HISTORIQUE. CCIV

parlé aux d<>* XI et XL1X. On savait^ par la consîdératioD des quantités de mouvement^ déterminer jusqu'à un certain point les effets du choc de deux corps pour modifier les vitesses de leurs centres de gravité ^ et mettre en équilibre plusieurs chocs ou plusieurs forces dites instantanées^ en tant que capables d'imprimer séparément à un même corps différentes vitesses. Mais le problème si souvent posé de la comparaison du choc avec la pression ne pouvait donner lieu, quand il s'agissait surtout d'effets de rupture, qu'à des raisonnements et à des conjectures^ dont on ne serait jamais sortie même en s'aidant d'expériences, si Ton avait persisté à envisager les corps abstractivement comme dans la statique élémentaire. C'est dans l'application de la dynamique^ et« aussi, de la théorie de rélasticité, à la détermination de ce qui se passe à Tintérieur des corps, que ce fameux problème peut trouver sa solution, variable suivant les cas divers* L'effet du choc d'un corps très-résistant^ tel qu'une masse sphé^ nque de métal^ contre une verge ou contre un système de verges élastiques, est facile à évaluer quand on néglige la masse de ce système ou de cette pièce^ et par conséquent l'inertie qui retarde le déplacement de ses diverses parties. Alors le système peut être regardé comme prenant constamment et instantanément la forme que lui imprimeraient des actions purement statiques, d'intensités croissantes. 11 réagit avec des intensités égales contre la masse qui l'a heurté, et on peut, si la déformation n'a qu'une faible amplitude, regarder les actions et réactions comme proportionnelles aux déplacements subcessifs du point qui a reçu l'impulsion, déplacements qui seront par exemple les allongements ou accourcissements s'il s'agit d'une pièce heurtée longitudinalement, et les flèches de flexion si elle est heurtée transversalement. Le mouvement s'arrête quand le travail négatif total de ces réactions devient égal à la puissance vive (demi- force vive) initiale de la masse heurtante plus le travail dû à son poids pendant qu'elle agit sur la pièce ou le système. Il en résulte immédiatement que si l'impulsion a été horizontale/de sorte que le travail du poids soit nul , le déplacement dynamique maximum du point heurté est égal au produit de la vitesse d'impulsion et de la racine carrée du quotient, par la pesanteur g = 9»,809 , du déplacement purement statique

qui serait produit par une force égale au poids de la masse heurtante ; théorème depuis longtemps connu (au moins pour le cas d*un simple fil élastique fixé à un bout et portant à l'autre une masse oscillant dans sa direction ]. Et si l'impulsion a lieu verticalement , le déplacement maximum est égal à plus ou moins le déplacement statique ( selon que Timpnlsion a lieu du haut en bas ou de bas en haut ) plus la racine carrée de la somme des carrés de celui-ci et du déplacement dynamique qui serait produit par le choc horizontal ; résultat trouvé par M. Poncelet en considérant seulement le choc longitudinal d'une barre verticale Q) , mais qui s'étend à une barre horizontale et même à un système quelconque, et d'où Ton peut déduire comme cas particulier , lorsque le^ vitesse d'impulsion est nulle , ou qu'un poids est simplement posé, par exemple sur une pièce horizontale soutenue aux deux bouts , ce théorème de Young (') , que la flèche démise en charge est double de la flèche d'équilibre (*). On n'a pas besoin d'ajouter qu'une fois la flèche, ou rallongement, ou plus généralement le petit déplacement, arrivé à son maximum, le système exécute et fait faire au œrps heurtant

{}) Introduction à U Uéctnique industrielle, 4839^ d« 348, p. 399 et 401.

(») A course of Leeturet on natural PkilotopKy and mechanical JrU, 4807.

{*] Soient g^néraleneni Q et V le poids et Is vitesse du corps qui vient lieorter le système dsns une direction que nous supposerons fsire un sngle a avec la verticale, f le déplacement statique qui serait dû à une force Q agissant sur le système dans cette direction, enfin z le déplacement effectir à un i ns Un t quelconque, et F sa plus grande valeur, qui a lieu quand la vitesse ou la force Ti?e est annulée. La réaction,, proportionnelle au déplacement z supposé rester Irèt-

petil, est Q - puisqu'elle doit, pour l'équilibre sutique.ètre égileâQ quand r=^.

Q V« f F Qz QF«

Onadonc--r-f-Qcow.F=\ ^ciz=^, d'où 9 ' jo f V

V=f coaa + V (/"cosa)* + V« ' ,

ce qui donne bien : 4** quand co8a=0 (dioc horiionttl), F=:V V -^ , déplaoo-

ment purement dynamique, que nous pouvons appeler F| ; S* quand cosa =: dû 1

(choc vertical), F=dt^4- ^/'-f-l'i', «pression de M. Poneelet; 3» quand V=0, cpsa=4 (simple mise en charge), F=:t/, résulut trouvé par Toung.

lilSTOUlQUE. CCXViJ

qui y est joint, des oscillations isochrones, dont Téquation se détermine comme pour celles du pendule simple (^).

Pour assurer la stabilité de la cohésion, il faut calculer ce que M. Ponceleta appelé la résistance vive^ et Young la résiltence de la pièce ou du système^ à savoir la puissance vive que doit pos* séder le corps heurtant^ ou « le produit de son poids par la hauteur due à sa vitesse d pour être capable de produire la rupture, ou, plutôt, de faire éprouver à la partie la plus éten-

due du système rallongement i'z=z ^ regardé commç ne pouvant être dépassé sans danger (*); ou, ce qui revient au même, il faut calculer le travail dynamique total des réactions élastiques opposées jusque-là par la pièce ou le système heurté (•).

On pourrait déduire l'expression de cette puissance vive ou de ce travail résistant, de celle que nous venons de donner du déplacement maximum du point qui reçoit le choc. Alais on peut, plus simplement, avec Young, M. Poncelet et M. Glapeyron, la calculer d'une manière directe et prouver avec facilité que la résiltence est proportionnelle au volume d'une pièce heurtée, et par conséquent indépendante du rapport mutuel de ses trois dimensions; théorème donné par Young pour le choc transversal (*] et que Tredgold a.facilement étendu au choc longitudinal, en montrant aussi que cette même quantité est proportionnelle

R« à Rot', ou à ce quotient -^ qu'il a appelé module de résilience;

en sorte que la résistance au choc est comme le carré de la

cohésion permanente Ro de la matière, et comme sa flexibilité^

qui est l'inverse de la roideur ou du module d'élasticité E.

Q d^z Qz

(^) A?ec les mémet notatlont on a eo effet — ~- = Q cosa doQU'inlégralo

g dP f

eft

z =^co«a4-VA*co»«a+-V«.flii(^lV -Y

O Lechtrei on natural Phitotophyy ?ol. I, p. 443.

(*) M. Poncelel. lolroducUon à la Mécanique Industrielle, n" S47, p. S94.

(^) Leciurtt on natural Philaoophy^ toI, II, sect. IX, n* 337.

CCXViij RÉSISTANCE DBS SOLIDES.

. On peut même prouver facilement^ pour un système d'un nombre quelconque de pièces, cette proportionnalité de la ré-

sistance vive au quotient -^(*]^ et aussi sa proportionnalité au

volume totale si les pièces composantes résistent toutes de la même manière^ et si elles ont des dimensions relatives telles qu'elles ne courent pas plus de danger de rompre Tune que l'autre. On n*a pour cela qu'à considérer et calculer, avec M. Clapeyron ('), afin de l'égaler ensuite à la puissance vive du

(^) Car ti f est le déplacement du point heurté, et si P est la râleur finale de la réaction dont l'intensité, nulle en commençant, est supposée restée dans les

limites de sa proportionnalité à ?, le traiail résIsUnt total est - Vf. Or P est proportionnel à la tension finale Ro des parties les plus tendues, et f Test à leurs dilatations finales-^. Donc le traiail résistant tolal^ ou la puissance rire consommée^ E

est bien en raison directe de ^^ .

Si l'on veut évaluer le travail ou la résistance vive Jusqu'à la rupture dite

mimidiate^ ou même seulement Jusqu'à un étatoâ les réactions p ont cessé d'être

proportionnelles aux allongements ou aux déplacements, il faut, comme il a été

fait pour la résistance vive de rupture des barres sollicitées longitudinalemeot

dans l'Introduction à la Mécanique industrielle (n" 296, p. 358), calculer Tinté-

gralt V pdzy où l'on suppose p connu expérimentalement en fonction de z par

Jo une courbe ou autrement. Itf. Poncelet a donné un grand nombre de valeurs de cette résistance vive en calculant l'intégrale par quadrature graphique, d'après la valeur de la traction p et de l'allongement z de diverses pièces de fer jusqu^à rupture, et en a déduit jles conséquences remarquables.

Si l'on admet une expression empirique telle que celle qui est employée à la p. 476 ci-après pour calculer la résistance statique à la rupture immédiate,

c^esl-à-dire si Ton prend p=:p|4— (4 — ) Lon trouve \ pdz =

Pf, ou le produit d'un coefficient numérique par le poids qui Mt

iw -j- 4 w» -f- 4

rompre statiquemcnt, et par l'allongement ou la fiècbeà l'instant de la rupture.

Ce coefficient a pour limites 4/2 (pour m=: 4), et 4 (pour m grand]. La quan-

V pdz est à égaler à la demi-force vive du corps heurtant, réduite à

q' V« --■ — , comme montre M. Poncelet, s'il frappe sur un corps Q' d'un poids

nouble, lié au système heurté dont on suppose toujours que r inertie peut être négligée. (V. n»* suivants.) \f) Septième leçon de M. Lamé, de 4852.

tité

BI5T0RIQUB. CCXU

corps heurtant, le travail total des actions intérieuresy qui se réduisent par exemple aux résistances élastiques de toutes les fibres longitudinales des pièces si elles ne sont qu'étendues, comprimées ou fléchies ; et Ton peut môme déterminer ainsi la fraction numérique dont il faut affecter le produit du volume du

système par le module-^ pour avoir la résistance vive. Cette

fraction est ~ si les pièces sont prismatiques et toutes étendues ou z

toutes comprimées; 7- si elles sont encore prismatiques et à

section rectangulaire, et toutes fléchies; enfin 1/6 si ce sont des '

solides de largeur constante et d'épaisseur variant de manière à

remplir la condition d'égale résistance (*). Mais le môme principe

(') Car, 4® diDS le cas où loulat lei pièeei lont élenduei» comme on suppoae

que e^esl finalement dani une proportion -^ , iH et cd sont la longueur et la

section de rune d'elles, R^co est sa tension finale, ou -- R«ci> est la moyenne des ten-

Ra

sions successiTes, qui ont comnnencé par xéro; et comme — l est rallongement ou

à |> à Dot

Tespaee parcouru dans la direction de la force, on a~Ro(o. — 2=- — tùl pour

4 R * le trarail, qui est, comme on Toit^ â ^® ~~~ multiplié par le Yolume.

S* Si toutes les pièces sont des prismes rectangles fléchis par des forces parallèles i l'épaisseur, les fibres éprouvent, i Irafors une même section, des tensions variant uniformément de 0 à Il«, et des dilatations variant de même de

0 à -^ dans le sens de Tèpaisseur. Le travail total, vu qu'on a en général

ça /-xX^ \

V f - j (fx =-a, ne sera, pour chaque élément de la longueur, que le 1/3 de

ce qu'il serait s'il y avait tension et dilatation uniforme. Pareille réduction 4 4/3

devra avoir lieu en raison des variations uniformes des tensions et des dilala-

4 4 4 4 tlons dans le sens de la longueur. \\ en résulte bien r • 7 • r = tt <Iu produit de

— par le volume.

3** Si les pièces sont d'égale résistance, la plus grande tension est la même pour toutes les sections ; mais comme les aires des sections sont comme les puis-

ne sera pas applicable tA quelques pièces d'un système sont

étendues, d'autres comprimées, ou d'autres fléchies, etc.

Young se livre, à celte occasion, à diverses considérations

pratiques sur les trois qualités à rechercher dans les pièces, la

roideur {stiffness) qui dépend du coefficient E; la résistance

(strength) du coefficient R ou R.; enfin la résilience, qu'on

R * vientde voir mesurée par -^. Pour un plafond la roideur est

surtout désirable, pour un navire la résistance, pour une chaîne la résilience, pour un ressort de voiture la résilience avec h flexibilité, c'est-à-dire peu de roideur.

En étendant^ comme nous venons de dire dans une note, ces distinctions aux charges capables d'altérer la contexture et même de rompre, M. Poncelet a conseillé remploi du fer doux et ductile plutôt que du fer fort pour les chalnes-câbles de marine qui ont à supporter des chocs, en montrant par ses calculs (') que ces derniers fers, quoique résistant mieux à une charge morte, peuvent offrir jusqu'à cinquante fois moins de résistance vive que les premiers, qui ont aussi l'avantage d'avertir du danger par les grands allongements permanents qui précèdent la rupture.

LI. Prise en eonsIdérAtlon de la masse des plèees heurtées, qaant aa parfaire de la vitesse Initiale. Tredi^old. M. Hodi^klnson. — Pour tenir compte de la masse, négligée par Young, de la pièce appuyée aux deux bouts et heurtée transversalement au milieu, M. Tredgold l'a fait entrer en partage de la quantité de mouvement de la masse heurtante, ce qui diminue la vitesse qu'on doit regarder comme initiale parce que c'est celle qui est possédée, au premier instant

MDcef 4 /s des distances à une eUrémiié, et comme y^dx \/'=^a le tra?ail

,)<> V a 3 ' 4 R ' 2 total est *" j- 3^"- 3 **'* produit de U longueur par la plus grande sectkMi et

par conséquent les - . -^ du volume. •

(*] Introduction à la Mécanique industrielle, 4839, n** 296,i97,)98, p.357-36t.

HISTORIQUE. CCXXj

qui suit le choc, par la masse heurtante et par le point heurté^ sur lequel il concentre la masse de la pièce. Puis, supposant toujours que la courbure et la réaction élastique sont les mêmes, à chaque instant, que dans la flexion statique^ Tredgold calcule la grandeur que la flèche de flexion doit atteindre pour que les réactions anéantissent la vitesse ainsi réduite (*].

M. £aton Hodgkinson a remarqué que dans ce calcul la masse de la pièce devait Mt^ réduite dans une certaine proportion, parce qu'eUe n'est pas libre, et que ses points prennent à chaque instant tous les degrés de vitesse depuis les appuis jusqu'au milieu. Il a reconnu que la formule de Tredgold, avec celte mo- ^ dification, satisfaisait assez approximativement à ses nombreuses expériences en fixant à 0,47, ou plutôt, conune il le conseille» à 1/2 la proportion de la masse de la barre qu'on suppose partager ainsi, comme ferait un corps libre, la quantité de mouvemement imprimée ('].

Cette proportion peut être fixée d'une manière générale et fort plausible en divisant, à un instant quelconque, la puissance vive du système heurté par celle qu'il posséderait si les vitesses de tous ses points étaient égales à celle du point qui reçoit le choc; calcul facile puisque en supposant que les déplacements de ses points s'opèrent comme par une pression statique, on connaît les rapports qu'ils ont entre eux. Cela revient à égaler, coomie dans la théorie du choc des corps libres restant unis ensuite l'un à Tautre, la diminution de force vive totale causée par le choc, à la force vive du corps heurtant, due à la vitesse qu'il a perdue par le choc, plus celle que le choc a fait prendre brusquement au système heurté ('). On trouve ainsi la fraction

(>) Essai sur la Torce du Ter coulé {Sirength of cast iron), traductioo rraoçaiie de M. buverne sur la deuxième édition, 48S6, section XI; surtout aux u"* 25i et 364 . Ou nouvelle édition anglaise, n* 303. Et EUmentary PrincipUê of Corpen- /ry. S'ed", 4828, n» 132'.

(') Report o( ihe Cummissioneri appoinUd io inquirt vUo the jépplication of IroH to Raiiway 'Structure, 4849, Appendix A^ page 4.— Et, aussi, Fairbairn, do l'Application de la Tonte de fer et de de la tôle dans les construetioas, traduit par M. perret-Porla, 4857, page 4%8 (note).

0 En cITet, - étant la masse du système heurté, et A* - -^ sa puissance vira 9 9 ^

CCXxfJ RÉSISTANCE DES SOLIDES.

— =0, 4857 pour le cas du choc transversal, ce qui ne diffère

point, dans la limite d'exaclîlude des expériences, du nombre OyAl ou 0,50 qu'elles ont donné moyennement à M. Hodgkinson; et on trouve i/3 pour le choc longitudinal {*). Or cela est tout à fait conforme avec ce que donnent les formules exactes dont on parlera aux n"' LV etLVI, quand on se tient.à leurs termes les plus influents, c'est-à-dire aux deux premiers de leurs développements en série {•).

lorsque le point heurté possède la vitesse \^, régalité dont nous Tenons de parler sera :

QV« /-Qv,» )uPV>^ 0 (v--Y^ . .PV,«

d'où, pour la vitesse du corps heurtant et du point heurté, à rinitanl qui suit le choc, la valeur

la même que si la quantité de mouvement imprimé -V se partageait entredeuz

masses libres - et —, en sorte que k est bien la proportion que l'on cherchait. 9 9

{^) En effet, quand une barre de longueur a est fliée à uo bout et tirée à Tautn*, comme son allongement statique est uniforme, si x est la distance d'un quelconque de ses points au premier bout, et V| la vitesse de l'autre, on a pour la somme des puisunces vives des éléments :

ri:i^Vi!îV=iî:.¥. d'Où .=1/3.

Et quand cette barre, d'une longueur a = 2a, est soutenue aux deux bouts el sollicitée transversalement au milieu, si z' est le déplacement transversal d'un de ses points i une distance x du milieu, où ; est le déplacement, comme on

3z /'ax* afi\ a (n» 86, p. 72 ci-après) 2' =2 ïl'i rji 0» trouve

S«Pf/x < ,r. 3 /oj-» «»\-l» 17I»V,« „ , , n

(*) De ce résultat relatif au choc transversal, combiné avec ce qu'on a trouvé au numéro précédent et i sa note, il résulte que si un poids Q heurte horiionta-

lement, au milieu, avec une vitesse V=^2pH, une barre d'une longueur l et d'un poids P, en sorte que, E étant son élasticité et I le moment d'Inertie dt m

HISTORIQUE. CCXXiij

LU. Prlfle en coiuildératloii de leur Inertie^ comme cause que lciir« parties n'entreiit en moa- ▼ement que snccesslTcment. — Mais Young, dont la perspicacité a embrassé comme d'un seul coup d'œil presque tous les points du sujet qu'il a traité, a très-bien observé que le mouvement n'est pas instantanément communiqué à toutes les parties d'une pièce soumise à un choc^ vu que leur inertie s'y oppose, en sorte qu'il faut un certain temps pour que l'effet s'en propage du point qui le reçoit aux extrémités (*). Si donc, continue-t-il, la vitesse avec laquelle arrive le corps heurtant est à la vitesse de propagation de l'ébranlement, qui dépend

Mctioo, fzzz -— est la flèche sutique que le poids Q lui ferait prendre, on aura pour la flèche dynamique

ËleTani au carré et remplaçant F* par F.—/, Q' étant le poids capable de donner statiquement la flèche F, on a la relation de H. Hodgkinson ^ Q^F(Q4-AP)

donnée i la page 448 (note] de la traduction citée de l'ouvrage de M. Fairbairn.

Et si le poids Q heurte ?erlicalement la barre en tombant de la hauteur II, on a (note du numéro précédent) pour la flèche dynamique prise en sus de la flèche

statique que la barre prenait dè]i sous son propre poidi^ en faisant & = --,

48EI "^ V V*8KV 24EI * . , ^

Q'P & 4 / 96Ëi ïî ^1 d'où, comme F= jjjj. l'expression |. = 4 + y 4 + — . ^, qui,