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même en négligeant -- - devant 4, diffère de celle r + S 1/ ^ + *7:«" " **"' 35 û z ï Y Qf*

a été donnée par M. Lemoine dans une note insérée aux Jnnalei des Ponti ei

Chaussées en 1859, 4*^ semestre, page 329.

P) A Course of Lectures, etc., vol. I, p. 444.

CCXiiV RÉSISTANCE DES SOUDES.

du module d'élasticité de la matière de la pièce heurtée, dans un plus grand rapport queTextension ou la compression susceptible d'être supportée par un prisme de cette matière, est à sa longueur totale^ sa résilience sera vaincue, et le corps heurtant, quelque petit que soit son volume, le brisera^ ou bien y fera quelque impression permanente exigeant que sa contexture soit altérée, au moins à l'endroit soumis au choc. *0n voit qu'il ne suflSt pas^ pour assurer la résistance à une impulsion (en supposant même que les petites impressions purement locales soient sans danger) de calculer et de limiter l'allongement maximum totale ou la plus grande dilatation moyenne d'une pièce droite quand elle est heurtée longitudinalement (comme les tiges de ponts suspendus) ni sa plus grande flèche et la plus grande courbure statique correspondante si elle est heurtée transversalement comme une poutre de pont). Il faut encore savoir calculer^ afin de les limiter de même, les dilatations individuelles des diverses parties de la première, et les courbures prises successivement aux diflférents points de la seconde (et qui déterminent les extensions des fibres du côté convexe), vu que ces dilatations et ces courbures peuvent être^ en quelques endroits et à quelques instants^ considérablement au-dessus des autres, d'où il suit qu'on n'a aucune sécurité en établissant les conditions de résistance par les calculs du n^» précédent, pour peu que la masse de la pièce heurtée approche ou surpasse la masse du corps heurtant.

LUI. Calcul du moaireiiieiit des liiverses parties. Cordes et lames. Taylor. D. Bernoalll. Eoler. D^Alembert. — l^ calcul des modifications successives d'une pièce vibrante, ou la mise en compte complète de l'inertie de ses parties^ dépend de travaux qui ont occupé les plus grands géomètres depuis un siècle et demi, et des intégrations qu'ils ont appris à opérer des équations aux dérivées partielles linéaires du second et du quatrième ordre avec conditions définies aux limites^ dans la vue surtout de déterminer les lois (le la production et de la propagation du son par les cordes, les lames et les colonnes d'air vibrantes.

Sauveur, élu en 1696 membre de l'Académie des sciences^

HISTORIQUE. COLXV

avait déterminé analytiquement, en se fondant sur la théorie du pendule et des centres d'oscillation^ les rapports mutuels des nombres de vibrations fournis par des cordes tendues de différentes longueurs et de différents poids (^).

Mais ce fut Taylor qui mit sur la voie de déterminer la forme affectée par une corde pendant qu'elle oscille, en prouvant (') que si elle a initialement, c'est-à-dire au moment où on la lâche, la forme de la compagne de la cycloïde, appelée aussi trochoïde ou iinusoide parce que ses diverses ordonnées sont proportionnelles aux sinus de mômes multiples des abscisses correspondantes^ elle conservera pendant ses vibrations constamment cette même forme^ en sorte qu'elle redeviendra périodiquement rectiligne. U avança, au reste^ l'opmion hasardée que quel que fût l'état initial, cette forme de trochoïde serait prise au bout de peu de temps et était nécessaire à la régulait té des vibrations.

Jean Beruoulli arriva aualytiquement au résultat principal de Taylor (') en commençant par considérer une corde sans masse, mais chargée, à des distances égales, de diverses masses étrangères qu'il huit par multiplier à rinhni en les atténuant.

Peu après Daniel Beriiouiii s'occupa des lames élastiques, et proposa a Euler, sur les petites oscillations de celles qui sont encastrées à une exti'émité, un problème dont celui-ci donna une solution en i734 (^J.

D. bernoulii lui adressa alors de nouvelles lettres, offrant des vues neuves (^], et publia en 1741-1743, sur le même sujet, deux mémoires où il l'envisage analytiquement d'une manière plus générale, avec deux séries d'expériences confirmatives (*]. 11 ne posa pas encore l'équation aux dérivées partielles

(^) Mémoires de l'Académie, 1713. U rippelle qu'aux tomes de 4700, 4701» 470i, 1707, 1711, il a éubli lei roademeuii de l'Acousiique.

(*) MeUèoUus incrementorum direcla et inversa, Loodiai, 1717; page 89, proposiiio XXII, probiema XVU. JJefinire moium nervi Unn,

{^) OEuvres, l. III, u" CXL. MediialioMS de chordit vibrantibus,

{^) Ife mimmiM oscUlationibu» corporum iam rigidorum quam flexibUium me* tkodus nova et facUit. Tome VU des ADCieua Commeulairet de l'Acad. de Saini* Kélersbourg. Voyea aussi l. VIII.

(*j Tome XUi des même GommeDlairefl, page 4 . Excerpta ex litleris à DanieU BemoulU ad Leonardum Eulerum,

(«) M6me lome, p. 405. De vibrationibu$ et tono laminamm eUuUcarum DiS"

«erta/io. —El plus loio, De tono Uminarum experiênlia, — Eofln, De aonit

muUifanit quot tommor elasticaidiversemodè $dnni, exptrimentis Uluttrotœ,

dont Tune des variables principales est le temps, l'autre Tabcisse comptée suivant la longueur de la lame ; mais^ assimilant le mouvement transversal oscillatoire de chaque élément à celui d*un pendule simple, il rechercha quelle courbe devait, pour It lame oscillante» remplacer la sinusoïde donnée par Taylor pour la corde, ou donner lieu au retour périodique à l'état rectiligne et conserver la même forme sauf l'amplitude des écarts. 11 trouva que l'ordonnée de cette courbe dépendait d'une équation* simplement différentielle du quatrième ordre; et, se ser* vant d'une intégrale de ces sortes d'équations, due à Euler (*)i il donna pour les écarts transversaux des points de la lame> en fonction des distances à une extrémité, une expression composée de quatre termes, savoir : 1" deux semblables à oeux qui satisfont à l'équation du second ordre relative à la corde tendue par^ faitement flexible, et où l'abscisse est engagée dans des exponentielles imaginaires à exposants égaux au signe près, ou, ce qui revient au même, deux termes où elle entre dans le sinus et dans le cosinus circulaire d'un même arc ; 2'' deux termes où l'abscisse est engagée dans des exponentielles à exposants réels, aussi égaux et de signe contraire, et qui peuvent être remplacés par deux termes affectés de ce qu'on nomme aujourd'hui un sinus et un cosinus hyperbolique.

Dans son dernier mémoire, D. BernouUi suppose successivement la lame encastrée à un bout^ libre (ou suspendue à un fil suffisamment long); encastrée aux deux bouts; enfin simple* ment attachée, c'est-à-dire posée et soutenue aux deux extré* mités, autour desquelles elle peut pivoter librement. L'expé*^ rience confirme, quant aux sons rendus, les résultats comparatifs de calculs pour des lames de différentes longueurs et de différents poids, attachées des différentes manières considérées.

Euler y ajouta beaucoup à la fin de son célèbre mémoire De curvis elasticis (*), toujours en regardant comme « absolument nécessaire x> (n" G5 de ce mémoire) de connaître préalablement a la courbe que la lame prend pendant qu'elle oscille;» connaissance qu'il croit lui être fournie par Tinlégralion de Téqua-

(t) Académie de Berlin, t. Vll.

(*] AddiUtmentitm Au grand outrage Methoâm invenieitdi, etr,, ti*^ 63 à 90.

HISTOBIQOE. CCXXTi]

tîon simplement différentielle t^ = ^^ . n y montre que le calcul

des multiplicateurs dont l'abscisse x est affectée dans les exponentielles et dans les sinus, et par conséquent la détermination du nombre des oscillations selon les diverses manières dont la lame est attachée ou soutenue, dépend de la solution de diverses équations transcendantes ('); mais il n'en calcule que la plus petite racine, la seule qu'il croie utile de connaître.

Mais, dans la même année 1747, d'Alembert montrait (')>que la détermination complète et générale des mouvements d'une corde vibrante, ou de la suite indéfinie des petits écarts trans* versaux de ses points, dépendait de la solution d'une équation aux différences partielles du second ordre dont l'une des deux , variables indépendantes est le temps y l'autre l'absoisse; et il

donnait de cette équation j^+«' "^ =^ l'intégrale générale

connue, contenant deux fonctions arbitraires. D'où il concluait^ comme elle peut représenter une infinité de courbes, que la corde peut affecter toute sorte de forme dans sa vibration.

L'année suivante, Euler, après avoir rectifié l'analyse de d'Alembert en ce qui regarde la détermination des fonctions arbitraires pour un état initial donné, prouva la même chose d'une autre manière, en montrant (') que l'écart ou l'ordonnée de la corde, au lieu d'être ou de devenir, au bout de peu de tempsi conmie Tavait soutenu Taylor, proportionnelle au sinus d'un multiple déterminé de l'abscisse, pouvait bien être représentée par la somme d'un nombre quelconque, même infini, de termes affectés des sinus d'une suite de multiples ayant entre eux pour

rapports ceux des nombres naturels 1, 2,3,4, , ce qui

donne une variété infinie de courbes.

fitonné de ces résultats et disposé d'abord à les nier, parce

(*) Tellci que cos m =:±: 1 , taog m = .

(') Recherches sur la courbe que forme une corde tendue mise en vibration. Académie de Berlin, 4747, p. «44 et iiO. (*) Aead. de Berlin, 4748, p. 69. Sur les vibrations des eordes.^

CCIXViij RÉSISTANCE DES SOLIDES.

quMl ne reconnaissait qu*à la sinusoïde de Taylor la propriété de donner des vibrations a régulières, simples et isochrones malgré l'inégalité des petites excursions, x> Daniel Bernoullî aperçut bientôt (') qu'on pouvait tout concilier en a faisant un examen synthétique de la question posée, » examen sans lequel on est en général sujet, dit-il, à se laisser surprendre plutôt qu'éclairer par les résultats d'une analyse abstraite. Il montra donc que les vibrations nouvelles de d'Alembert et d'Ëuler pouvaient être admises, mais dans un sens nouveau aussi, et en quelque sorte impropre ; qu'une corde tendue pouvait exécuter de plusieurs manières des vibrations simples et isochrones; savoir en oscillant dans son entier, ou partagée en deux, trois,

quatre parties égales otfrant autant de ventres avec nœuds

immobiles intermédiaires; qu'on pouvait, en mêlant ces vibrations de divers ordres dans des proportions quelconques, déterminées à volonté par les grandeurs des coefficients dont on affecte les divers sinus, produire des formes aussi quelconques, et que les courbes nouvelles de MM. d'Alembert et Euler n'étaient absolument que de pareils mélanges de vibrations tayloriennes.

Ce fut à cette occasion que le célèbre géomètre révéla le fameux principe physique de la coexistence dans les corps, dans les systèmes et jusque dans l'air, des petites oscillations qui se produisent, se continuent et se propagent indépendamment les unes des autres, tout en se superposant ("). .

Euler n'admit pas de suite (') qu'un mélange de sinusoïdes, en nombre même infini, pût produire toutes les courbes possibles. Et d'Alembert, après avoir tenté de prouver le contraire (*), le niait encore huit ans après (°), alléguant le cas où la figure initiale de la corde seveiii discontinue, telle qu'une ligne brisée ou

(>} Acad. Je IterlîD. néflexiooi et éclaircissements sur les noaTeUes ?lbntioDS des corps exposés dans les Mémoires de l'Académie de 4747 et 4748.

(*) Même Académie 4753. Sur le mélange de plusieurs espèces de Tibrations simples et isochrones qui peuvent coexister dans un système de corps; p. 473.

(S) Même volume de 4753, p. 496.

(^) Article Fondamental (en musique) de rEncyclopédie.

(S) Opuicules, t. 1, 4764, p. 4 et 65. Idemy supplément; et, ensuite,!. IV, 4768.

HISTORIQUE. CCXXix

anguleuscy et ajoutant que D. Bernoulli lui-même avait senti la difficulté (*).

LIV. Itolntloii complète pour la corde d'abord, pain poar les lameii, etc. lia^rani^e; sa formiile de rédaction en série de sinus. Formales d'En- 1er, de Fonrier. Solations de Poisson, de Cancby. — La difficulté fut levée (ainsi que d'Alembert parut bientôt le reconnaitre] par le célèbre mémoire de Lagrange, de i759 (*), où il jette les fondements du calcul aux différences partielles, constitué de nos jours par Fourier et ses émules; mémoire dans lequel^ en partageant d'abord la corde en un nombre fini de parties, Lagrange apprit à déterminer, par un genre nouveau d'élimination, les coefficients de la série de pareil nombre de sinus qui est capable de représenter, en fonction de l'abscisse, toutes les ordonnées des points de division quelles que soient leurs grandeurs diverses ('). La chose parut plus claire après les développements, et les considérations plus directes, d'un mémoire de 1762 {*), où Lagrange remplace de suite par une intégration, entre les deux extrémités de la corde^ l'addition qu'il opérait d'un nombre très-grand de séries, suivie de la supposition que ce nombre était infini ; et où il donna en conséquence une formule très-générale de développement de toute fonction considérée entre deux limites données de sa variable (').

Alors on comprit que les lignes brisées ne faisaient pas exception, et Ton posséda une méthode sûre et facile pour déter-

(^) Journal des SaianU; mars 1758.

(*) Mèmoireii [mUcellanea), de Turin, i. I. Recherches iur la nature et la propagation du ton.

0 On peut Toir ce calcul an Réaumé des leçons d'analyse de Fficole polytechnique, de HaTier, n* 491 .

(*) Mémoires de Turin, t. IIT. Solution de différents problèmes de calcul intégral, et applications aux cordes sonores.

(•) C'est la formule 9 (ar) =~ 2 1 V ç (or') sln — dx' In» — , où i représente tous les nombres entiers do 1 à rinflni; et 0, a sont les deux limitci entre lesquelles on veut représenter par une série de sinus la fonction quelconque 9 {x).

CC&XX IlÉSISTANCE DES SOLIDES.

miner par des intégrales définies, calculées soit analytiquement^ soit au besoin par des quadratures, la suite des coctticients de séries de sinus multiples, toujours convergentes, capables de représenter toute espèce de fonction continue ou discontinue, ou même des parties de fonctions ayant des valeurs données entre certaines limites, et s'ann niant au delà comme en deçà.

On put trouver en conséquence, pour un état initial quelconque d'une corde vibrante, la suite des formes par lesquelles elle doit passer, et par un procédé ayant sur celui de d'Alembert l'avantage de distinguer les vibrations des divers ordres qui se superposent et qui rendent des sons différents^ se faisant simultanément entendre avec des degrés très-divers d'intensité.

Mais d'autres problèmes de physique mathématique peuvent se présenter que celui de la corde vibrante. Les équations aux différences partielles qui expriment, comme le remarque Navier('), les lois générales des principaux phénomènes dont l'étude est l'objet de la philosophie naturelle, peuvent être d'une autre forme et d'un autre ordre, ainsi que les conditions définies que doivent remplir certaines valeurs particulières de l'inconnue qui y est engagée. Euler, le pressentant sans doute, a donné en 4777, dans un de ses derniers mémoires ('), plusieurs formules de développement où les sinus sont remplacés par des cosinus d'arcs procédant d*une manière un peu différente, mais toujours par progression arithmétique. Et ces sortes de solutions ont été, comme on sait, considérablement étendues par Fourier dans son immortelle Théorie de la chaleur (•), où Ton trouve des séries dans lesquelles, au lieu de nombres équidifférents, les arcs successifs ont pour multiplicateurs les racines, en nombre infini, de diverses équations transcendantes comme celles qui se sont présentées à Euler

(1) Leçons d'analyie de TËcole polytechnique, n» 487.

(S) Methodu» facilis inveniendi série* per sinu» cosinuwe angulorum muliiplorum procedentet. Et, surtout : Disquisiiio ulierior super êeriebui §ecumdùtn multipla ejusdem anguli progredientibus ; Imprimés seulement en 1798 au t. XI 4t% Nova acta de Saint-Pétersbour§, p. 94 et 444.

C) Publiée en 18i0, mais précédée de dl?tn môfnoirei ioiéréti c««i d« risitilut et au Journal de TËcole polytechnique.

HISTORIQUE. CCXXXJ

dans ses travaux cités sur les vibrations des lames (n" LIU), mais dont il ne prenait, avons-nous dit^ que la plus petite ra* cine^ parce qu'il ne considérait, comme D. Bernoulli, que les vibrations principales donnant le son le plus grave^ sans s'occuper des vibrations secondaires qui les accompagnent en nombre infini. Enfin le même illustre géomètre de notre siècle, en rapprochant indéfiniment Tune de Tautre les grandeurs des termes consécutifs des séries^ remplaçait celles-ci par des intégrales de zéro à Tinfini, et attachait son nom à une formule dont MM. Liouville et Sturm, Lebesgue, etc., ont prouvé que toutes les autres pouvaient être déduites (^), mais dont remploi direct ne convient généralement qu'à des problèmes relatif à des corps ou à des espaces de dimensions indéfinies.

Poisson^ presque en même temps que Fourier, donnait d'autres solutions du même genre, où les exponentielles réelles se trouvent mêlées aux lignes trigonométriques, et, ensuite, une méthode générale propre à y conduire dans des cas variés ; et bientôt Cauchy, par l'invention de son Calcul des résidus, les présentait sous une forme plus générale en les rattachant à des considérations analytiques importantes dont on lui est également redevable.

Dès lors on put^ pour les lames ou les tiges vibrantes, traiter réquation aux dérivées partielles du quatrième ordre donnée par Euler en 1779 ('], comme Lagrange avait traité en 1759 l'équation du second ordre relative à la corde, et déterminer non-seulement le nombre des oscillations^ dont s'étaient occupés Bemoulli et Euler, mais encore leur amplitude^ qui est la chose importante à connaître dans les questions de résistance, et résoudre complètement le problème des états successifs du

(1) Premiers volumes du Jouroal de matbémaliques purei et appliquées. (*) Invttiigatio motuum quibut laminœ et virga elasticœ contremiscunt, aux Noya acta Petrop. 4779.

£d faisant dans réquation, de la forme a* —^ + -— =o, y=Y%\nmU,on la

Eéduit à une équation simplement différentielle qu 'Euler considérait dans sas précédents écrits. El il ne va pas plus loin dans celui de 1779, si ce n'est en considérant deux cas nouveaux d'une lame encastrée à un bout et simplement pivotante à Tautre, enfin pivounte à un boni et libre à l'autre.

CCXXXij RÉSISTANCE DES SOLIDES.

corps vibrant , quand on connaît initialement les écarts de ses points de l'état d'équilibre, et les vitesses dont ils peuvent être animés en commençant de vibrer.

Pour les vibrations longitudinales des tiges élastiques, le problème, si ces tiges vibrent seules, se trouvait déjà résolu depuis 1759^ car elles dépendent de la même équation que les vibrations transversales de la corde infiniment flexible, ainsi que Ta montré Lagrange, qui applique le même calcul à une colonne d*air; en sorte que son mémoire, ainsi que le titre l'indique, résout le problème de la propagation du son , dont la solution n'avait été indiquée par Newton que dans des termes obscurs (^).

Pour les vibrations transversales des mêmes tiges, lames ou poutres, le problème fut résolu complètement et en même temps en 4828 par Poisson (•) et par Cauchy ('), aussi quand elles vibrent seules, et pour un état initial quelconque supposé connu (*).

LV. Participation, néceMialre à considérer, des mawies heurtantes an monTement vibratoire dn système heurté. fi(olutlon de IVaTler pour le ehoe lonfi^ltndlnal. Complément par M. Poneelet. —

Mais ces solutions restent inutiles aux calculs de résistance des pièces tant qu'on suppose que celles-ci vibrent seules.

Leur mise en état de vibration est en effet déterminée généralement par le choc de quelque masse étrangère (telle qu'une voiture dont une roue retombe après avoir monté sur quelque corps ou quelque aspérité). Or, en supposant même que cette masse rebondisse, elle est restée unie d la pièce pendant au

\i) Laplace, au Bolletio de la Société philomatique, 4846, p. 490, a dédait flacilement, d'une iotégrale comme celle de d'Alembert, la vi teaie de propagation lODgitodinale du son dans une barre solide.

p) Mémoire cité du lome vni de rin«titut n^ 46, 47, 48 ; et, aasii, Traité de mécanique, édition de 4833, n** 549 à 5S9.

(>) Exercices de ma tbéma tiques, 3* année.

(*) Cette solution se trouve reproduite en partie an chapitre intitulé Pouiret mirantes du cours de M. Bresse (4859), qui lijoute un terme pour les petites oscillations tournantes des diterses tranches ou sections autour de la ligoe d«f fibres iDTariables, mais qui ne considère de même que les pootret Tibrant seules.

HISTORIQUE. CCXXXifj

moins le temps d'une demi-oscillation principale, et c'est dans cette durée que se produisent les écarts moléculaires capables de mettre la cohésion en danger.

Il faut donc savoir déterminer les oscillations d'une tige unie à une masse étrangère.

Mais ce n'est pas tout : il faut encore savoir quelles vitesses initiales on attribuera à la masse étrangère et aux diverses parties on sections de la pièce; puis exécuter le calcul avec ces données.

Sous tous ces rapports, Navier est le premier qui ait résolu ^, complètement et dans son vrai sens un problème de résistance ] vive.

La solution qu'il a donnée est relative à un choc longitudinal produisant extension, c'est-à-dire, pour fixer les idées, à l'impulsion^ tout auprès de l'extrémité libre d'une barre attachée à l'autre extrémité d'une masse qui y serait enfilée, et qui viendrait heurter brusquement un petit arrêt formé par un bourrelet saillant dont l'extrémité mobile serait armée. Pour abstraire la ]>esanteur, on peut supposer d'abord la barre horizontale.

Navier trouve, par un procédé remarquable, fondé sur l'emploi d'une des séries à cosinus d'Euler^ que le déplacement d'un point quelconque de la barre unie à la masse étrangère qui se trouve au bout libre, est donné à chaque instant par une série de produits de deux sinus d'arcs proportionnels respectivement au temps et à la distance du point à l'extrémité fixe, mais où les multiplicateurs des arcs^ au lieu de procéder par équidifférences comme quand la barre est seule^ sont proportionnels à toutes les racines positives^ faciles à calculer, d'une équation transcendante dans laquelle entre le rapport du poids de la barre au poids étranger (^). Le temps écoulé se troifve multiplié par le rapport de ces racines au temps très-court de la propagation du son d'une extrémité à l'autre de la barre.

Pour appliquer au résultat du choc du corps étranger l'expression ainsi obtenue, Navier fait sur l'état initial, ou relatif à

p (<) CeUe équation, où m désigno rinoonnoe, eit m uogm =. ce rapport ~.

CCXXXiV RÉSISTANCE DES SOLIDES.

l'instant qui suit immédiatement Timpulsion, une supposition qui semble hardie, à savoir qu'à cet instant les vitesses de la barre sont nulles partout, excepté dans la section heurtée, qui aurait tout juste alors la vitesse du corps heurtant. Mais on peut, pour se conformer mieux à Tétat physique des choses, partir d'un instant non immédiat, où les sections, sur uue longueur très-petite de la barre proche de l'extrémité heurtée, ont acquis déjà des vitesses croissantes suivant une loi quelconque depuis zéro jusqu'à celle du corps heurtant, o^^lle-ci légëi^ement diminuée par le partage qui s'en est fait avec la petite partie correspondante de la masse de la barre, déjà mise en mouvement. En continuant le calcul, la longueur indéterminée de cette portion excessivement petite disparaît, et l'on obtient absolument le môme résultat que Navier, qui supposait cette longueur nulle.

Navier ne développe cette belle solution que pour le cas où p le rapport j: du poids P de la barre ou du fil au poids heurtant

Q est négligeable devant l'unité. Il trouve ainsi, comme cela devait être, l'expression depuis longtemps connue , dont nous avons parlé au n" L, relatite à un poids oscillant au bout d'un fil sans masse, s'allongeant uniformément d'un bout à l'autre à tous les instants de son mouvement oscillatoire. I II aurait obtenu, pour l'allongement maximum total de la barre, une expression aussi simple et incomparablement plus approchée en développant l'expression transcendante suivant

P le$ puissances du rapport - en question et en ne négligeant

que les termes affectés de son carré et de ses puissances supérieures, car comme le carré supprimé avait pour cœfiicient

la petite fraction 7^-, la série réduite à ses deux premiers

termes donne encore une valeur approchée, même quand fe poids P de la barre excède le double du poids heurtant Q. 11 est digne de remarque que la valeur de l'allongement, ainsi trouvée, est exactement celle qu'on .obtient par le procédé dont^ nous avons parlé au n** LI, dont Tredgold a eu la première