HISTORIQUE. CCXXXV

idée en ce qui concenie le choc transversal; c'est-à-dire qu elle est ce qu'on obtient en supposant toujours que la barro s'al* longe uniformément comme dans Tétat statique^ mais que la vitesse du corps heurtant se trouve réduite, immédiatement après le choc^ comme si sa quantité de mouvement s'était partagée avec la barre heurtée réduite à une fraction de sa masse qui est^ pour le choc longitudinal, du |.

Mais, ainsi que nous avons dit au commencement du numéro précédent LU, les allongements, dont dépend le danger' de rupture, ne sont point uniformes comme dans Tétat statique ; et ils se trouvent^ à certains instants surtout, très-inégalement répartis d'un bout à l'autre de la barre, en raison des vibrations secondaires (comparables aux vibrations de la corde à deux, trois.... ventres), qui se mêlent à la vibration principale, et qui sont données par le second, le troisième terme.... de la série, dont les autres termes diminuent rapidement.

Nous nous sommes donc livré, sur la formule exacte de Navîer, à un long travail d'application numérique, en nous aidant de constructions graphiques à grande échelle afin de relier ensemble les valeurs des déplacements, calculées pour cinq points de la barre. En appelant toujours P : Q le rapport de la masse de la barre à celle du poids heurtant, et i^ : t^ le rapport entre la dilatation maximum et la dilatation moyenne (quotient de l'allongement total par la longueur de la barre), nous avons trouvé que, pour

•' P:Q= i » ^ ^ * > 2 , 4, ona î,:»m=1,^8 , i,59 , l,8i , 2,67 , 3,47.

D'où l'bn voit bien qu'on se trompera dans une proportion entre i à i î, et 1 à 3 I (et même plus si le poids comparatif de la barre excède 4) en regardant la barre comme s'allongcant uniformément ou (le la même manière que dans l'état statique. La formule indiquée au n^Ll, analogue à celle qui a été dressée par MM. Tredgoid et Hodgkinson pour un autre problème (celui du choc transversal) ne peut donc pas suffire, bien que donnant assez approximativement les allongements totaux^ et

par suite les allongements moyens; et il faut, pour déterminer les conditions de résistance, ou de limitation de la plus grande dilatation produite par un choc longitudinal^ se servir de la formule en série transcendante de Navier, ou d'une table de correction de calculs^ telle que celle que nous venons de rapporter. Quand la barre est dans une situation verticale, il faut tenir compte de rallongement produit par son propre poids, et de l'excédant de travail moteur résultant de la chute du poids heurtant, qui continue après son choc Navier n'avait fait ce calcul qu'en supposant la barre déjà tendue statiquement par Taction de celui-ci. Mais cela ne doit guère arriver. Aussi M. Poncelet a-t-il cherché à résoudre le problème pour le cas bien plus ordinaire où le poids n'a pas agi sur la barre verticale avant de la heurter. Il y est parvenu en ajoutant à la série trigonométrique de Navier une deuxième série du même genre, mais où le temps se trouve engagé dans des cosinus au lieu de sinus (*). U a même, dans une seconde note ('), embrassé le cas où il se trouverait déjà, à l'extrémité iï)férieure de la barre, une certaine masse que la masse tombante vient heurter, et avec laquelle on peut supposer approximativement, avec lui ('), qu'elle partage sa quantité de mouvement préalablement à toute action sur la barre; et il est facile de voir que son analyse s'appliquerait encore si chacune de ces deux masses était sollicitée, en outre, par une force autre que son poids, telle que la pression qu'exerce un gaz ou un liquide sur un piston de machine ou de pompe (^).

LVI. Skilnttoii analofifae par le rboe transversal. Expérlenees à l'appui. — Un calcul complet du même genre, en tenant aussi compte de l'inertie de la barre, était désirable pour le cas, bien plus fréquent, de son choc transversal. Nous l'avons entrepris ('). Les vibrations d'une barre, ftppuyée

(1) iDtrodactIoQ 1 la mécanique indoitrielle, 4839, p. 440, note du n* 3S9.

(S) Idem. p. 4S4, note du n» 335.

(>) Idem, p. 445, n«3S3.

(*) Ainii que l'a soppoié M. Bélanger (Couri lithographie, 1848-49), mais en l'en tenant au calcul qui suppose négligeables la maf se de la tige et l'inertie de tes parties.

(>) Société philomathique, 5 noTembre1853 et S4 janTier 4864, M jonnul

HISTORIQUE. CCXXXVij

aux deux extrémités^ et unie à une masse étrangère placée à son milieu, dépendent d'une équation aux différences partielles du quatrième ordre. L'intégrale générale est une somme d'une infinité d'intégrales particulières où te sinus circulaire d'un multiple du temps se trouve multiplié par un sinus aussi circulaire ainsi que par un sinus hyperbolique d'un multiple de l'abscisse ; et les nombres donnant ces divers multiples sont toutes les racines réelles et positives, en nombre infini, d'une équation transcendante où les sinus des deux espèces se trouvent mêlés (^). Les coefficients de la série se déterminent, pour des vitesses initiales données, par un procédé d'élimination analogue à ceux de Lagrange, Euler Fourier et Poisson, mais modifié parce que tous les termes de la série qui exprime ces vitesses ne disparaissent pas hors un en intégrant les deux membres de l'équation entre les limites de la longueur de la barre, après ravoir multipliée par un certain facteur.

Quant au choix des vitesses initiales, nous les faisons, comme dans le problème de la barre heurtée longitudinalement, nulles partout excepté dans une étendue fort petite où elles croissent de part et d'autre depuis zéro jusqu'à leur valeur au milieu de la barre, où elles ont la grandeur de celle du corps heurtant, légèrement diminuée en raison du partage déjà fait de sa quantité de mouvement avec cette petite partie. Gomme la longueur de celle-ci s'élimine, on a la même chose que si l'on avait supposé toutes les vitesses nulles hors celle de la section heurtée.

On tient compte du travail de la pesanteur de la barre et de celle du corps heurtant depuis que le choc est opéré en ajoutant une deuxième série, ou en faisant ce qu'a fait M. Poncelet pour le choc longitudinal.

Quand le rapport du poids de la barre au poids heurtant est très-petit, l'expression ainsi déterminée pour la flèche dynamique se réduit à ce qu'a trouvé Young (n* L). Quand il n'ex-

Vlnitiiut, 45 fëTrier, n* 406; et Comptes rendus de l'Académie, 40 août 4857, t. XLV, p. S04.

/sinm e*^ — e-^\ p

(n cette équation est m ( : ) = 3 - , p et Q éUnt les poids

' \co8m r*-f-«-«/ Q'

de la barre et du corps heurtant.

CCXXXTiij RÊSISTANGB DBS SOLIDES.

! cède pas 2 et même i, elle se réduit au premier terme de la série transcendante, ou à ce qui résulte de la vibration partielle principale; et^ en développant l'expression de la flèche suivant les puissances du rapport du ^oids de la' barre au poids heurtant, on peut négliger son carré, qui est affecté d'une très-petite fraction numérique ; et Ton trouve précisément ce que fournit le mode de calcul élémentaire du n** LI, c'est-à-dire ce qu'on aurait en calculant cette flèche comme si la barre conservait la forme qu'elle prend sous une charge en l'epos; après avoir

réduit la vitesse du corps heurtant par un partage avec les —

«Kl

de la masse du corps heurté ; en sorte que les résultats do cette analyse se trouvent confirmés par de nombreuses expériences ' de M. Hodgkinson, même en soumettant directement les résultats au calcul au lieu de prendre la formule empirique qui les résume.

Mais les deuxième, troisième et quatrième termes de la série sont très-influents quant aux diverses courbures prises par la barre^ et qui déterminent la plus grande dilatation des fibres du côté devenu convexe. On les manifeste très-bien par un modèle en plâtre représentant la surface très-ondulée décrite par la barre supposée emportée d'un mouvement rapide perpendiculaire à son plan pendant qu'elle vibre. Aussi, pour calculer sa résistance, il faut, sous peine de commettre de graves erreurs qui inspireraient une fausse sécurité, se livrer au long calcul de la formule nouvelle et exacte. Ce calcul, aidé de constructions graphiques, a été fait pour des rapports

P:Q = i, \ et 2

du poids P de la barre au poids Q du corps heurtant; il en résulte que les résistances calculées à la manière du n* LI sont trop faibles dans des proportions respectives de 1 à

qui difiéreraient encore plus de Tunité pour des barres ayant plus de masse par rapport au corps qui les heurte.

HISTORIQUE. * CCXXXlX

LV(T. RéstffteBce wfwe «ana éhœ. Bielle* et lia» lanciers. M* Tredfj^old. Charge Toyaffeaae. M. l¥illis. M. fi^tokes. M. Pbillips. — La résistance vive peut être mise en jeu et des oscillations peuvent être engendrées par l'action mutuelle des pièces d'une machine qui s'arrête brusquement, comme le fait observer M. Tredgold au n" !257 de son Traité de la résistance du fer coulé.

Mais, comme l'observe le même auteur^ la même chose peut avoir lieu à un certain degré sans impulsion brusque et par l'effet de l'action variable, quoique continue, d'un piston sur un balancier, d'une bielle sur une manivelle, etc. Les calcuh et les règles pratiques qu'il donne aux n»* 206 à 294 du même ouvrage auraient besoin d'être analyliquement discutés, comme nous avons fiait pour ses évaluations des effets du choc. Ce genre de recherches, où les forces qui étendent, compriment ou fléchissent sont variables et se trouvent augmentées et même remplacées par des produits de masses et d'accélérations, méritent d'occuper les ingénieurs non moins que les analystes (')•

On peut regarder comme du même genre le problème du poidi voyageur, c'est-à-dire de l'action, sur une poutre horizontale, d'une charge en mouvement, qui la parcourt uniformément avec assez de rapidité (comme une locomotive sur un pont) pour qu'il faille tenir compte des inerties dues aux mouvements ver-

{}) si la iol du dt^placement d'une exlrdmiié d*une pièce élastique est connue et comme obligatoire^ la détermination des déplocemenls des autres parties dépend d'une méthode qui a clé donnée par M. Duhamel le 23 avril 1832 sous le litre Mémoire sur les vibrations d'un système de points matérieU (Journ. de TÉc. pol., ^'.i* cahier). Elle consiste à déterminer d'abord l'expression des déplacements successifs que prendra un quelconque des points de la pièce par suite d'un déptucemcnt invariable, inflniment petit, de l'extrémité donnée, puis i ajouter enseinbtr les grandeurs de ceux qui résulteront de même, pour le point quelconque, d'une suite connue d'autres déplacements inflniment petits imprimés encore k l'extrémité. Cette méthode serait applicable aux effets des flexions variables, comme celles que la commission anglaise qui va être citée a opérées au moyen d'un cxcentiiquc pressant et lâchant alternativement le milieu d'une barro.

En appliquant cette même méthode. à la résistance qu'éprouverait une voiture roulant sur un système de ressorts verticaux juxtaposés, nous avons trouvé tlne expression du frottement de roulement sur un sol élastique, assez conforme à quelques expériences (Soc. Phil.^ 24 juin 1845; ou n** 601 du journal VJfutiUit, note sur le frottement de roulement ou de deuxième espèce}. M. Phillips a aoasi appliqué cette métbode (Comptes rendos, 46 féTrier4864, t.LVUl, p. 347).

CCXl RÉSISTANCE DES SOLIDES.

ticaux qu'elle prend en faisant fléchir la poutre, ou, ce qui revient au méme^ des forces centrifuges engendrées ; et, aussi, de l'inertie mise en jeu par les mouvements des diverses parties de la poutre en ayant égard à ce qu'elles n'ont pas le temps de prendre d'un bout à l'autre les mêmes flexions et les mêmes situations à chaque instant que dans l'état produit statiquement par une force verticale agissant dans chacune des situations occupées par la charge.

Cette question a été Tobjet de V Appendice B, fort étendu, du célèbre rapport déposé le 26 juillet 1849 par la commission que le gouvernement anglais avait chargée en 1847, de recherches sur la force des rails et des poutres métalliques des chemins de ferC).

Après plusieurs séries d'expériences, oiiMM. Willis, James et Douglas Galton relevèrent exactement la suite des formes prises par des baiTes sur lesquelles ils faisaient rouler des cylindres de fonte avec difiërentes vitesses en augmentant à volonté, par une disposition ingénieuse, l'eflet de rtn^ra'e de la barre sans la rendre plus grosse ni moins flexible, M. le professeur Willis s'est livré à des recherches analytiques ayant pour objet la détermination théorique de la trajectoire du poids mobile ('). En tenant compte de l'inertie de ce poids, mais en négligeant celle de la barre, ou en supposant que celle-ci prend la même forme à chaque instant que si la pression qui s'y exerce, due au poids et à la force centrifuge, agissait sur elle statiquement, il a posé facilement une équation ditterentiellede cette trajectoire (*)•

(1) Repari of the Commissioners appointed to inquire into the Application of Iron to Bailway Structure*. Nous refiendroni lur ses imporUots Irafaux. (^ Même Report, p. 497. Theoretical inquiry of the Trqf«ctory,

(») Ceue équallon esl^=^ 1 ^ "" r ' (2oa?~j-y|' ** *"'"' ** longueur de la barre entre les deux appuis, y éUnt la dépression Terlicale à une

distance x du premier appui, V la filesse horizontale de la cbarge Q, f= —-

6ëI

la flèche sUlique qu elle ferait prendre i la barre si elle était posée sur son milieu,

Ë est le coefficient d'élasticité eti le moment d'inertie de la section. En effet, si l'on

appelle SP une charge sUlique s'exerçant transfersalement à des disUncesxet

9a — a; des deux appuis, on trouve facilement avec KaTier (cité par M. Willis),

HISTORIQUE. rCXlj

M. Stokes l'a intégrée complètement (*), et il a évalué, tantôt par rintégrale obtenue^ tantôt par des séries qui prêtent mieux au calcul 0^ les nombres qui composent deux tables numériques (V et VI, p. 199 et 200 du Report) fournissant, pour une suite de valeurs de rabscisse^ de cinquantième en cinquantième et de vingtième en vingtième de la portée totale de la poutre, celles de la dépression ou de l'ordonnée y de la trajectoire, ou plutôt

de son rapport ^ à la flèche statique f que produirait la charge

en équilibre au milieu de la poutre. Ces deux mêmes tables, qui

que la dépression ou flèche y produite à l'endroit même do la charge est

y — — L.^.^ LL (édition de 4833, n»339). Or il faut y faire