l'où Q=— , expressioo différant peu

x'EI El

deeelle —^-= 0,87 -^ d'Euler» MM. Bernard et Daleaa conelHftient, comme Ealer, or a*

qu'une charge produisant la plus petite flèche était capable d'en produire une

grande, et de rompre, quoique proportionnelle à la seule élasticité et indépen*

danle de la cohésion.

(1) Académie de Berlin, 4757.

0 Introductio ad cohareniiam eorporum firmorum^ 47S9.

f) Sur la force du ressorts pUé$, Académie de Berlio, 4769.

CXVJ BÉSISTANXE DES SOLIDES.

tangente fait avec une droite fixe), en faisant voir que la quadrature exacte de l'expression trouvée pour l'ordonnée dépend de la rectification des sections coniques, ou de ce qu'on appelle les fonctions elliptiques aujourd'hui. Mais il remarque qu'on peut intégrer par logarithmes ou par exponentielles réelles, dans le cas de la sixième espèce, quand la force, qui agit par traction, est dirigée presque dans le prolongement de la tangente, ou fait avec celle-ci un angle très-peu différent de deux angles droits.

A un mémoire sur la figure des colonnes (^) publié peu après dans un autre recueil, Lagrange élucide complètement la ques- ' tion de la courbe de première espèce, et fait disparaître toute difiiculté analytique sur le résultat relatif à ce cas d'une pièce sollicitée debout, en donnant, au moyen d'une série, une intégrale exacte de l'équation différentielle sans substituer l'abscisse . à l'arc ; d'où une relation exacte aussi entre la flèche de courbure, la longueur développée de la pièce, et la force qui la fait fléchir. Elle montre clairement que pour toute force au-dessous de la grandeur trouvée par Euler, la flèche serait imaginaire.

C'est dans ce môme Mémoire de Lagrange que se trouva ' faite, pour la première fois, la remarque que la pièce ainsi sollicitée est susceptible de prendre une courbure à deux, trois quatre... ventres, avec inflexions intermédiaires, ce qui a lieu en effet si quelques points sont empêchés de s'écarter latéralement, mais moyennant qu'on donne à la force 4, 9, 46... fois plus d'intensité que pour la courbure à un seul ventre sans inflexion.

L'analyse de Lagrange fournit la valeur de la flèche de courbure, ce que ne peut pas faire l'analyse d'Euler. Elle donne aussi, pour la longueur de l'arc fléchi, une expression exacte et différant quatre fois plus de sa corde que celle que divers auteurs ont cru pouvoir déduire d'un raisonnement qui les fait aussi arriver à une valeur de la flèche moitié moindre que la vé; ritable (*).

(*) Acidèn:ie de Turin, volume do 4770-4773.

(*)Sout co rapport, les rormulei du.n'' 385 de TéditioD de 48.^ de NaTier

HISTORIQUE. CXVij

Nous ne parlons pas de la fin de ce même Mémoii*e, oii Lagrange conclut d'un calcul incomplet qu'un renflement non-seulement des colonnes formées d'assises en pierre^ mais même de tout soutien ou poteau d'une seule pièce, n'augipente pas la résistance; ce qui n'est admis ni dans la théorie qui a prévalu, comme on verra au n<» 506 (p. 3^5 de l'édition de 1833), ni dans la pratique, comme on peut voir par la forme des bielles en fonte de machines à vapeur.

Euler revient encore sur cet intéressant sujet en 4778, dans trois Mémoires (^), où il examine ce qui arrive quand la colonne n^est sollicitée que par son propre poids. Le calcul le conduit à cette conclusion : que quelque haute, pesante et faible de résistance élastique que soit la colonne , elle ne prendra aucune flexion ; tandis qu'elle fléchirait dans sa partie inférieure, si la partie supérieure y était simplement posée. Cet insigne paradoxe s'explique en remarquant qu'alors, à la face du contact des deux parties, l'axe de la pièce pourrait faire un angle avec, la verticale, tandis que cela est impossible si la partie supérieure est liée invariablement à la partie inférieure.

n suffit d'ailleurs que la plus petite force horizontale agisse en même temps, ou bien que la résultante des poids des parties supérieures s'écarte tant soit peu de la ligne centrale, pour déterminer la flexion.

XV. Sllii€^ Marier. Ses solatioiis de problèmes implicites. FlexLion des pièces courbes. — On doit à Navier d'avoir remarqué que l'équation différentielle de la courbe élastique peut, pour toutes les espèces d'Euler (hors la première et la neuvième qui n'en ont pas besoin% être intégrée facilement sous forme finie, même quand il y a une charge

•ont à modifier. Les considèraiions présentées à ce sujet aux n"** 89-91 de notre Cours lithographie de 4837-1838 ont été données depuis, avec plus de développement, par M. Ernest Lamarle (Flexion du bois, S* partie) et par M. Bresse (Cours de méc. appl., 4869, n« 89, p. SOS).

(>) Académie de Saint-Pétersbourg. Deierminatio onerum qua columnœ gettare taUnt. — Evamen insignis paradoxi in théorie columnarumoccurrentis. — De allitùdine eolnmnarum ntbproprûf pondère ctnrruenUuifn,

CXViiJ RÉSISTANCE DES SOLIDES.

répartie sur la longueur totale ou partielle, même quand il ^ avait une petite courbure préalable, dans tons les cas m la flexion est très-petite; et, cela, sans négliger l'influence de cette flexion sur les bras de levier définitifs des forces, ou en conservant à l'équation sa forme implicite. On y arrive avec lui en dirigeant l'axe d'une des deux coordonnées, non plus suivant la résultante des forces^ comme faisait généralement Euler, mais suivant une des tangentes à in courbe^ de manière à pouvoir remplacer l'élément de l'arc par l'élément correspondant de cette coordonnée (^). L'ordonnée obtenue s'exprime tantôt par des sinus circulaires ou ordinaires, tantôt par des exponentielles réelles ou des sinus hyperboliques. Cest dans une habile application de cette remarque aux divers problèmes qui intéressent la pratique que se trouve surtout le mérite de son beau Mémoire inédit du i9 novembre 1819 sur la flexion des lames éla^tiquesn approuvé par l'Académie le 4 septembre 18^) (*). Les diverses solutions qui s'y trouvaient comprises ont été données dès 18i0, avec d'autres, dans son Cours. La solution relative à une pièce naturellement droite, mais

(1) En eflTet, si c'est l'axe des x, d» ponranl être remplacé fur i{jb, ou - par

— - , on a une équaiioD de la forme

la fonction f {x) dépendant à la fois de la manière dont la pièce est chargéo iransTenalemént, et de sa petite eourbnro primitire si elle en afalt âne. Gello équation a pour intégrale

2OTy=e»* \e--«* f{x) «te— ^-«a; l emxf[x)dx, ou fiy sssiniMT y cos nx f{x) dx — cotrix V %\nnx f{x) dx.

Si la fonction f(x) dont dépend la courbure primitive est entière, les deui intégrales s'obtiennent sous forme 6nie. Ces deux expressions développées donnent toutes celles de Navier. M. d'Andréa, traducteur de Navier, a considéré des cas oik la pièce aurait aussi une charge continue longitudinale.

(*) Annales de chimie eC de physique, t. XV.

HISTORIQUE. dix

déjà fléchie^ et posée, la convexité en haut, entre deux appuis ou enclaves, et chargée au milieu, est d'un genre neuf et extrément remarquable. Les autres, relatives à une pièce droite non fléchie préalablement, et sollicitée à la fois dans le sens de sa longueur et dans un sens transversal, comme les tirants, entraits, arbalétriers, soupoutres de ponts et entretoises de portes d'écluses, etc., se ramènent aux deux cas (n** 4H, 415 de l'édition de 1833, flg. 60, 61), où on la suppose* encastrée à un bout et sollicitée obliquement à l'autre, et à ceux (n'^'SeQ^ 592, fig. 130), où l'on tient compte, en outre, d'une charge transversale répartie sur toute la longueur. Ces solutions sont très-utiles, bien qu^elles aient fort peu passé dans les applications jusqu'ici (^). On doit remarquer aussi les solutions (n*^ 406, 409, fig. 58, 59), relatives à une pièce sollicitée longitudinalement, mais à une certaine distance de son axe; la première, en supposant cette dis^tance petite, fait cesser, dans un sens pratique, pour les pièces chargées debout^ les difficultés de la solution abstraite d'Ëuler et môme de Lagrange, car elle tient compte des déviations inévitablement dues à ce que ces pièces ont une certaine épaisseur.

Une pièce qu'on fléchit peut être naturellement courbe. Euler a montré (*) que si sa première forme est circulaire, on peut ^ ramener aux quadratures la détermination de sa forme nouvelle tout comme quand elle est en rectiligne, quelle que soit Tampli-

{}) Toutes les formules qu'il donne à ce sujet, malgré leur apparente compiicaiioA, devieudraienl usuelles au moyen de petites tables numériques donnant, les unes, les cosinus naturels tant circulaires qu'hyperboliques de divers nombres depuis zéro; les autres, les rapports des tangentes tant circulaires qu*byperboliques à leurs arcs. Lorsque, d'après la nature des données, ces cosinus, ou ces rapports, se trouveraient peudifTérents deTunilé, ce serait u^ signe que l|/èquation de résistance permanente peut être posée saas ayoir égard à la fleiion inconnue, oo sans tenir compte de l'augmentation qu'elle apportera aui bras de levier des forées.

S'il nous est donné d'anooier avec quelque étendue la 4* section de ses leçons, BOBS nous proposons de comparer les solutions de Navier avec celles que rournirali l'intégration exacte au moyen des fonctions elliptiques (en prenant, avec Euler, la direction de la forée pour un des deux axes coordonnés) et de donner des UMes complémentaires si la différence est aeAible.

(f) MéflM mémoire De curvi$ eUuticUf art. 49.

tude de la flexion qu'on lui fait subir ('). fl en est autrement si la forme primitive n'est pas celle d'un arc de cercle, car le rayon de courbure variable, dont l'inverse multiplié par une constante est à ajouter au second membre de l'équation différentielle, n'est généralement donné qu'en fonction des coordonnées primitives de .chaque point, et non pas en fonction de ses coordonnées ultérieures ou après flexion ('). - Mais on doit à Navier d'avoir aperçu qu'on ramène encore aux quadratures le problème de la flexion plane pour une forme primitive de courbe à simple courbure absolument quelconque si la flexion opérée est irès-petite, en sorte qu'on puisse prendre approximativement, pour bras de levier définitifs des forces quelconques qui font fléchir^ c^ux qu'elles possédaient au commencement de la flexion.

Il obtient même les intégrales ou les quadratures très-simplement en fonction entière de l'abscisâe quand la courbure est assez peu considérable pour que la dérivée de l'arc puisse être développée suivant les puissances entières de la dérivée de Tordonnéet si la courbe primitive peut être assimilée à une parabole du second degré. Et il en serait de même en l'assimilant à une parabole d'un degré quelconque ayant une équation à un ou plusieurs termes, ce qui est toujours possible approximativement.

Et quand la forme primitive est un arc de cercle d'autant de degrés qu'on veut, Navier a reconnu, en 1831 (*), que l'in-

El (1) Eo effet, on n'iqu'à ajouter la cooiUnte — au secoDd membre de réquatUm

^ de I

— == x' yx* -f Y* + C de la 6* note da n* XII ci-destus ; cela n empêche pu

la IrantforroaUon de cette équation et la suite dn calcul.

(*) Cependant si, k partir d'un point d'encastrement, on divise la pièce ea plusieurs portions finies assez petites pour que dans chacune le rajon primitif puisse être regardé comme consunt, on peut de proche en proche, et en eipriroant des conditions de raccordement^ obtenir approximativement la forme douvelle, quelque différente qu'elle soit de l'ancienne. [NoUi sur les flexions conndérabtêi des verges élastiques^ au Journal de Liouville, 4844.)

(*) T. I** des Ann. des P. et Ch*4834, p. 438, et n«45S, p. 999 de TéditiM de 4833 des prétentei leçons. Voir aussi le n<*607, où il trouve que le milieu de lare n*eai pas le point où une charge eieroe la plus forte action.

HJSTORIQUE. CXXJ

téi^tion se faisait exactement et s'étendait même a une demicirconférence^ ce qui permet de calculer la flexion, les poussées et la résistance des grands systèmes de charpente cintrés.

XVI. Flexion obliqae oa déiriée. — Avant de passer à la flexion à double courbure^ arrêtons-nous à considérer le cas fréquent où la flexion d'une pièce droite est déviée^ c'est-àdire où elle s'opère dans un plan plus ou moins oblique à celui de sollicitatùm, qui est le plan du moment ou du couple résultant des forces faisant fléchir.

M. Persy, professeur à l'École d'artillerie et du génie de Metz, a très-bien remarqué^ en 483^ (*)^ que l'équation unique de moments^ posée comme à l'ordinaire autour de la ligne des fibres invariables^ ne suffisait pas pour assurer l'équilibre entre les forces extérieures et les forces intérieures de tension ou pression des fibres à travers une section, à moins que cette ligne ne soii un des deux axes principaux d'inertie de celle-ci, passant par son centre de gravité.

Cette condition n'est pas toujours remplie^ car elle exigerait que le plan du moment résultant des forces extérieures fût toujours perpendiculaire à un de ces deux axes de plus petit et de pins grand moment d'inertie des sections. Nous avons montré en conséquence qu'il fallait poser deux équations de moments des forces (*), et que ce qu'il y avait de plus simple pour obtenir la flexion, était de les prendre autour des deux axes d'inertie. Quand aucun de ces deux moments n'est nul, la flexion est déviée, ou s'exécute dans un autre plan que celui de sollicitation à fléchir. Comme elle est résultante^ en quelque sorte, de deux flexions qui auraient lieu dans des plans perpendiculaires entre eux et aux axes principaux, les équations de résistance sont très-faciles à poser. Elles donnent des résultats tout différents de ceux auxquels on est conduit soit pour la flexion, soit pour la rupture, quand on ne tient pas compte de cette déviation^ qui s'explique aisément, du reste, en considé-

(1) cours lithographie à Mei2, n** 49, 43, p. 24.

(*) CompUt renéui, 30 octobre et 6 DOvembre 4843, I. XVII, p. 946, 949, 4034, • ei Mémoirt mr la tarsiom do IS53-4854 aax Savanu étrangert, t. XIV, art. 4S.

CXXij RÉSISTANCE DES SOLIDES.

rantque le plan de flexion effective tend toujours à se rapprocher du plan de plus farile flexion de toute pièce inégalement f1exil)l6 en divers sens, c'est-à-dire de toute pièce dont la section n'est pas isotrope (*), ou n'a pas ses moments d'inertie tous égaux autour de droites tracées sur son plan par son centre de gravité.

Et si la pièce est primitivement courbe, ou bien si les sections d'une pièce droite n'ont pas toutes leurs axes principaux dans les deux mêmes plans ))assant par son axe, la pièce ainsi sollicitée est toujours tordue en même temps que fléchie j eX elle prend une double courbure (Voyez n'* XX, XXÏ).

XVIL Flexions accompai^nécs d^e^tenuiioi» ou compressions lonn^itudinalcs. liimites de ces dernières, déduites par M. Poneelet des limites des extensions. — Les pièces droites ou courbes sollicitées à fléchir éprouvent aussi, en général, sous l'action des composantes longitudinales des forces extérieures, une extension ou une contraction qui affecte leur axe ou fibre moyenne, et qui s'additionne à celles que la flexion donne aux autres fibres. Navier, après en avoir très-bien fait la remarque, se contente de calculer Taccroissement total de l'axe, sans déterminer la part des déplacements individuels de ses points dans les sens des coordonnées, due à cette deuxième cause de déformation, ce qui est nécessaire pourtant afin d'obtenir la forme nouvelle prise par les pièces, et de pouvoir calculer complètement, pour celles qui sont naturellement courbes, les poussées ou les réactions totales des appuis ou arrêts de leurs extrémités.

Nous avons cherché, en 1837-1838, à combler cette lacune, ou à opérer, comme on dit aujourd'hui, cette correction aux

(*) On pourrait, si l'on yeut un mot «pècial, appeler itottrophes (orsesco, tourner), les sections qui tournées de toutes les manières donnent le même moment d'inertie. Mais nous ne voyons pas de danger de conrusion à leur donner TappellalioB déjà connue isotrope^ qui a la même signification, bien queCauchy Tait créée pour distinguer une contexiure particulière de corpi élastique cl boo une classe de formes de sections.

HISTORIQUE. CXXiij

résultats obtenus en ne tenant compte que des flexions qui fournissent généralement la partie principale ou la plus considérable. Nous l'avons fait (^) au moyen du principe, que nous démontrions, de superposition ou d'addition de petits effets^ ce qui nous a fourni une expression complète de la poussée horizontale d'un arc soit de parabole, soit de cercle, supposé chargé au milieu seulement; en tenant compte aussi d'un autre eifot^ du même ordre de grandeur que celui des contractions de Taxe courbe, savoir celui des glissements (n* suivant)^ dont nos re« cherches ultérieures modifient l'évaluation sans la diminuer ('}. Et nous indiquions même comment il faut compléter la solution quand les sections extrêmes de Tare, au lieu de tourner librement, sont astreintes à conserver une direction déterminée, comme dans le cas d'encastrement^ ce qui fait passer la résultante des réactions ailleurs qu'au point de la fibre moyenne répondant à chaque naissance,

IM. Bresse a étendu l'évaluation corrigée des poussées aux cas où une charge isolée est appliquée ailleurs qu'au milieu (ce qui donne le moyen de calculer par une addition, comme il le remarque, les résultats d'un nombre quelconque de charges semblables, placées en divers points), et, aussi au cas d'une charge uniformément répartie sur toute la longueur soit de Tare, soit de sa projection horizontale; et il a donné des tables numériques, fort étendues, de calculs tout faits des parties principales dues aux seules flexions, et des coefficients de correction, au-dessous de 4, par lesquels il faut les multiplier pour tenir compte des contractions de la fibre moyenne, car il suppose reflet des glissements négligeable (').

(1) Coorftlitbographië, a«* 44, 79, 80, 84.

(*) Comme on peut voir par les raleart def loclinaitons prises par la fibre ■ojeoneaur les lections, aai ($$ 1 et 3 de la note do n<* 463, p. 94), et 46, 46 do la DOle du o* 466 ci-après, p. 389 à 440.

(*) Les utiles tables et formules de M. Bresse, ingénieusement dressée et disposées, sont fréquemment consultées par les ingénieurs qui ont à projeter dea ponts on viaduc^ en fonte ou en for; d'autant plus qu'elles donneni, outre les ponasoes ou réactions eitrémes, le moyen d'évaluer sans calcul, au moins dans le ca« d'une charge répartie, la pression la plus considérable qu'éprooT|pt les flbre«, et de poser par conséquent iiqmédiateinent réquation de réaisti^ce per*

CXXiV RÉSISTANCE DES SOUDES.

Au reste, Navîer, bien que n'évaluant pas Tefifet des contractions de la fibre moyenne pour modifier plus ou moins la grandeur des poussées, y a égard, ainsi qu'à ses dilatations possibles» lorsqu'il calcule la résistance ou qu'il établit les conditions de stabilité de la cohésion^ en maintenant la plus grande extension ou contraction dans de prudentes limites.

Ces deux limites sont difSciles à déterminer (voyez plus loin), celle surtout des compressions qui tendent à produire l'écrasement.

L'écrasement n'est cependant au total qu'une disjonction des parties dans un sens latéral ou perpendiculaire à la force qui comprime. Ainsi , celui du bois pressé dans le sens de ses fibres s'opère par leur séparation les unes des autres ; celui d'une rondelle de métal, par sa fente tout autour qui lui donne la forme d'une rosette ; celui d'un petit bloc de pierre, par la division latérale en espèces d'aiguilles longitudinales avant son broiement \ en poussière. Aussi M. Poncelet a-t-il ramené théoriquement, dans son cours de 1840 à la Faculté de Paris, le danger des compressions longitudinales à celui des dilatations transver-

roaneote. La première idée s'ea Iroiire i «on mémoire de 4S48 (Étwlei ihéoriquet sur la résiêtance des arcs, Ânn^ dos P. et Ch,, 4" seraeslre, p. 450). Mais à mw ouvrage de 4854 [Recherches analytiques sur la fltxion et la résitance des pièeet courbe», iD-4«), el dans son Cours (I'* partie) publié en 4859. lia ajouté tes corrections numériques et il a donné à ses tables leur dernière Terme. M. Brene tient compte aussi de deux éléments oouveaux, les elTeis des chaDgemanlt de température, et ceux du calage qu'on opère en chassant des coins sous les appait des pièces ou à leurs jonctions. Il ramène, d'une manière simple, les cas de bodsymétrie à ceux où il y a symétrie dans l'action des forces sur un are solide; et il peint aux yeux^ par des courbes flguratives, la suite des grandeurs, solides moments de flexion aux divers points, soit des pressions supportées par la fibre moyenne et par les fibres d'tn/mdof et û*extrados^ qui en sont les plus éloignées, M. Bresse suppose que les réactions des appuis s'exercent au centre des sections extrêmes, ou sur la fibre moyenne de la pièce. Mais M. DarccI, dans ut Mémoire sur divers problèmes relatifs aux arcs et fermes métalliques surbaiêiés {Ann, des P. et Ch., 486S, S* sem. p. 60) a fait servir le même mode de calcul, pour un arc paraboliqne peu courbe, au cas des naissances planes, où ces sec* lions ne peuvent librement tourner, en sorte que la résultante dël réactions passe ailleurs qu'en ce point; et il a considéré aussi, ainsi que M. Albaret {CalctU des ares métalliques, Ann, des P. et Ch, 4864, 4 «^ sem., p. 90, et 4862, tK* sem., p, SOof^ cas oik la section de la pièce courbe n'est pas constante.