a. El

^ g dfl ^ g dx» *

car il faut attribuer â Taclion de la charge sur la barre une valeur égale à son poids

U augmenté, soit de son inertte -— , soit, ce qui reyient au même, delà

g ai*

foi ce centrifuge , - étant la courbure, sensiblement égale à — -r^uind elle

gp p dx*^

est faible. Ces substitutions donnent bien Téquation posée, du second ordre.

(>) Dans un beau mémoire inséré au t. Vllf, part. V, année 4849, des Transactions of the Cambridge philosophical Society, p. 787, intitulé : DUcuêsion of a difftrtniial Equation réUUmg to the breaking of Railway Bridge. L'intégrale de cette équation, posée à la note précédente, est

gà^ si fw, n sont deux nombres tels que m -f- »= ^ « fnn= — ^ .

0 Parexemple quand, dans l'équation différentielle de la note (3), réductible, i-n

faisant «=2ax,y=46ry,ei|^=6,àla formey=(x-x«)«-g- (x — x«)*~, la

consunte 6 est grande, on obtient facilement par des approximations successives cette série conTcrgente, où X est écrit pour (x — x*)*

procédé qui s'appliquerait à des équations plus compliquées, ^oû Ton tiendrait compte de rinenic de la barre.

CCXUj RÉSISTANCE DBS SOUDES.

s'appliquent à oeuf grandeurs [de — à 20 j d'une periaiqe constante 6 [^), donnent aussi, dans d'autres colonnes, les rapports, appelés z, de l'ordonnée ou de la dépression dynamique eu chaque point, à la dépression statique que produirait au même point la charge en équilibre ('] ; enfin^ dans d'autres colonnes, les valeurs correspondantes T de ce que M Stokes appelle la iendance relative ci la rupture, et qui est le rapport dv^ plus graqd moment de flexion ou de la plus grande courbure dans l'état d^fnamique, pour chaque position de la charge mobile, au plas grand moment ou à la plus grande courbure qu'on aurait dans Tt^tat statique en plaçant cette charge au milieu de la poutre ('). On reconnaît ainsi que le rapport de la dépression dynamique à la dépression statique est très-faible aux points proches du pri^mier appui, c'est-à-dire do l'endroit où la charge arrive sur

4 V> iQa (^) L'iiiTcrso -= — . - — de celte cootUnte numérique (appelée B à b traduco g 3EI

tioii du Rapport par M. Ciische], est égale lu double do la hauteur duc à la Ti-

4r / fjptj\ tMso V, muUIpliéo par la courbun; -; = ( z] au milieu de la tri^ee»

toiri) tj = qui aérait parcourue ai la Tîteite de la charge èlaii iaS-

nimeot petite; en lorlo que q( 4 + - j est le poi<U Q augaebtA do riscrii»

ou do la rorcc centrirugc qu*il acquiert d ce point milieu en parcoorant noe

pareille trajectoire.

(') On a 2 = - ( ) qui, comme on Toil, se réduit i - pour # = «

f \''2ax x^J f

au milieu de la poutre.

y rt*

(•) On a T =; - • . En effet, quand la masse de la poutre eat négli-

f iux — a?*

geable, la courbure s*opére à chaque instant comme tous une charge staUqne

Q '^^-n'f ^^ comme la plui grande courbure a lien alors au point od celte

g dx*

charge agit, le plus grand moment eet celte même charge nnliipliéepar ~ (la— «%

Sa '

y Qofl

Or ce prodoit, d'après l'équation précédente, est égal à — r • •--^; et ton

%ax — «■ ^f

Qa rapport au plus firand moment de l'étal statique — • est bien ce que noua fe&ons

d'égaler à T.

HISTORIQUE. CCXÎiij

la poutre, et est au contraire extrêmement grand aux points proches du deuxième appui, c'est-à-dire de Tendroit où la charge quitte la poutre; et, pour certaines valeurs de la constante appelée 6, ce rapport, après avoir atteint Pinfmi, devient négatif, ce qui prouve que la poutre, fléchie par le passage de la charge vers te milieu, rebondirait vers la deuxième extrémité, et quitterait quelquefois l'appui correspondant. La tendance à rupijire, qui est proportionnelle à la courbure prise, acquiert sa plus grande valeur au delà du milieu de la poutre ; son rapport, appelé T, à celle qui a lieu au milieu dans l'état statique, est d'environ 3/2 quand la constante dont nous avons parlé est 3 ; mais elle s'élève bien plus haut quand cette constante 6 est moindre ou quand les vitesses sont considérables.

Lorsque la constante 6 est grande, c'est-à-dire la vitesse petite ainsi que le poids fléchissant, ou la roideur de la pièce considérable et la flèche statique faible, l'augmentation proportionnelle de flèche, au milieu, due au mouvement, est sensiblement

1 Af\* 2QaV' mesurée par l'inverse > = -i— r- = -r-rrr de cette constante, •^ b ga* 3.7EI

et l'augmentation correspondante de la plus grande courbure, ou

du moment qui tend à rompre, suit la même proportion, égale

tout juste d celle de la partie de la pression de la charge qui est

due à son inertie, ou à la force centrifuge qu'elle acquerrait au

milieu de la trajectoire répondant à une vitesse intiniment petite,

si elle la parcourait au Ueu de la trajectoire réelle (^j.

(1} c'est-à-dire qae la flèct^e ou la courbure maximum djoamiqoe eit à la flèche 00 à la 0OHr)>ure maximum atalique comme A est à

^6 ^ y Ml ^ 9 ai'

Cel« rétnlia Immédiatement de Péqaation diflérenllelle y = -^ — ^ x

/- v•d•v^ \*€fly

Xf 4 t jdoDoaDt, en négligeaot — ---- devant 4, la dépression suiique

qui, regardée comme une première approximation, et substituée dans la parenthèse, donne 4 + -^- • i i <*^'^ ^ H T *" "*''*" °" P®"*^

CCXllV RÉSISTANCE DES SOLIDES.

M. Willis a comparé ces résultats du calcul, rendus plus manifestes au moyen d'épurés des trajectoires, avec ceux de diverses expériences faites à Portsmouth par MM. Henri James et Douglas Galton^ et d'expériences non moins variées faites par lui à Cambridge plus en petite mais d'une manière qui les rendait plus comparatives entre elles et qui permettait mieux d'en saisir la loi, surtout en ce qui regarde la part d'influence de l'inertie de la barre. Dans celles-ci, pour ne pas diminuer la flexibilité dont dépendent la sensibilité et la justesse des mesurages, et qui diminue naturellement quand la masse augmente* M. Willis se sert constamment de la même barre d'acier, de i",22 de long sur 5"",84 d'équarrissage ; et il fait varier artificiellement son inertie en suspendant, au milieu, par une bielle verticale mince, l'une des deux extrémités d'un appareil qu'il appelle une balance d'inertie, consistant dans un simple levier horizontal à deux bras égaux, sur lequel on met des masses tantôt plus petites tantôt plus grandes, mais toujours en équilibre statique sur ce levier ; de sorte qu'elles ne résistent au mouvement vertical de la bielle qu'autant que ce mouvement est accéléré ou retardé. Gomme M. Willis trouve que l'inertie de la barre doit résister à peu près de la même manière que si sa masse était concentrée à son milieu , mais réduite seulement aux

i7 0,486 = — de sa grandeur (^), il peut comparer facilement, en

P) On « va (On da n* Ll, oote) que celle masie, réduite aux -- conoeDtrèa

aa milieu, a la même forée vive que faute la barre ai l'on tuppoae, comme (kit

M. Wlllit, que ses dirers poiots se déplacent transversalement comme daat

l'élat italique sous l'actioD d'une charge centrale.

En partant de cette même supposition on peut facilement, sana remplacer lei

masses des éléments de la barre par une masse centrale unique, calculer pour ub

instant quelconque les rapports approchés de leurs diferses inerties 1 celle du

poids roulant (ou à sa force centrifuge) et en déduire, comme deuxième approil-

maiion, par deux équations de moments de flexion, l'eut de la barre soumiie é

ces diverses forces ainsi qu'à la charge et aux réactions des appuis ; d'od, pour

ia trajectoire, une équation diflRftrentielle du second ordre, analogue à celle de la

noie ci-ucssos, ou conicnaiit -- , y première puissance et diverfes puissances

entières de x. En rintégrant en série comme nous avons dit qu'a (ail M. SlokM

HISTOKIQUE. COllv

divers points de la barre, les inerties foctices créées par son appareil ; et il trace en conséquence les trajectoires que suivrait la charge pour divers rapports du poids roulant au poids de la barre d'une roideur supposée constante.

La comparaison avec les trajectoires calculées de M. Stokes donne une concordance approchée quand le poids de la barre est très-faible ,- mais quand le poids de la barre approche de celui de la charge roulante^ elle donne un écart déjà sensible qui augmente beaucoup.

£n conséquence M. Stokes, dans une deuxième addition à son mémoire (où il fiait un examen critique d'un article de M. Cox) (^)y pose une équation complète de l'équilibre de rotation de la barre autour d'un quelconque de ses points, sous l'action de toutes les forces y compris les inerties de ses parties. Débarrassée par deux différentiations, comme on fait ordinairement, de la variable auxiliaire qu'elle contient sous deux intégrales qui y entrent^ cette équation devient exactement celle du mémoire de 4779 d'Euler, à deux termes différentiels l'un du 4" ordre par rapport à l'abscisse x, l'autre du 2* ordre par rapport au temps /, car pour tous les problèmes relatifs à une lame ou barre vibrant transversalement, l'équation indéfinie est la même, et ils ne diffèrent que par les conditions définies aux limites de la barre ou de chaque partie de la barre. Comme il ne paraît pas qu'on puisse l'intégrer exactement avec les conditions du problême dont nous nous occupons, M. Stokes en cherche des solutions approchées, en supposant les inerties des divers éléments distribuées proportionnellement aux dépressions qu'ils prendraient sous l'action de poids uniformément répartis d'un bout à l'autre. Il y arrive, mais pour le second cas extrême , savoir le cas 011 c'est la masse mobile qui est très-petite par rapport à la masse de la barre et de sa charge permanente.

Enfin M. Phillips^ et, quelques années après lui, M. Renaudot,

pour un cas plus simple, elle donne des rèsalUls où l'inerUe paraît comptée d'une manière ïufBsanie quant au calcul des flèches successives serrant d'ordonnéca à la trajectoire.

(1) On ihe dynamicul DeOection and Strain on Raiiwaj-Girders (CiTÎl Ensi- Bfer Journal, september 1848).

CCXlVJ BÉSISTANGE DES SOLIDES.

dans de remarquables mémoires, le premier présenté le 33 avril 1855^ approuvé le 48 février i856 et inséré aux AnndUs des mines (^j, le second inséré en 18G2 aux Annales des ponts et chaussées, ont cherché d'une manière nouvelle à donner une solution complète du problème, en tenant compte de la masse de la poutre ainsi que de celle d'une charge permanente répartie sur sa longueur (^). M. Phillips pose d'abord, pour les deux parties dans lesquelles la barre se trouve partagée au point où se trouve la charge, supposée agiren un seul endroit à chaque instant, deux équations ditféi'entielles du quati'ième ordre en x et du deuxième en t comme celle d'Euler, et les équations de condition à U jonction ainsi qu'aux extrémités, qu'il suppose successivement encastrées et simplement appuyées. Il cherche à satisfaire aux équations en exprimant Tinconnue par des séries ordonnées suivant les puissances entières de Tabscisse x^ et dont chaque cocâicient indéterminé est fonction du temps t. Il trouve Cm»lement que ces coefficients peuvent se déduire tous, par des différentiations d'ordre pair, de quatre d'entre eux, dont deux pour chaque portion. Pour déterminer ceux-ci, qui, en vertu des conditions de raccordement, se trouvent engagés dans quatre équations différentielles d'ordre infini, M. Phillips les regarde comme développables eux-mêmes suivant les puis*

sances entières successives d'une certaine constante 7^ proportionnelle au poids de la poutre par unité de longueur, et k sa flexibilité ou à l'inverse de son moment d'élasticité ËI ('), et dont les puissances paires affectent déjà les termes successifs des équations on question. Chacun des coefficients des nouveaux

(^) Calcul lit; la rcsislance des poutres droites sous l'.icUon d'une charge en mouvement, Comptes rendus^ t. XL, p. 951 cl XLI, p. 323 ; et Ann. des AfiM<*#, l. VII, i85S.

(^j Nous |.t*nsoiis avec M. Reoaudol que celle charge permAuenle doil éirc supposée vibrii* comme la poutre elle-même. Cela n'exige, au reste, d'aulro modificaiiou aux ciiualiuus ùe M. Phillips que d'annuler une constante.

i}) Celle cousianle -- est, en efTel, avecles notations précédentes, el eo appelai.l P le poids àc la i.oulre el de sa charge, égale i .

llltiJORlQUt: «MXliij

développements se trouve ainsi dépendre d'une simple équation difFérenliclle du second ordre, intégrable par uno niorche d'approximations successives, en série de termes qui sont des fonclions connues du temps, ou de l'abscisse actuelle du poids voyageur, affectés des puissances d'un produit de ce poids par ia longueur et la flexibilité de la poutre et par les deux tiers de la hauteur due à la vitesse du mouvement (c'est-à-dire des

puissances dd la constante 7 de M. Stokps).

En négligeant partout les puissances deuxième et supérieures de ces deux constantes, M. Phillips obtient des solutions qui sa- ' tisfont^dans les ihuites de Tapproximation à laquelle il se borne, aux diverses conditions de la question, excepté à la condition initiale de Timmobilité de la poutre, car, d'après les fornmles trouvées, les éléments auraient déjà, avant le passage de la charge, certaines vitesses transversales. Mais M. Phillips montre que les mouvements vibratoires qui résulteraient d'ébranlemenis initiaux correspondants sont, dans les limites des données de la pratique, faibles et sans influence sensible sur Tévaluation des déplacements et des résistances.

Le résultat principal esf que la courbure, dont dépend la teudafacë à rompre, peut être évaluée comme pour Tëtàt dé tepos toiis là dôtible actloii dé la chargé placée au tnilieu et du poids ph)pre de la poutre, en àh^mentant cette courbure statique locale dans Ùhë certaine proportion, qui est précisément celtè que donne le balcùl de M. Stôkes relatif au cas oh Tiileîtie de la pbatrê peut être négligée, et qui résulte aussi, comthë bti a VU {note % p. ccxlj), d'une itltégratloh eh série, bornée à deux ou Ifoîs termes, de Téquatlon différentielle du second ovdte posée par M. Willis ('), et se réduisant, qdand on se tient à deut termes-, i ce dont l'ihertie vèrlibalë de \â charge otl sa foi-ce cèhtrifdge ahgmehte sa pression sur la poutre. M. Phillips tite, pour le cas &ixtie poùtte èhcastréé atix dehi bouts, des con^uehtes aha- Ihgttes (').

(1) Éd eiTei, avec la nolaiioD - = , îi trouve i + -x + ^fi zz f ••••

S 9fEI 5 *

{}) Le deuiième lermo de la seconde pareothèio de reipression oumérotre (70) •brait besolii d'être rédôil dé inoltié, comme Ta rtôirqué M. èf«ic«, eu rMliflaoi uoe ioadvei lance daoi le calcul finaL

CCXlviiJ RÉSISTANCE DES SOLIDES.

Le calcul de M. Renaudot est imité de celui de M. Phillips, mais relatif au cas où la charge roulante occupe^ comme un convoi, une certaine longueur de la poutre. Dans ses Résumés et conclusions (p. i97), il néglige aussi ce qui vient de la masse de la poutre en ce qui est relatif aux rapports de la tension dynamique à la tension statique.

Cette solution^ qui se distingue par la hardiesse des expédients^ mériterait qu'on poussât plus loin le calcul des termes successifs des trois ordres de séries entières dont M. Phillips a cm pouvoir faire usage et qui s'y combinent, principalement celle qui procède suivant les puissances de la masse de la poutre, afin de s'assurer au moins par des exemples numériques nombreux, de leur convergence dans les cas de la pratique. La question, dans l'état actuel, ne paraît point épuisée. On a vu en effet tout à Pheure que la correction de la flèche statique, semblable à celle qui a été déduite par M. Stokes du calcul de la courbure de la trajectoire pour une inertie nulle de la poutre, donnait des résultats très-différents de ceux des expériences de M. Willis pour peu que la masse de la poutre approchât de celle de la charge roulante.

On a vu aussi, au n» XXXII, et Ton verra encore au n* LX, que les séries entières n'ont pas toujours fourni à MM. Poisson et Cauchy, dans des problèmes 4'équilibre, des résultats conformes, même par approximation, avec ceux d'nne analyse plus exacte où Ton ne faisait point usage de cette forme de développement non justifiée; et Ton a encore vu (n*^ Llf et LUI) que dans des questions de mouvement ou de résistance vive, ces sortes de séries, tout en donnant à peu près les flèches centrales ou les allongements dynamiques totaux des barres heurtées transversalement ou longitudinalement, ne fournissaient, pour les allongements individuels des parties, ou pour les courbures, que des nombres fort différents de ceux que révèlent les intégrales exactes en séries de sinus, eu de sinus et d'exponentielles. Une masse roulante, il est vrai, ne doit pas produire autant qu'une masse heurtante, ces vibrations du second et du troisième ordre qui rendent très-onduleuse et trèsvariable la forme réelle de la pièce, et qui produisent, en cer-

HISTOIIIQUE. CCXliX

iaios points, des courbures très-fort au-dessus de celles qu*on a quand l'inertie est négligée^ ou la déformation supposée propagée instantanément. Mais quelque chose de semblable doit néanmoins se produire ici à un certain degrés et paraît échapper aux calculs que nous citons^ ainsi qu'aux expériences faites jusqu'à présent^ où Ton n*a guère observé que les flèches de courbure (*).

Nous pensons donc que jusqu'ici il n'y a de solutions ana* lytiques complètes et certaines du problème de la résistance aux déformations dynamiques des pièces solides que celle qui a été donnée par Navier pour les allongements produits pai* un choc longitudinal^ en y joignant celle que nous avons donnée suivant les mêmes principes et par une marche analogue pour le choc transversal (n* précédent LVl).

LYIIL SorAices élaatlqoefl. Spbère et ejllndre crcoïK. Tnyaiim. Vasca. Chandlèrca et Témerwmîn. Mariette. IVaTler. M. Ijamé. — Voyons maintenant ce qui a été fait pour le calcul des déformations et des vibrations des vases et des plaques.

C'est pour arriver au calcul des épaisseurs des tuyaux cylindriques supportant des pressions dans leur intérieur, et de celles des rondelles ou platines qui les ferment, que Mariotte a entrepris et inséré dans le Traité du mouvement des eaux ses recherches théoriques et expérimentales sur la résistance des solides en général.

D'après la première des deux règles qui terminent son deuxième discours déjà cité (n* IV), l'épaisseur du tuyau, supposé cylindrique à section circulaire, doit être proportionnelle à la fois à la pression et au diamètre.

Ce théorème se démontre de suite en supposant le tuyau

(^) Il seraii possible d'obleoir la suite des formes d'une barre ou beurlée ou sollicitée par une cbarge roulante, en fixant latéralement, à plusieurs de ses points, des styles qui marqueraient leur trace sur un plan Terlical enduit de noir de ftimée et entraîné rapidement dans une direction oblique à rhorizon pour éTîter la confusion des difTèrentei traces. Ce seraii un sujet digne de la sagacité des habiles expérimentateurs qui ont enrichi la sciehce de Uni de faili soigneiisèment observés, surtout au ConserTatoire sous la direction de M. Morin.

CCl RÊS1STA^C£ DKS SOLIDKS.

coupé loDgitudinalemeot par un plan méridien . Pour Téquilibre d'une moitié du tuyau et du fluide contenu^ la tension sur Tunité de longueur, dans chacune des deux coupes de la matière suivant son épaisseur, doit être égale à la pression intérieure dt Veau sur l'unité superficielle, multipliée par le rayon.

De même, pour une sphère creuse, Navier a remarqué que la tension totale, dans une coupe annulaire diaitiétrale, doit être égale à la pression intérieure par unité superficielle, multipliée par la surface d'un grand cercle intérieur, ce qui donne, par unité de longueur de Tare intérieur de la coupe, une tension égale à la pression multipliée par la moitié du rayon.

Quant aux dilatations que les tensions font éprouver à la paroi suivant les sens tangentiels transversaux, et auxquels il faut

imposer la limite désignée ordinairement par -- pour établir

l'équation de cohésion, elles ne sont point égales dans toute l'épaisseur de la paroi, soit cylindrique, soit sphérique; et leurs moyennes n*ont point pour mesure, même lorsque Tépaisseiir est très-petite, les tractions divisées par la section et par le module d'élasticité £ de rallongement et de la flexion d'un prisme de même matière dont les faces sont libres. UM. Lamé et Clapeyron ont déterminé, en i828, par une analyse rigoureuse, fondée sur la théorie de l'élasticité (*), la manière dont les tensions et les dilatations varient dans l'épaisseur, soit d'un tuyau cylindrique indéfini, fermé aux deux bouts [% soit d'une sphère creuse, dont Poisson s'est occupé la même année à peu près dans les mêmes termes ('). On en déduit que lorsque les parois sont très-minces, leurs dilatations dans le sens tangeutiel transversal sont égales aux tensions par unité de section diamétrale, divisées, non pas par le coefiicient d'élasticité ordinaire £, mais

par - E pour le cylindre, et par ~ E pour la sphère. On trouve, 7 o

{}) Sur rèquilibre ioièrieur des solldei bomogèoes, 4828 (SaY. élr., L IV), n- 45 à 48, et 57 i 60.

(*) Nouf pensons qu'il cooficot d« supposer toujours celle fermelurt, uxbmt dans ao tuyau de conduite ouyert aui deux bouts s'il est d'une grande ioʧaenr, car la pression de l'eau coiiieone doit êlre à peu près égaie eu loua seas.

(>) Ann. de ch. et de ph.y 48:28, S* série, t. XXXVUI, p. 3U0«

HISTOBIQUE. . CClj

aussi^ que siTépaisseur est le i/6 du diamètre extérieur, la dilatation tangentielle, dans la sphère comme dans le cylindre^ est à peu près deux fois plus forte du côté intérieur que du côté extérieur {*).

Les deux théorèmes élémentaires ci-dessus T = p'' pour le

tuyau et T := - pr pour la sphère creuse à parois minces (r et r

étant leurs rayons, p la pression intérieure, ou plutôt son excès sur là pression extérieure de l'atmosphère, et T la traction tangenticUe), peuvent se démontrer aussi sur des portions, mêtae infiniment petites, de leurs parois, à savoir sur une calotte de la sphère et sur une bande longitudinale du tuyau. Biais ils exigent pour être exacts, comme l'observe M. Lamé (*), que les tractions tangentielles exercées aux contours de ces portions produisent les mêmes dilatations que si la sphère était entière ei partout également pressée et que si le cylindre était aussi entier et même de longueur infinie, ou que si la partie considérée était Infiniment éloignée des deux couvercles ou platines de fermeture. Il en résulte, continue M. Lamé, que si une chaudière à vapeur est composée d'un cylindre terminé par deux calottes de sphère, les tractions ne se régleront conformément aux deux théorèmes T = pr et - />r qu'autant que

les épaisseurs de la paroi cylindrique et du fond sphérique seront entre elles comme 7 fois le rayon r de la partie cyhndriqœ est à 3 fois le rayon r de la partie sphérique. C'est, en effets la condition pour que les dilatations tangentielles soient les mêmes pour toutes deux, à leur cercle de jonction, et conséquemment partout, et que par conséquent aussi le rayon de ce cercle s'étende autant comme faisant partie de Tune que comme faisant partie de l'autre (').

(^] M. Barlow, dans son chapitre Force des pretsei hydrauliques, trouve que ce rapport n'est que celui des lOYcrseï des diamètres ioiérieur et eitérieur. Oa voit qu'il est bien plus coosidérable. C'est que son calcul est basé sur la supposition que l'aire de Taoneau est la môme après qu'avant la dilatation, et que la densité est restée uniforme, ce qui n'est poiut eiact (a Treatise of ibe Streogtb, etc., édition de 4837).

(*) Note sur les épaisseurs et les courbures des appareils à vapeur (Comptes rendus, 48 février 48uO, t. XXX, p. 457).

(,^) bu eflet si <r, o sont lus deui épaisseurs supposées petites, les diUutions

CCllj RÉSISTANCE DES SOLIDES.

La même règle peut servir à très-peu près pour les épaisseurs de la paroi cylindrique et du fond sphérique d'un réservoir d'eau en tôle(*j.

C'est au moyen des mêmes formules du mémoire de 4828^ modifiées comme à la 16* leçon sur Télasticité en y introduisant deux coeflicients, que M. Lamé a fourni à M. Regnault un calcul approximatif des dilatations de ses piézomètres de deux formes, dont nous parlons à Tappendice V, p. 668 et 67i.

Si un tuyau cylindrique a une coupe transversale d'une autre forme que le cercle, la tension en un endroit quelconque, comme le prouve Navier par un raisonnement simple, est la moitié de la pression intérieure (supposée constante) pour une surface égale à la projection de l'unité de longueur du tuyau sur un plan parallèle à ses arêtes et à la normale en cet endroit. Et^ pour un vase fermé, par une ratson semblable, la somme des tensions dans la portion de paroi répondant à la courbe de contact d'un cylindre qui envelopperait ce vase tangentiellcment, est égale à la pression intérieure sur une suriace égale à la section droite du cylindre.

Mais quand les coupes ne sont pas circulaires, la pression produit généralement, avec la tension qu'elle développe, dos flexions qui tendent à les rendre telles, et dont il résulte des inégalités plus ou moins considérables dans la répartition des dilatations suivant les épaisseurs : il faut calculer la plus grande pour lui imposer une limite (').

des parois du cylindre el de la splière seront rcspcciivemenl^ comme nous venons

de dire, el . Leur égalité donne bien la proportion - = -- de

8 4 0 or

M. Lamé.

(<) La formule i laquelle anive M. Dupuil pour ce fond (Traiiè de la conduite

et de la distribution des eaux, page Hi) revient k7= - pr donné ci-dessus.

L*atiaque que M. Love dirige contre celle formule (Des diverses résistances de la fonte, du fer ri du Tacier, 4859, n" 153, p. 935) n'a nul fondement, non plua que le raisonnement par lequel il prétend prouver qu'au centre delà calotte la tension est nulle.

(*) c'est ce qu'a fait M. Dresse (Société pliilomathique, siS février 1857), sur une

HISTORIQUE. CCliij

Quand la pression la plus forte vient de Textérieur de Tenveloppe sphérique ou cylindrique, les conditions sont analogues, excepté lorsque dos inégalités de courbure ou d'épaisseur déteraiinent des flexions qui peuvent amener un aplatissement ou écrasement.

LIX. Plaqoes et mcmbranefl élaatlqiiefl. Ijevr équilibre et leam Tlbratlona. Ealer. JTaeqaes Bern^allI (de 1787). Sopble C^ermaln. liai^rani^. Polflfl^n (18i4). Première reetiBeatloii, presque «•mplèie, et applleationfl ei^aetea, par IVairler. — Quant aux plaques, aux membranes., et aux vases ouverts, tels que les cloches, nous pouvons parler ici à la fois de ce qui est relatif à leurs vibrations et de ce qui regarde leurs déformations statiques.

Il n'a été fait dans le siècle dernier, comme dit M. Poisson (^),

que quelques essais infructueux sur les surfaces élastiques pliées

à la fois dans deux sens différents. Ainsi Ëuler, après avoir

rf*Ç rf*Ç rf'Ç

donné en 1764 une équation de la forme — = a* t-;+ 6' ^

pour le mouvement vibratoire des tambours ou membranes parfaitement flexibles, en les considérant comme des tissus de flls élastiques se croisant rectangulairement ('), a présenté, dix-huit pages plus loin, un essai sur le son des cloches ('), qu'il décompose, moins heureusement, en anneaux vibrant indépendamment l'un de Pautre, supposition qui conduit à des résultats en désaccord avec l'expérience comme avec le véritable état des choses.

En 1787 un jeune géomètre portant le beau nom de Jacques

indication de M. Bélanger, pour une chaudière dont la coupe offre un petit degré d*ellipiicité. Voir aussi le n* 407 delà deuiième édition (1863) de la Théorie de la résistance et de la fleiion plane des solides, par M. Bélanger.

(1) Mémoire sur les surfaces élastiques, lu le 4*' août 4844 (Mém. de la classe des sclenees mathématiques de l'Iostitul, 4842), déji cité n**XXn et XXIX.

(*) De tnotu ,vibrat&rio iympanorum, au tome X (4767) des Novi commenlarii Académie Pelropolilanc, p. S43.

(*} Teniamen de iwio eampanamm, {idêm^ p. 4785.)

CCliV RÉSISTANCE DES SOLIDES.

Bornoulli (^), présenta, à roccasîon des expériences que venait de publier le physicien allemand Ghladni sur les plaques sonores (*), un mémoire dans lequel^ appliquant à une plaque rectangulaire une hypothèse analogue à celfe qu'avait faite Eu- 1er sur les toiles ou membranes, il la considère comme formée de deux systèmes superposés de lames parallèles à ses deux côtés, ce qui lui donne facilement, xeiy étant les coordonnées comptées dans les mêmes directions, sur le plan moyen, K une constante et ( Tordonnée normale ou le petit déplacement perpendiculaire à la plaque, une équation

{dx"

d'^\ „ dK

selon que la plaque est en équilibre sous une charge Z par unité superficielle au point (x^y) ou selon qu'elle vibre, m représentant sa masse aussi par unité. Cette équation est incomplète;

elle manque d*un terme âK — r-7-r comme nous allons voir.

dx'dy^

L'auteur reconnaissait, au reste, qu'on pouvait lui objecter la division également possible de la plaque en lames non droites^ o\\ bien non orthogonales, etc., a ce qui ne donnerait peut-être pas la même chose^ 0 mais en ajoutant qu'il ne pré&^atajt sofi mémoire que comme un premier essai sur ce sujet.

Cependant Chladni étant venu en France vers i808 et ayant montré (es curieuses lignes nodales, de forme courbe réguUèr^ et très-variée, qui sont dessinées par le ^ble fin répapdu sur les plaques qu'il faisait vibrer à Taide d'un arcbçt> rAcadéoûe^ sur l'indication du souverain d'alors, propos^ ea 1810 pour sujet de prix de donner la théorie mathématique des vibrations des surfaces élastiques^ et de la comparer à l'expérience ('). Une seule

{}) Fils du. second Jean (on petit-flls du premier, et nereu de DaoinI), né en 4759, mon en 4789 d'un accident dans la rifièrt de Keva. £<sat ikéQridquê mtr leê vibratioM de» plaque» rectanglet et libres, présenté le %\ lepleoibM 4788. Tome Y (4789) des Nova acia,

(*) Celle première publication de Chladni parut à Leipsig en 4787.

(>) Trailè d'acoustique de Cbladni, traduction publiée par lui en 4899 p. 867.

HISTORIQUE. CCir

pièce fut envoyée, car. seule entre les géomètres du temps, mademoiselle Germain (^) ne se laissa pas décourager par un mot de Lagrange, qui avait dit qu'il faudrait, pour la solution de cette question, un nouveau genre d'analyse. Elle aperçut et énonça un principe qui lui parut capable de conduire à l'équa-

tion véritable. Ce principe revient à ce que la somme - -|- - des

P P courbures^ ou des inverses des rayons de courbure p, p' dans

deux sens rectangulaires, somme qui mesure en quelque sorte le degré de déformation de cbaque élément de la plaque^ doit

jouer dans la flexion le même rôle que la courbure *- dans la

flexion d'une simple tige primitivement droite ; en sorte que cette somme multipliée par une constante mesurerait la force élastique tendant à ramener à sa forme plane l'élément superficiel courbé, et à diminuer par conséquent la même somme; d'où il suivrait que le moment ou travail virtuel de la réaction en question serait égal^ pour toute la plaque, à la somme des superficies des éléments multipliés par une constante K et par le

produit (-+ "/jM" + -)dela même somme par sa variation ou diifércntielle par 8; en sorte que le potentiel des forces élastiques développées, ou la quantité dont la variation donne

le travail virtuel, serait -s* ( - + - ) par unité superficielle, 2 \P P/ Gomme elle fit, à ce qu'il parait, une erreur de calcul en posant ou en développant l'équation de travaux virtuels qui en découle, son mémoire de 1811 ne fut pas jugé remplir les conditions du programme. Mais Lagrange, qui encourageait les travaux de cette personne aussi modeste qu'éminente, adopta son idée et lui montra qu'on en tirait facileoDBnt, par les méthodes de la mécanique analytique, l'équation

(*) Née en 4T7d, morte ea 4834. Voyez la notice en tête de ses Considérattons sur Vêlai des sciences et des lettres, publiées cq 4833. (>) Eu effet, en rèdulsaot les courbures aux valeurs qu'elles prenneol quand

CClvj RÉSISTANCE DES SOLIDES.

La question fut remise au concours une deuxième et une troisième fois, et Sophie Germain, en présentant en 1813 cette équation différentielle complète^ avec un essai d'établissement, par le même principe, des conditions-limites pour les seules plaques rectangulaires, obtint d'abord une mention honorable; puis, de nouveaux développements, et l'extension à des plaques naturellement courbées en forme de surface cylindrique, sur lesquelles elle fit également des expériences, lui méritèrent le grand prix en 1816. Elle ne se détermina qu'en 1821, sur les exhortations de Fourier et de Legendre, à publier ses travaux ['), auxquels elle donna une suite en 1826 (*). Tout en soutenant son hypothèse, elle semble décliner l'invention de l'équation différentielle, en se réservant pour tout mérite de l'avoir appliquée. Ses intégrales, exprimées en sinus et exponentielles, sont partictUièreSf et ne fournissent que le nombre de vibrations principales ou du ton le plus grave, et le nombre des lignes nodales, sans déterminer les amplitudes de celles-là ni les formes de celles-ci. On verra plus loin que le potentiel, ou la quantité k rendre un minimum pour l'équilibre, est proportionnel, non

(1 1\* - -{- -) , mais à ce carré plus une constante multipliée

par la somme -^+-^9 qui, traitée de même, conduit à la

même équation du quatrième ordre (').

Aussitôt qu'il eut connaissance de l'équation différentielle nouvelle, Poisson en chercha une démonstration exacte, et lut

•Om TMtent trèf-petltei> on i, pour tonte retendue de la plaque

•fi«'(S*$)(g+f)

qui, en intégrant par parties deux Toii, donne, pour le terme reiUnt affecté du

(I) Recherches sur la théorie des surfacei élasilques, in-4% (*) Remarquet sur It nature, les bornes et rétendue de It question des surfaces éltftlqnei.

(*) Kn effet, les deux rayons de courbure principaux p et p' sont donnés oomne

HISTORIQUE. CCWij

k ce sujet le mémoire, déjà cité, du i* août 18U. Dans la première partie^ il s'occupe des membranes, c'est-à-dire des surfaces infiniment flexibles ne résistant aux déformations, comme la corde vibrante, qu'en vertu de tensions longitudinales ou tangentielles ; et il parvient^ en embrassant le cas où la forme primitive est courbe, à une équation qui se réduit, lorsque cette forme est plane, à celle d'Euler (de 1766), plus générale que celle de Lagrange, car, dans la Mécanique analytique (^)^la ten-

l'on Mit (quiDd U courbure eil petite) par Téquatlon du 8ecoDd*degré

i; *te»;Vp dy^) [dxdyj ' d'oA résulte, eo tirant leurs râleurs et eu substituant,

pt + p'i \dx') ^ \4xdyJ ^ W)

MulUpliant par dxdy, prenant les \\ , différentiant par 8 et iDlègraot par pirtiet, ce qui restera affecté du double slgue et de dxdyBz sera le même trinôme du quatrième ordre qui est fourni par I - + -, j •

0) Edition de ISii, l"* partie, section V, cb. III, % 11, n«* 44, '45.

Fourler a aussi étudié les swrfaecM élastiques, d'abord seulement, dans un Mémoire présenté le 8 Juin 4818, sous le rapport de la propagation d'un mouTOment qu'on j excite quelque part, lorsqu'elles sont infinies en tous sent; et il t donné à ce sujet, de leur équation différentielle

une intégrale en série d'eiponeotielles réelles et imaginaires susceptible d'être sommée par une intégrale définie. M. Poisson ayant présenté à cette occasion, à la séance suivante de la Société philomathique, et inséré i son Bulletin, p. 97, des Refnarques sur les rapports qui existent entre la propagation des ondes à la surface de l'eau (sujet dont U s'était drjè occupé, même Bulletin, Juin 4817, p. 85) et leur propagation dans une plaque élastique, Fourler répliqua par une Note relative aux vibrations des surfaces élastiques et au mouvement des ondes, où 11 donne de l'équation précédente une intégrale sous forme finie contenant deux fonctions arbitraires engagées chacune sous une intégrale double prise de ^ oo i oo par rapport à des rariables auxiliaires. Lt même Intégrale est donnée par Poisson quelques pages avant, au même cahier, p. 4S5, sous le titre : Sur Vintègrale de Véquation relative aux vibrations des surfaces élastiques, en

f ^^ f / ,— ^ dz d^z

partant de celle 2 = \ e""^ 9(x -^-ioLymtjda de -- = m — , trou-

J— en ' dt dx^

Tée par Laplace (J. de rÉc, pol., 44* cahier). Mais M. Poisson ne fait aucun nsage de cette intégrale dans son Mémoire de 4828 od il ne considère qu'une plaqne de dimenaiona finies.

CCWilj RÉSISTANCE DES SOLIDES.

ûon est seulemenl supposée é^^ale ou tous sens. Passant à ce qui est relatif à une plaque, c'est-à-dire à une surface capable de résister à la flexion^ il suppose sa résistance due à des forces répulsives mutuelles entre ses points matériels (n** XXII ci -dessus). Ces forces, sur lesquelles il ne fait d'autre supposition que celle de leur action à des distances insensibles seulement, ne se trouvent finalement engagées, comme dans les calculs relatifs k Faction capillaire, etc., que dans des intégrales définies se réduisant à des constantes arbitraires déterminables par l'observation. Les changements de distance qui mettent ces actions en jeu ne sont, dans son analyse, que ceux des points de la surface moyenne, car, comme nous l'avons dit au n* XXH et comme il Ta reconnu, il réduisait la plaque à une série de points répandus sur cette surface plane, d'où il suit que le trinôme différentiel de Sophie Germain et de Lagrange n'est multiplié que par le carré de la masse de l'unité de surface de la plaque et igBûp conséquent par le carré de son épaisseur tandis qu'ij devrait l'être par le cube. Cette équation est applicable du reste k des surfaces douées de tous les degrés de flexibilité, car selon i|u*on néglige certains termes ou certains autres elle peut servie à la plaque ou à la membrane. Poisson termine son mémoire en montrant (comme nous venons de faire dans deux notes, mais en embrassant le cas de courbures plus grandes) que la surface élastique, en appelant dta son élément, a la propriété de rendre

nn minimum non - seulement \cf(«>(- + ~;) ^^^^ encore

V (fu f -; H — 7i) ^^ P^' conséquent toutes les sommes de ces deux

intégrales multipliées par des constantes; ce qui vient, observeirHp de ce qu'elles diffèrent entre elles d'une constante multipliée par 1—,, dont la différentielle par 8 est nulle quand on

JPP n'a égard qu'à ce qui reste sous le double signe H après qu'on a remplacé dta par sa valeur dxdy et intégré par parties. Cette propriété généralise celle qui avait été aperçue par D. Bemoulli et développée par Ëuler pour les simples lames (n* XIII).

HISTORIQUE. CClll

Navier le premier envisagea les surfaces élastiques ou le& plaques dans- leur réalité physique en tenant compte de leur épaisseur^ dans un mémoire déjà cité(n^XXII)^ présenté à rAc%' demie le 14 août 1820 et imprimé par extrait en 1823 (% 11 composa pour cela (comme il lit Tannée suivante pour des corps de forme quelconque) la résultante des actions s'exerçant sur chaque molécule de la part de toutes les molécules environnantes, en vertu de ce que leurs distances ont été augmentées ou diminuées par la courbure de la plaque^ dont il suppose que les lignes matérielles primitivement normales aux deux faoef leur sont restées normales. Comme il se sert du calcul des vt^* riations et de la méthode de la Mécanique analytique^ les intégrations par parties lui fournissent non-seulement l'équation différentielle du quatrième ordre avec un coefficient où Tépaisseur entre au cube^ mais^ encore, les équations aux limitée^ ou les conditions à remplir aux bords de la plaque selon la direction et l'intensité des forces extérieures qui agissent sur ces bords»

Son analyse est exacte, excepté en ce qu'il suppose que les petits éléments linéaires^ dans le sens de l'épaisseur, restent de la même grandeur qu'avant la courbure de la plaque, tandis que,

z z par suite des dilatations -, - des éléments linéaires dans les sens

9 P parallèles à la plaque, au point à la distance js de la surface moyenne, et en vertu de ce qu'on suppose nulles les pressions perpendiculaires aux deux faces, les premiers éléments auraient dû être regardés comme se contractant dans des proportions

- ( - + n) d'sprès la théorie de rélastlcité, qui ne fut créée que

l'année suivante par Navier lui-même, et développée yiiteiatn^

en 1827 dans ses conséquences par Gaucby et Poisson.

De cette omission il résulte que le potentiel par unité de

surface, ou la quantité dont il faut rendi'e un minimim II

somme des produits par les éléments superficiels, est propor-

1/1 1 \' 2 1 tionnel, dans son mémoire, à -( -+ -) — ---^.tandis

(>) RulleliD de la Sociétô philomaihique, p. 93.

CClx RÉSÏSTANCR DES SOLIDKS.

1 /i 1 \ * 3 4 qu'il l'est réellement à -(-+-7) —7—;. Cela n'empêche pas

Navier d'arriver à la véritable équation indéfinie du quatrième ordre, ce que l'on comprend d'après la remarque finale du mémoire de Poisson rapportée tout à l'heure ; Terreur n'afTecte que les équations définies à satisfaire au contour. Encore est-elle tout à fait sans influence sur les belles applications qu'il en fait à la plaque rectangulaire, en sorte qu'on doit considérer Navier . comme ayant le premier montré le genre de rectification qu'il fallait faire subir à l'expression du travail virtuel de déformation adoptée par Sophie Germain et Lagrange.

Il suppose horizontale la plaque rectangulaire, et :

i* Appuyée au contour sur un cadre fixe et chargée de poids arbitrairement répartis sur sa surface; d'où il déduit comme cas particulier ce qui arrive quand la charge est ou au milieu ou également répartie, ce qui sort à démontrer analytiquement le théorème, prouvé tout autrement par Hariotte, de la constance du poids de rupture quelles que soient les dimensions.

2* Appuyée seulement sur quatre angles et sollicitée à tous les points de son contour par une force constante horizontale ou parallèle à son plan primitif (comme l'est une simple lame sollicitée debout ou longitudinalement].

Les intégrales offrent une belle application des méthodes de Pourier, alors nouvelles et non encore publiées.

LK. Suite des plaque» et membranea. PotiMen. CSaueby. M. I^amé. M. KlreUiair. Patentlel melécnlaire véritable des plaques. IVombre des eundltiuBs auiL limites. — Mais la découverte des équations généraleMe l'équilibre d'élasticité permit bientôt à Poisson en 4828^ et à Caucby la même année, de présenter d'une autre manière celles qui sont relatives aux surfaces élastiques.

Poisson s'occupe d'abord de la membrane (^), à laquelle il attribue une courbure quelconque primitive ou acquise. Il la suppose sollicitée seulement par des forces agissant sur son

(*) MluoiN av t. vm de riBsUtut, 4898, b** SI et raifioti.

HISTORIQUE. CClxJ

contour ; ainsi que par d'autres s'exerçant sur tous les points à la manière de la pesanteur et de l'inertie^ et assez mince pour que les pressions intérieures puissent être regardées comme les mêmes dans toute l'étendue de son épaisseur. En exprimant l'équilibre d'un de ses éléments terminés par quatre faces normales^ il obtient une équation, à laquelle M. Lamé arrive d'une manière bien plus simple (') en taillant l'élément en forme de prisme quadrangulaire tronqué, qui a ses faces latérales perpendiculaires à deux des coordonnées. De cette équation il déduit^ quand la membrane est primitivement plane^ deux équations différentielles du second ordre donnant les déplacements que ses points peuvent éprouver dans deux sens parallèles à son plan^ et^ aussi^ l'équation du second ordre, semblable à celle d'Euler (1766) donnant les vibrations perpendiculaires au même plan. M. Lamé l'a intégrée pour des cas remarquables où les diverses lignes nodales doivent se déterminer par des considérations tirées de la théorie des nombres.

Pour la plaque susceptible de résister à la flexion^ Poisson et Cauchy (*), à défaut d'une intégration complète des équations de l'élasticité, jusqu'à présent ineffectuée pour les corps finxi non sphériques; regardent les déplacements à l'intérieur comme exprimables en séries convergentes procédant suivant les puissances entières de la très-petite ordonnée z qui est la distance de chaque point à la surface moyenne divisant l'épaisseur en deux parties égales. En supposant qu'aucune pression ne s'exerce sur les deux faces^ et en ne conservant qu'un certain nombre de termes des développements, ils arrivent à l'équation différentielle du 4* ordre ci-dessus, où Z doit être^ comme l'on voit, une force agissant sur toutes les molécules à la manière de la pesanteur ou de l'inertie, et, du reste, distribuée* d'une manière quelconque aux divers points (')• Mais on peut en étendre

(«) NeuTième leçoQ lur l'éUtUcité, 4853.

(*) Mémoire de M. Poisson du 44 tTril 48S8 ta U vm de nnsUtut, n* 65, p. 593 et loif. ; et Mémoire du S octobre 4828 (préienlé araiit It pabUctUoQ de eeloi de Poisson), aux Exercices de mathématiques, 3* année, p. 3S8-356*

(>) Pour le faire comprendre nous croyons deroir rapporter ici, mus nne foriM simple, ce qu'il y a de plut essentiel dans leur analyse. Soient z Iv coordonnée normale, comptée depuis le plan boj en de la plaque, jc et y lea den antres ooor-

CCllij RÊSiSTAMCË DES isOLlDtS.

approximativement l'emploi, dans les problèmes d'équilibre, au cas où Z représenterait une pareille force augmentée d'une charge étrangère distribuée aussi suivant une loi quelconque

dOBDèM reeUDgIes, Se Tépaliseur trët-peiile de U plaque, lur lei deoi hcei de laquelle oa suppose qu'aucune prorsioa De s'exerce, eu sorle qu'arec les oou- UoQS du troisième Ai^pcadicc, p. hil, ou doit avoir />. • =: 0, jpy% = 0, pzi = 0

pour2 = ±:e; cdQd soil r- l'iateDsiiô de la force, parallèle aux z, qui agit

sur ruDité de Toluuie i la manière de U pesanteur ou de l'inertie, au point (x, y, z), ou soit Z celle force rapporlùu A ruuilé de surface. i*osuus les équa- UODS d'équilibre intérieur (môme Appendice, p. (>85) *.

dx "^ dy dz ' dx dy "^ dr ' it ~dx "^ dy ^ dz '

DlffftrentioDS-les respecUfement par rapport à a:, à y, à z; puis difTârenlioni par rapport i z ce qui en résulte, et ajoutons, à la troisième équation non dilTerentièe, les trois résultats de celle double dilTcri-tiiiaiioo, multipliés rcspectitemeot e« e« e» i*- t'- i*-

^" T' 8 ' è'* °**"* *^°"*' ^" ''"''* :i "^ ir "^ ? '•

^ f'> ^ t 'Hl^' - '' ^ f'HjLL 4 ^ "^^I- ' 4- ^^'''^' 4. til^ ■*" 6 dz^J li" d'z \ dj» "^ "■ dxdij "^ "rfy* J "^

Si 1*00 fait z = 0, les trois dernières parenthèses du second membre s'annuleront, car si l'on s'arrête aux quuire premiers tvrmea du développement suivait, supposé convergent et applique à pix, p^z% pzz, où les indices zéro marquent ce que derlennent, pour z = 0, les quaniiir^ qui eu soûl affectées

cette •■BoUtioQ des trois binômes cuire parcuihèsej est iiiïcossaire pour que ces trois oonposantea de pression pix, Pysi pzs deviennent nulles pour z = d=a comme on le suppose.

L'équation préoèdettte lé réduit donc, en effaçant, dana ta parenthèio du pro» micr membre, le terme en e* vis-à-vis du terme qui n'en est pas affecté, à

^ ^rffp^\ . c,ffifv^\ 4. ftp^±\ 1

3 LUrdaVo"^ " \dzdTdyJo VdrdyVo J*

Or si Bout mettons dans le aecond membre,^ qui est affecté do t\ à la place de P**i f*«V' Pvr '®"''* trieurs (8ii) du $ S6, p. àSi du 3* Appendice, en fonction des déplacements v, e, w des points dans les sens a;, 9, z pour une matière iso* trope, nous pouvona y romplaceri au mémo degré d'approximation, les dérivées

des déplacements parallèles i<, v par leurs valeurs en fonction des dérivées

HISTORlQUi^. CCUll]

sur la face supérieure, car il devra en résulter sensiblement la même flexion, sauf à changer très- légèrement la valeur de la constante affectant le trinôme différentiel.

Si des forces agissent non -seulement dans le sens normal mais encore dans deux sens tangentiels rectangulaires, on arrive de la même manière à une équation qui se sépare en deux autres et dont Tune donne les déplacements tangentiels comme dans le cas de la membrane susceptible de dilatations et de contractions, l'autre les déplacements normaux.

Mais il faut avoir aussi les équations d'équilibre définies, \ satisfaire aux limites, c'est-à-dire aux bords ou au contour d'une portion quelconque de plaque dont nous supposons les faces horizontales pour fixer les idées. Poisson en pose trois, savoir : 1* une pour la somme des forces verticales, ou, comme on dit, des efforts tranchants qui peuvent agir sur l'unité de longueur de ce contour; S"" et 3"^ deux pour les sommes de moments, autour de parallèles aux deux coordonnées horizontales, des forces tant horizontales que verticales s'exerçant sur la même unité de longueur du bord ou cylindre contournant» Les forces verticales sont tenues en équilibre de translation par les réactions transversales, c'est-à-dire par les composantes de pression intérieure, de même direction, agissant à travers une section aussi verticale, rendue légèrement inclinée et courbe par les petits glissements qui les développent. Ces composantes sont nulles sur les

dw dw

— , — du déplacement normal w, tirées de la supposition qu on a Dm = 0 .

dx dy

j»ytssO, j»a = 0 dane ie«te l'èptisteur comme on l'a sur les deux ftcei

... .-.«''» dw dv dw

de la plaque; c'esl-à-dire oo peut faire 7- = — x'»ir = ""Zr» •'

az dx dx wff

d dw e^ d rdu dv\ e' /d*w d^w\

t-i-wf 8e« /d^w. dhv. dho.\

résulte

i^est'à-àlre Vé^uttlôB du qnatrièdie ordre qui èuit à établir et iqui» étant totègrée, donnera le déplacement normal ito du plan moyen, et od l« élt II fbn» agissant, i l'endroit {x^ y), sur une portion de la plaque répondant 4 Tmlté di surface.

CClxiv RÉSISTANCE DES SOLIDES.

faces supérieure et inférieure^ et Poisson a pu les négliger, sur toute répaisseur, dans le calcul qui a conduit à l'équation différentielle indéfinie; mais^ ici, il faut en tenir compte, et Poisson conserve, dans la série entière par laquelle il les représente, le terme affecté du carré de la coordonnée verticale (^).

Quant aux réactions ou composantes de pression horizontales s'exerçant à travers la même section verticale, comme leurs sommes, pour toute l'épaisseur, sont nulles quand la plaque horizontale n'est sollicitée que par des forces verticales, les développements de ces forces manquent du premier terme; et H. Poisson les réduit au second terme^ ce qui revient à les supposer (comme dans la théorie de la flexion des simples tiges ou lames) proportionnels à la petite ordonnée z, distance de chaque

(1) L'aoDulalioQ nécesMire, poor z = d= e, de cm composantes pm» et py«, reprétCQtéet approiimatitemeDl par

doDoe (t-) ==^>''*^^*~'i'(jl) ^^ rMiii^ ^^u^* expreuiooi i la forme

|)=f— £] •'rf^^-ï] ^o'I^'S"® ^ ^^1® qu'on a trouTèe, en ce qui est rela-

lir à une simple tige, pages S44, 393, 394, pour te glissement qui leur est proporlioonel, ce qui fournit

pour les sommes de ces réactions sur Tunité de longueur de sections perpendiculaires aux X et aux y respecllTement. Et comme les deux premières des trois équations d'équilibre intérieur, rapportées tout à Theore dans une note, donnant

Vd««A ^KdzdxJ. \dzdyj.' \d2* J. \dzdxj. \dzdyj.*

on peut, au moyen des relations entre les déplacements u, v, w données à la fin de cette même note, exprimer facilement ces deux sommes de forces en fonction dn seul déplacement u;,. et arcJrer, pour celle qui agit sur l'unité de longueur boriionUle d'une section Tertieale dont la normale fait l'angle a tTOC l'axe dea «, i l'expression de M. Poisson

Je» he{e + 9')rrdho. dV;. \ , r dho. , dhc.\ , T

HISTORIQUE. CCIXV

point au plan moyen ^ dont les dimensions restent invariables; et il détermine facilement^ en fonction des dérivées des déplacements verticaux w„ des points de ce plan, l'expression de leurs moments, qu'il égale aux moments des forces extérieures agissant sur le contour, ces moments étant pris comme les autres autour de parallèles aux coordonnées horizont:Ues x et y (^).

Poisson en fait une belle application aux vibrations d'une plaque circulaire sollicitée d'une manière égale à égale distance de son centre^ et détermine, lorsqu'elle est libre, ses vibrations et ses lignes nodales circulaires concentriques.

Mais M. Kirchboff a montré qu'au lieu de ces trois équations de condition aux limites il n en fallait que deux, dans un mémoire des plus dignes d'attention, dont un extrait a paru d'abord aux Comptes rendus en 1848 (*), et qui a été imprimé m

(1) Od a ainsi (même notatiODi)

donnaiil pour momenis, lur l'onitè do looguenr dei M€liooiTertictl0fl,ees mêmef eipreMiooi mullipliéet par zdz cosa ou zdz lioa el iotégréet de — tic, c'està-dire -r multiplié par les inèmei trois dérifèes ( j et par cosa ou ailia.

du

MetUBt dans cet dérifèes, pour pxx, Pyy, p«y leurs ▼Blettr8()e4-eQ -- -f ,

dx

ete., eu fooction des déplacenents u, v, w, ou a

etc., od les déritées des déplacements seront, comme aux deux autres notée, exprimées fiicilement au moyen de celles de tr. seul. D'où hcilement aussi, les expressions suivantes (se confondant stcc celles de M. Poisson quand on Dut e=r e^ des moments, autour de parallèles aux x et aux y, des forces s*exerçanl i trarers l'unité de longueur de la face dont la normale bit avec les x l'angle a :

i r dhp^ (Pw-T d*Wm )

3Se +

(i) 45 octobre. Noté reUiUoe à la théorie de VéquiWm el du d^une plaque élattipiêt t. XXVU, p. S94. l\ est essentiel, i U page 396, ta lieu

cclxvj uf.s!^>JA^(:i: Dtî> î>oLiDts.

extenso en 1850 au journal de Crelle (*). Ces deux équations sont:

1"* Celle qu'on peut tirer des deux dernières de Poisson, par le principe de la composition des moments de rotation^ en égalant entre eux le^ moments des forces extérieures et des forces intérieures autour d'une tangente au contour.

â* La première de Poisson^ relative aux forces verticales, aiais additionnée, comme cela paraît nécessaire à M. Kircbhoff, avec

des Jeux équalioui N -f (N) = 0, G 4- - — h (F) H =■ 0, tl'ccrire G-|-(C)=:0,

ds ds

<fN d(K)

F + — + (F) 4- -i— = 0 ; cl, à la !• ligne eu reii;oniaul, de mellre F cl K,N, K d$ di

au lieu de G,C,G.

(') 40* TOlume, 4^ lirraison, p. &t. Ueber dus Gleickgewicht und Bewtgunf einer eîastischen schtibe.

Il commeDce par prouver, dans ce mémoire, que le principe de Mademoiselle Germain, qui donne une équation difiTcrcniielle ioilt'flnie ciacte, conduit â det conséquences fausses quant aux conJiliuns iiiix limites. En effet, en faisaot

d«c dp^ rç

~ 4- j- =U, rinlègralioa par partie de il dxdijllllSf dont on a parlé à une note ci-dessut| p. ccUJ, donne, pour les intégrales simples qu'elle détache, en

désignaoi par F | des différences entre les râleurs de leurs limites qui sont

relatif es aux points où le contour est percé par une parallèle aux x ou par uoe parallèle aux y

[j"f"]>[yf"];-[iiH:-[ssH;'

réductibles, par une transformation connue (Appendice complémentaire, p. 793- 794) i celte somme plus simple de deux intégrales relatives i tout te contour dont nous appelons ds l'élément et { la longueur, et où les différentielles sur dm lontcedont tz ci U augmenteraient eu cbcminanl sur une normale n au CM tour

— \ u-^ds-f \ -- ô;.dâ.

Jo da Jo da

Or, dit-il, ai le contour est libre, il y aurait ainsi i remplir, pour ses divers

du points, deux conditions U == 0, -;- = 0. Comme la première lufflt pour déterdn

Biner complètemeni la solution de l*équation indéfinie, qui peut être écrite

(d*U d'à \ — -{- — - I = z, la deuxième condition ne pourrait être remplie en gênééa* dy* / rtl, il ta problème de l'équilibre do la plaque serait sans solution posiiblo*

U1ST0U1QUJ£. CClXVlj

ce qui résulte de la différonlialion, par rapport à Tare s du contour, de celle qu'on déduirait encore des deux dernières do M. Poisson pour l'égalité des moments de rotation des forces intérieures et extérieures autour d*une normale au même arc, et qui tendraient à produire, au contour, des espèces de torsions (*).

Il regarde, au reste, comme exacte Tapplicalioii, faite par Poisson, de ses équations à une plaque circulaire, sollicitée d'une manière égale aux points à égale distance du centre; niais c'est parce qu'alors une de ses trois conditions-limite devient identique. M. Kircbhoff donne une magnifique solution du problème des vibrations de la même plaque dans le cas où cette égalité de sollicitation n'existe pas, et où les lignes nodales sont à la fois des cercles concentriques et des rayons (']. Ses résuU tats s'accordent avec des expériences de M. Strehlke.

Dans ce beau mémoire de 1848-1850, M. KirchbofiF déduit l'équatioû indéfinie du quatrième ordre, et ses deux équations définies, de la supposition, suffisamment approchée, que les lignes matérielles primitivement normales aux faces delà plaque leur restent normales, de même que dans la théorie de la flexion des tiges, et pour le cas ordinaire où les glissements sont négligeables, on déduit les formules de la supposition que les sections restent planes et normales aux arêtes. Mais, dans une note d'un mémoire ultérieur, non moins remarquable, relatif aux tiges infiniment minces, et dont nous donnons un extrait à la fin de notre Appendice complémentaire (p. 830 à 848), il annonce qu'une analyse semblable à celle dont il fait usage pour les tiges, et qui est exempte de toute hypothèse dé ce genre, peut être employée pour une plaque aussi infiniment mince. Cette analyse a été donnée par un de ses élèves, M. Gehring, dans

(1) Le même reproche n'alleint pas Caucby, qui n'a coosidéré que le cas où les bords ou coniours de la plaque' seraient sollicités Dormalemenl au cylindre contournant, en sorte que la force appelée F par Poisson et qui agit dans le sens des arêtes de ce cylindre, soit nulle. 11 fait lui-même (Exercices, 3* année, 48S8, p. 346) une objection contre une des équations de Poisson quand la plaque a une autre forme que le cercle.

;>) Comptes rendus, 17 décembre 4849, l. XXIX, p. 753. Ou nème Ménoire, au t. 40 de Crelle«

CClXViij KiblblAKCE D£b SOLIDES.

une thèse (^) de doctorat, où il l'étend à une plaque dont la matière n'est pas isotrope : elle est fondée sur un artifice consistant à diviser la plaque, comme on a fait pour la tige, en éléments rectangulaires infiniment petits, dans chacun desquels on imagine une origine et trois axes de coordonnées pour leurs seuls points, et à égaler la dérivée des coordonnées dans Tespace, d*un point quelconque, par rapport à Tune de ces coordonnées infiniment petites parallèles à la plaque, à la dérivée par rapport à la coordonnée finie, de même direction, de Torigine particulière des petites coordonnées en question. Un des points de doctrine que soutient le jeune savant contre les argumentateurs qu'on lui oppose, est que la théorie des corps élastiques ne peut être traitée convenablement que par le calcul des variations ; il le fonde surtout sur ce que son maître n'a réduit et rectifié les équations aux limites de Poisson, qu'en posant Téquation d'équilibre au moyen du potentiel des forces tant intérieures qu'extérieures, et en faisant par conséquent usage, suivant la méthode de Lagrange, de cette sorte de calcul ; méthode qui seule conduirait pour chaque question au nombre justement nécessaire et suffisant de conditions à remplir (*).

p) De uSquationibuM differentialibus quibus œquiliMum et motui Ummm criiiaUinœ definiuntur^ dittertatio inauquralu. M. Clebsch a reproduit cette ana- IjM dans Boo beau livre Théorie der élastieitdi fetter KÔrper, H 7. coosldère, aitleurs, uoe plaque dont Tèpaisseur n'est pas infloimenl petite.

(*) En attendant la publication des Notes i l'article XII du présent ourrage, on nons saura gr6 d'indiquer ici succinctement en quoi consiste l'analyse de M. Kircbboff, de 4848, fondée sur la conservation, toujours très-approcbée, de la normalité des petites lignes primitiTcment normales aux faces de la plaque.

Le potentiel des forces intérieures, que nous appelons 4»' i l' Appendice oomplé> ■entaire et dont nous donnons l'expression générale (499) à la p. 788, se réduit, quand la matière est isotrope ($ 96 p. 581 de l'Appendioe lll; et en appe» lant d',()", ^'" les trois dilautions principauté {A^p, compl. S SS, p. 781) oa dans les directions suivant lesquelles il n'y a pas de glissements, i

Or, en supposant que tonte normale matérielle reste normale i la snrfiaoe qui divise en deux parties égaies l'épaisseur de la plaque, et que cette surface moffenne ne change pas de grandeur en ae courbant, les dilautions, â une distinoe r de cette nène larface, dans les sens des devx cofirbures principales

HISTORIQUE. CClxi

Ce sujet est délicat. Nous ne doutons pas que les équations aux limites de M. Rirchhoff ne soient les véritables; mais en

— , — el dans le leot normal^ ont les raleart tuifiotes, doot la liroiiième Vm

•e déduit det deux premières en égalant à léro la valeor (35) pg,=re'()«+ + eOy -f [%e + tfi ds de la page 581 après aTOlr mis celles-ci poar 5«^ dy :

Sabilitoant i i', i", ^"' 4ia« 4>i, poit muUiplUnl par dxdydz et iatégriot pour tonte II plaque, od • en elbeluant l'iBitgration de — 1 1 c par rapport 4 s

Oo Toit de suite, en différenliaot par 6 le trindme entre crochets, quelle est la Traie forme du moment Tirluel des réactions élastiques par unité superficielle

de la plaque, el qu*il n'est pas proportionnel 1 (^^^\^(^^^^ résui-

Unt de l'hypothèse ou de l'intuition de Sophie Germain, qui a pourtant ai bieo fait découTrir la Téritable équation différentielle indéfinie du 4' ordre.

Or OB «ait que les deui râleurs principales^, -; de la courbure — sont don-

nées par les racines de l'équation do second degré suitantes, où w représente la petite ordonnée de la surface moyenne dcTcnue courbe

/4 <f«ip\ /4 ^d^\ /

Vp dx'Ap rfyV'~V

dho\ dxdyj

Substituant, el appelant n le potentiel des forces extérieures, on a pour l'équation d'équilibre ou des traraux Tirtuels

Effectuant la différentiation par 6 du crochet, pois les intégrations par parties ; puis, eo appelant a l'angle que fait afec les x la normale n i l'élément de du contour, mettons, dans les intégrales simples déUchées, d= dt sino^ dt di oosa pour dx et dy de manière i transformer les différences de ces Intégrales en des

intégrales \ ds pour tout le contour dont nous appelons { la longueur déve*

loppée ; enfin remplaçons

dftr dtz dlz dix dix , ^ ,

-p.r-.ln. + -eo.a,.t p.r~eo.-+-.ln.,

•ly en appelant, afec M. Kirchhoff, p la force agisuat terUcalemeni anr U plaque par unité de la soperfleie, F U fbree agisaani anaal ▼erOealemeai par unité

cclxx nf:sisTAN(:E des soLinrs.

quoi celles de Poisson sont-elles fausses? Cest ce que nous n'avons pas encore eu le loisir d'étudier à fond. Est-ce, comme

de longueur du contour^ G et N \c9 moments de roiaiion, autour de la Ungeale et autour de la normale n, de toutes les Torces qui agissent sur la mémo usité de longueur, remplaçons 6IT par sa Taleur, qu'il est facile de recooBiltre égale à

Ci'* Cl Cl d^jz Cl rfor

nous irourerons, en faisant en oiilrp, pour abroger, avec M. Kirchboir

S.jS! /./-w» d^w\ fl^ir "I

3 l\dx* dy-J di'dij J ^ "

l'équation dVquilibro suivante

+ J d,[? + (F)Jfc - C[ d, [s + (X)] g H- \[ il [G + (C)l ^ .

En égalant à zéro le premier polynôme entre crochets on a Téqualion did^rcoticlle indéfinie connue.

En égalant séparément i zéro les trois binâmes eon tenus dans les autres crochets, le premier donnerait la première équation définie de Poisson, qui re? ieiit à P 4- (F) = 0 (note cl dessus p. cclxlv), et les derniers donneraient les deux autres par une transformation facile, en déduisant les moments autour de parallèles aux X et aux y des moments autour de la normale et de la tangente.

Mail 00 n'est point autorisé à opérer ainsi, car le second \ peut être intégré par parties et peut fournir un terme en \ &; qui se réunira au premier. La ptréle détachécLOa mise hors du I est nulle puitçue, sur le contour^ Ut limitée a == 0

Égalant i zéro les deux quantités entre crochets, on a les deui éqoatlonillpalte de M. Kircbhoff, à substituer aux trois équations de M. Poisson.

HISTORIQUE. CChXJ

paratt le penser M. Kirchhoff, parce que les séries entières dont il a fait usage sont divergentes? Nous avons de la peine à le croire; car, de même qu'il arrive pour les simples tiges ou lames dont une des deux courbures reste nulle, il doit arriver pour une plaque queies pressions normales à travers le bord varient à peu près linéairement d'une face à Tautre, et les pressions tangentielles, qui sont nulles à la rencontre de ces deux faces, doivent varier à peu près paraboliquement de chacune d'elles à la surface moyenne; et^ d'ailleurs, les deux équations de M. Kirchhoflf contiennent précisément les expressions (F), (6), (N), dont M. Poisson a fondé le calcul sur l'emploi de ces sérieS; emploi qui revient jusqu'à un certain point à la supposition qui a été faite de la normalité conservée par les petites lignes matérielles primitivement normales, et qui doit se retrouver sous une autre forme dans l'analyse de M. Gehring relative à une plaque d'une épaisseur supposée infiniment petite. La mati^e demande donc un examen approfondi, et c'est pour y convier les géomètres que nous en avons développé ici les éléments avec quelque détail.

LXI. Expépicnees et observationfl «ur I» réskitoaiee et rélastleité des eopps solidefl. — Outre les calculs théoriques, la résistance et l'élasticité des solides ont été, dès le premier moment où on les a fait entrer dans le domaine scientifique, l'objet de nombreuses recherches expérimentales.

Les premières que l'on mentionne (sans indiquer où l'on en trouve le détail) sont celles du physicien suédois Wurtius, cité au n* III ci-dessus.

Robert Ilooke, peu d'années après, appuya de quelques expériences, principalement sur les ressorts en hélice, son prin-

H. Kirehboff Juiiifla cette rédacUoD des coQditioni limilet 1 deaz de oelte foroie par un raifoonemeDl diriocl, mentiooDé à rarlicle cité dn CompUrtndu ée 4S4S, mait non développé.

On reeonnall par là t'otilité de remploi, daoa tes questioit de rèlaitioité, de U néthode de Lagrange, perreclioDoée par l'usage du potentiel, et par cette substltalion des dérîTéet sur s et sur n aux dérivées sur s et y pour le coalonr, qui paraît due 1 PoisiOD eomme fournie impliciteoient par son Mémoire $ur te ctUeul de» vûriatiom dtt 40 MrenAre 4834 (tome XII de nM4iUit)| bits qo'il m soit pat encore pirfriliwem prevré qii*ott ne pMt pat te passer de eelle «éihode.

CClxxij RÉSISTANCE DES SOLIDES.

cipe de proportionnalité des efforts exercés aux allongements et aux flexions qui en résultent (^].

Vers le même temps, Mariotte ayant étudié les lois du choc des corps et observé la flexibilité dont il les regarde comme tous doués avec ou sans ressort (*), fut conduit, comme nous avons .« dit (n^ rV), à baser la théorie de leur rupture sur la considéra-

tion des modifications qui la précèdent. Il fit sur de petites tiges de bois, de métal, de verre, des expériences qui infirment une des conclusions de Galilée, en vérifiant les autres ('). Il a reconnu le premier, sur une lame de verre, qu'un solide horizontal était capable de supporter, au milieu, une charge deux fois plus grande lorsque ses deux extrémités sont encastrées que lorsqu'elles sont simplement posées, et qu'il pouvait rompre alors aussi bien vers les encastrements qu'au point où la chaîne est suspendue. Il a aussi montré qu'un prisme, ou bien un ressort en hélice, éprouvait toujours longitudiualement, sous le même poids, la même extension proportionnelle quelle que fut sa longueur ; et il a fait aussi, sur la résistance des tuyaux aux pressions intérieures, quelques expériences, mais dans des conditions qui les rendent peu concluantes.

Au commencement du siècle suivant, Parent fit sur la rupture de barreaux de bois de chêne et de sapin, tant soutenus qu'encastrés des deux côtés, diverses expériences qui lui servirent à dresser les premières tables destinées à la pratique (^). Musschenbroek, en 1729, en publia de plus précises et de bien plus variées (*),

(') Pbiloiophlcal Tracts and Collections, 4676 et 4678.

(*) De la percuBsioD ou du choc des corps; dont la troisième édition eit de 4679 (aTÎs en tète de ses œuvres complètes); p. 4.

P) Traité du nouTement des eaux, deuiième Discours.

(^) Académie des Sciences, 4707, et 4708, p. 546. Il parait que de la Hir», Couplet, Pitot, ont fait aussi quelques expériences ters le même temps.

(>) Jntrodyetio ad cohœrentiam corporum firmorum, faisant partie de ses Diê" »ertaUomesphyncœ experimenUilis et geometrieœ, Lugduni BaUTorum (Lejde) 47M, Id-4*. h les a reproduites en partie, avec quelques autres, à son ouvrage Jntro-' ductio ad phUoêophiam naturalem, traduit en hollandais ; puis du hollandali en flrançais en 4739, soui le titre Bttaii de physique par Pierre Massueli traduction od •Ues occupent le cbap. XIX intitulé De la cohésion ou de Fadhérenee des corpt. Elles occupent le cbap. XXI de la traduction faite en 4769 par Sigaud de la Fond MUS le Utre Traiié de phyeipte. Les premières ex|fbriences sur les plaques de ▼erre loet av CùwqtetUÛÊsm phyeicet eseperimentalie, 4769 cap. XVIH, $ 369.

HISTORIQUE. CClXXiij

qai comprennent la rupture par extension, par flexion et par compression^ des bois d'un grand nombre d'essences, pris dans diverses parties des arbres ; du fer de diverses provenances, de la fonte et de divers autres métaux, ainsi que de leurs alliages; et du verre, même en plaques rondes et carrées. Il reconnut un fait alors nouveau, à savoir que les pièces d'une certaine longueur, pressées debout ou longitudinalement, offrent une résistance en raison inverse du carré de cette longueur, ce qu'expliquèrent et confirmèrent en 1741 les recherches théoriques d'Euler (n* XIII).

C'est aussi dans la première moitié du xvni* siècle que furent faites, avant d'entourer de cercles de fer le dôme de Saint-Pierre de Rome, les expériences sur la résistance de ce métal à la traction , du marquis Poleni (plus connu comme hydraulicien célèbre) appelé vers 1742 pour donner son avis sur les crevasses qui s'étaient manifestées dans cet édifice et sur les nnoyens de prévenir la chute de sa coupole (*).

Belidor publia vers le même temps ('), sur des barreaux de boi's de 27 et de 54 millimètres d'écarrissage, sollicités transversalement, ses essais destinés à dresser des tables de résistance qui le satisfissent mieux que celles de Parent.

Mais bientôt furent faites par BufTon les premières expériences en grand sur la rupture des bois par effort transversal ('). Il put observer plus complètement que Musschenbroek les diflërences de force résultant de Tâge des arbres, de la densité de leur bois, de leur croissance lente ou tardive, du choix des échantillons depuis le cœur jusqu'à l'aubier, depuis le tronc jusqu'à la cime. Et comme le degré de dessication lui parut avoir aussi une grande influence sur la résistance, et être du reste difficile à constater, il se décida, pour rendre ses principales expériences comparables, à ne les exécuter que sur des arbres qu'on venait d'abattre et d'équarrir. 11 se contenta d'essayer des pièces simplement posées, en remarquant très-bien

(*) Memorie isloriche delU grao cupola del tempio Vaticano.

(>) Science des liigéaieun, 1729, lir. IV. ch. III pour lesbois, et IV pour les Ters.

(') Publiées d'abord aux volumes de 4740 et 4741 des Mémoires de l'Académie, puis insérées au i. VllI de ses œuvres, sous ce titre Partie expérimentale; onzième Mémoire; Expérience* sur la force de* bois.

CCUxiV RÉSISTANCE DES SOLIDES.

qu'à cause de rimperfecilon des encastrements qu'offrent les maçonneries ordinaires^ il ne fallait guère compter^ dans les bltimentSy sur raugmentation de résistance qu'ils ont donnée dans les expériences de Mariette et de Musscbenbroek. Après aTOÎr fait, comme ses prédécesseurs, quelques expériences sur de simples barreaux^qui le convainquirent de la grande variabilité de leur force et du peu de confiance que méritent les coneluaions qu'on tire de ce qui leur est relatif^ il se décida à opérer sur des pièces comparables à celles qu*on emploie dans les constni&* tiens, ayant des équarrissages depuis 0^|1I sur 0*,il jusqu'à Qr,n sur (r,^y et des longueurs de ^"',30 à 9,"i0 (qu'il faut, dans les calculs, diminuer d'un douzième pour avoir leur portée entre les tréteaux où on les posait). Il observa, le premier, les flèches de flexion, mais seulement au montent où les pièces éclataient. Le résultat principal de ses 81 expériences est la presque-proportionnalité des charges de rupture immédiate {Voyez nM5i ci-après, et§ i de sa Note, p. 473) aux largeurs, aux carrés des épaisseurs et aux inverses des longueurs, ou la presque^constance du nombre appelé R (du § IS de la note du n* il3, p. 107) ; mais, comme le remarque Navier, en ayant soin toutefois de faire, aux formules dont on tire ce, nombre, les corrections indiquées au n"" 128 pour prendre en considération le poids propre de la pièce et l'inclinaison de ses extrémités, résultant de sa flèche finale, bien qu'on sache que la formule n'a tout à bit cette forme que dans les limites de la proportionnalité des efforts aux effets produits (^).

Buffoo observa aussi l'accroissement progressif, en quelques mois, et quelquefois jusqu'à rupture, des flexions des pièces d^à fortenmit ehargées.

Il fit aussi quelques expériences sur les fers('), et observa un rapport eoBsidérable, de 10 ou 13 à 1, entre la ténacité du fil

(^) n lerail possible de tenir compte de ces éléments d'une manière plus approchée, au moyen des formulM («), p. 476^ au $ S de la noie du n"» 454, tartoul

a? ec mi = 4 , pu en remplaçant la seconde par Pi^sP^ - coipmQ tu $ 3.

(*) OSarref, t. Vil, InirodueUon à VkUiaite dê$ minéraux^ partie ttpdrimen* Ule, 4' Mémoire. Us résulUU sont rapportés au t. Il de Gaothey, p. 453.

HISTORIQUE. C€t«X¥

de fer et celle de boucles de gros échantillon, pour même superficie de section.

Duhamel du Monceau fit aussi, sur la résistance transversale des bois (^), diverses expériences où fut mesurée pour la pren>iêre fois la flèche de flexion avant la rupture, de manièdre à pouvoir évaluer leur élasticité ; ei ô'^LUives parmi lesquelles on doit remarquer (*) celles des traits de scie transversaux, pratiqués du côté devenant concave, et qui probvent, en ne dimn nuant point la résistance, que les fibres comprimées sont plus nombreuses au moment de la rupture que les fibres étendues ( Toir aussi n' XXIII, et S 45 de la note du n* 456, p. 391).

Vinrent ensuite trois séries d'expériences de M« Aubry^ \fi* specteur général des ponts et chaussées (^)f sur les flexions de trois pièces de chône sous diverses charges.

C^est vers ce même temps qu'à l'occasion des doutes élevés sur la sufilsante solidité des piliers destinés à soutenir le dôme de l'église de Sainte-Geneviève, furent entreprise^ par Gautbey, au moyen d'une machine à levier, les premières expérienees sur la force que les pierres peuvent soutenir sans être écrasées (^). Souâlot, architecte de cet édifice, en fit un grand nombre d'autres en commun avec Perronet, en opérant de même TéeraBement de petits échantillons parallélipipèdes. Mais^ une double et grave défectuosité ayant été reconnue dans la machine à charnière employée, Rondelet (') fit construire une nuK^bine

(1) Mémoire de rAcadémle, ponr 4767 (on 476^), et, eBiolur: CBipftreBTda Traité du transport de la censerTalKm ei de la force des boffl, 4780'.

(«) Même Traité, livre V, p.' 416.

(*) Mémoire lor différentei questions de la iefeMe de* oonstrutltOUti publiques et économiques. Lyon, 4700, p. 65 et 66. M. Aubrj a fait atlssi UM eïpérieoce sur une pièce eonposée de plnsleiirs parries assuJéHes entre eHei par des armatures en fer.

(^) Publiées en novembre 4774 dans le iwirnal de phrslqne de i'Atfé Rbxter.

(B) Art de bAtir, tome I de la 4'* èditios, p. ^0»; reproduAe à la p. f40 dé II 6* édition.

C'est en comparant le résultat d'une eipérleoee Mr la pierre derdeM^MoBlies de Téglise de Toussaint d'Angers, avee le poids des fottlM qu'elles supporulent, que Rondelet a donné pour régie de faire porter aux soutiens le dixième de la charge capable de les écraser pour ntaie section ea les rèduisml e«r eatai <le 5 centimètres de côté. Cet édîAce hardi, qui appertoMlt autrefois euvOénêivéMM, n'est plus qu'une ruine magnifique^ servant de musée d'avUquMs «n ftftm srir.

CCUXVJ RÉSISTANTE DtS SOLIDES.

OÙ le levier était à couteaux et à appui mobile, et à Taide de laquelle il écrasa un très -grand nombre d'échantillons de pierres ; en sorte qu'il donna, de leur résistance, des mesures qui sont encore adoptées, et dont plusieurs ne s'élevèrent qu'aux deux tiers ou à la moitié de celles que la première sorte de machine avait fournies à ses prédécesseurs (*).

Rondelet a foit d'autres expériences sur la résistance des mortiers et du plâtre ('), et aussi, sur la diminution notable de résistance qui lui parait résulter de la superposition de plusieurs cubes.

Depuis, on a eu sur les pierres et les briques une expérience de White (*), et un grand nombre de M. Georges Rennie (^). Mais M. Vicat pense que les résultats de ces dernières, comme ceux des expériences de Gauthey et de Soufflet, auraient besoin d'être réduites de plus d'un ti^rs à cause des dispositions de la machine employée (').

H. Vicat lui-même en a fait un certain nombi*e, sur les mortiers d'abord ('), puis sur diverses pierres, celles-ci dans le but surtout de mieux déterminer qu'on n*avait fait, les lois de ce qu'il appelle leur force portante. Il a prouvé, en prévenant les porte-à-&ux ou l'inégale répartition des charges, au moyen de rondelles de carton interposées, que les échantillons les plus minces étaient ceux qui résistaient le mieux, etc:, etc. (^).

D'autres expériences du même genre ont été faites dans ces

Ont eoniervé quelquei tronçooi de sei deui coIoddoi, de 44 pooces (eoyfron 0*,30) de dianètre, retiréi du milieu dei décombres par M. Godard-Faulirier, eoMerraleur du nuiée d'Aufen .

Lit pllien de Saiole-GeoeTièfe sont plut hardii. ili lopporteot jusqu'à ud bnlUème ou ud neuf ième.

(<) Rondelet, Mémoire historique sur le Panthéon fraoçaii. «

n Aride bAUr, 1. 1, K^ édit., p. 309, ou 6* édit., p. 348 à 9S3.

(^ PUlosophieal Magasine, aprii 483S.

(^) Philosophical Transactionf, 4848. Traduit et inséré la même année en sepl0Bbre aui Annales de chimie et de physique.

(■) Mêmes Annales, t. IX, 4818.

{f) Recherches espérimectaies sur le chaui de conitniction, les bétons et les mortiers, 4 84 8. El Résumé des connaissances posi(i?es sur les mortiers, etc., 1898.

Ç) Reeherches eipérinientales sur les phénomènes qui précédent et accompaf MBt la rupUire d'ane oeruine claïaa de solides (Annales des Ponu et Cbanstéei,4t8t,9*ieBitstra).

HIsfoRlQCJt. . CClZXVij

derniers temps en Angleterre; elles sont disséminées dans divers recueils.

Pour terminer ici ce que nous avons à dire sur les charges que les pierres sont capables de porter, nous citerons les expériences récentes, très-variées et très-bien faites, de M. Pingéuieur en chef Paul Michelot. Leur but et la haute utilité des recherches statistiques dont elles font partie, ont été caractérisés en 1855 dans un lumineux rapport de M. Belgrand (^); et un premier résumé de plus de trois mille expénences sur les pierres de taille non-seulement du bassin dit de Paris, mais de toutes les carrières dont les produits sont employés aux constructions dans cette capitale, a été récemment publié ('). La machine, exécutée sur les dessins de M. Michelot, se compose principalement d'un grand levier gradué à couteaux, à une extrémité duquel on suspend un poids plus petit que celui que l'échantillon pourra supporter, et l'écrasement est déterminé par un second poids soutenu par un plateau mobile à roulettes, qu'on éloigne graduellement du point d'appui. Toutes les précautions sont prises pour éviter les porte-à-faux et pour obtenir des résultats justes et comparables. Ces expériences se continuent de manière à pouvoir résoudre plusieurs des questions soulevées par Rondelet, sur l'influence de la hauteur, de la superposition de plusieurs assises, etc.

D'autres, expériences de Rondelet (même ouvrage), de Réunie (mémoire cité), de Reynolds ('), de MM. Minard et De • sormçs (^) antérieures à i833, ont été faites sur l'écrasement de petits cubes de bois, de fer, de fonte et d'autres métaux. On a eu aussi, sur la résistance de pièces de bois, de fer et de fonte d'une certaine longueur à la rupture par compression ou plutôt par la flexion que détermine un effort longitudinal, les expériences de MM. Aubry (ouvrage cité), Girard (faites au Havre avec une machine que Lamblardie avait destinée à cet usage) ('),

(*) Annalet det ponii el chauiséei, 4855, S* Mneitre, p. 489.

(S) Idem, 4863, l** semestre, p. 485.

(>) Tredgold. A practical Eisaj on tbe Sireogth ofcast iron, p. 438.

(^) ÉdlUoD de 4833 des Leçoos de lfa?ier.

(>) Traité de la résisiaoce des solides, p. 438 ei Tables,

CClXXViij HÉSISTANCt DFS SOMDLS.

Lamandé (faites à l'occasion de rétablissement des cintres du pontd'ïéna) (^), Rondelet (Art de bi\nr), Reynolds (•). Celles de Girard surtout soiit noiiibreuses ; mais il est difficile d'en tirer aucune règle sûre, car on n'a pas assez de détails sur les conditions dans lesquelles elles ont été exécutées pour savoir si la résultante des efforts exercés aux extrémités passait au milieu des bases ou plus ou moins près des bords, et si ces bases étaient, ou non, assez bien posées et appliquées pour que leur assiette fît Tetfet d'un encastrement, circonstances qui ont sur les résultats une influence considérable. Aussi, des expériences plus récentes, dont nous parlerons, paraissent devoir remplacer avec avantage les expériences anciennes sur la compression longitudinale des pièces de bois et de fer.

On a aussi une expérience de Giiyton de Morveau sur la ténacité d'un fil dtî fer de O'-^OOâo de diamètre (').

Diverses expérîences furent faites aussi à la fin du siècle dernier et au commencement de celui-ci sur la résistance à la rupture jmr extension des pierres, de la brique, du plâtre, des mortiers, du bois et du fer, par Rondelet (idem), Vicat (*); d'autres sur la flexion, que nous citerons plus loin (•;.

On doit aussi à M. Pictet, de Genève, physicien très-connu, quelques expériences sur rallongfment des barres de fer dans li'S limites de sa proportionnalité aux charges qui le produisent (*).

Mais les premières expériences sur la flexion, dirigées dans un esprit réellement scientifique et de manière à pouvoir en déterminer les lois, sont celles qui ont été faites sur les bois dans l'île de Corcyre en 1811 par M. Charles Dupin, ù la suite d'une mission comme ingénieur de la marine française ('), et, pour

i}) Gaulhcy, t. II, p. 48.

(*) Treatlse on Ihc Power or Machines, by John Danks Kendall, 4803, p. 89.

(8) Mémoire lu les 29 mai cl 19 juin 1800, aux Mém. de rinstilut.

(^) Recherches sur les chaux, eic, 1818, ou Uèsumè des connaissances, etc. 4838.

(B) Young lui-mémo en a Tail quelques-unes sur le cuivre jaune afin do tlélerminer son module d'élasticilé. (Nalural Philosophy, toI. Il, p. 8â.)

(<) Bibliothèque universelle de Genève, 1. 1, p. 171 i iOO.

(Y) Espériences sur la flexibilité^ la force et rclasticilà des bois, faites 49M rarsenai de la marine i Gorcyro en 181 1 . Premier mémoire, présenté le 43 avril 1813. (Journal de Técole Polytechnique, 4817).

HISTORIQOB. cdlXlX

les tosy à Gubzac en 1843 par M. Duleaa (*), comme iDgénieur chargé en 1819 de l'étude du projet d'un pont sur la Dordogne^ qu'on se proposait d'exécuter en vouitoirs méialliqaai analogues à ceux da pont d'Austerlitz de Paris, mais de fer forgé et composés de huit barres et de croisillons.

Dans son premier Mémoire, M. Dopin expose qu'ayant mesuré à deux dixièmes de millimètre près les augmentations eucoeesives des flèches de courbure prises par des pièces horizontales sous des charges croissantes agissant au milieu^ il les a trouvées proportionnelles aux charges tant qu'elles sont restées dans certaines limites. Il a trouvé que la même charge répartie faisait prendre moyennement uoe flèche des 2/3 = 0,66 environ de ce qu'elle produirait étant concentrée au milieu, ce qui se rapproche suffisamment du rapport théorique 5/8 = 0,695 (*); que, pour mêmes largeur et longueur, les flèches étaient en raison inverse des cubes des épaisseurs, et que, pour mêmes dimensions transversales, elles étaient comme les cubes des longueurs, ou plutôt des portées ou des distances des appuis. Toutes les conclusions de la théorie de la flexion sont donc confirmées, pour les bois, par ces expériences de M. Dupin, qui a vérifié aussi les fondements de cette théorie en constatant que la face devenant concave s'accourcissait autant que la face devenant convexe s'allongeait ; que les fibres qu'il appelle invariables restaient au milieu de l'épaisseur dans ses expériences sur de petites flexions éloignées de celle de rupture, enfin que les sections transversales des pièces fléchies circulairement restaient normales aux faces et aux fibres. M. Dupin remarque aussi ()ue les cohésions n'ont aucune relation nécessaire avec les é|a$ticititef

Duleau soumit à la Qexion, sous diverses charges, des pièces

(I) RHlMrtbw tlièpriquai et npèrîBifiiuiei iv U ritiftUatt 4a 9m knK Pl^ I«l|ièe9 #a conseil général des ponu et c}umiëea •» 4843^ «| [mpr^m^ «9 iâ^ lui:

fV) V. Bupin a nenllonné dam «on Court de méeanlqne dei Arta et Métien, 14* ta<(M, d'auircs eipérienoea, railei par Ini en 4S4a, à Toirioa, al m 4Slt, à Dunkerque. Les réauUata , dont M ne rapporte pai le 4éuU , confirmant enof de 4S44, et donnent même 49/30, bien plai rapproché du rapport théo- Ti<|ae 6/1.

CClxXX RÉSISTANCE DES bOLlDtS.

droites à section soit rectangulaire^ soit circulaire, encastrées k un bout et sollicitées transversalement au bout opposé ;d*autre8, qui étaient posées sur deux appuis et chargées soit au milieu soit uniformément sur toute la longueur, soit encastrées aux deux bouts, ou bien à un bout et appuyées à l'autre, enfin chargées debout ou parallèlement à leur longueur, avec extrémités tantôt libres, tantôt encastrées ou astreintes à rester dans leur direction primitive ; puis des cylindres creux, des tuyaux carrés ou ronds, puis une pièce composée de deux autres séparées et rendues solidaires, et une pièce cintrée en arc invariablement retenu aux extrémités. 11 mesura, aussi, compara» tivement, les flexions d'une pièce carrée posée successivement à plat et sur une arête, et, aussi, celles d'une pièce ayant une section en forme de triangle équiiatéral, en tournant successivement eu haut la base et le sonmiet de ce triangle. H soumit ensuite à la torsion diverses barres rondes, carrées et rectangulaires.

Il reconnaît avoir été aidé des conseils de M. Bernard, plus ancien que lui d'un ou deux ans, et alors ingénieur à Bordeaux.

Duleau résume ses résultats en vingt-cinq lois. Les neuf premières sont relatives à la flexion de pièces pleines, et la 17* à la flexion d'un tuyau sous un eflbrt transversal : elles sont exactement en rapport avec ce qu'indique la théorie. Les lois 10* à 15* sont relatives aux pièces sollicitées debout, dont les longueurs ont excédé presque constamment cent fois l'épaisseur ou le plus petit côté de la base; elles montrent que la charge qui détermine la flexion est bien, conformément à la formule d'Euler (n* XIII), modifiée par Lagrange (n® XIV) quand la flexion a lieu avec une ou deux inflexions, proportionnelle au moment d'inertie de la base et à l'inverse du can'é des longueurs, mais qu*elle est moyennement plus forte d'un septième ou d'un huitième que ce qu'on aurait en substituant, dans cette formule, le coefficient d'élasticité déterminé par les expériences de flexion des mêmes pièces par un effort transversal ; ce que Duleau attribue à un frottement considérable de son appareil^ car il manquait de ressources pour en faire construire de mieux constitués. La pièce cintrée et la pièce en deux parties sépa-

HISTORIQUE. CClXI}^

rées (lois 16^ et 18 à 2i) ont donné aussi des flexions quil serait facile de faire rentrer dans la théorie. Enfin la torsion comparative des pierres rondes^ carrées et rectangulaires (lois 22 à 25) ont donné des résultats qui ont étonné Navier (comme nous avons dit n"" XXXVI^ p. clxxxj), mais qui rentrent^ avec toute rapproximation désirable^ dans les formules que nous avons données depuis lui pour ce genre de déformation des prismes ayant des sections de diverses formes (^).

On voit que Dulpau s'est proposé surtout de déterminer les ' lois de rélasticité; et n'a poussé jusqu'à rupture ou forte flexion que les pièces debout, ce qui était la chose importante pour le genre de construction auquel ses fers étaient destinés.

Vers le même temps furent faites au Creusot, par M. Ramus, quelques expériences destinées à comparer entre elles diverses espèces de fonte ('). Elles avaient été précédées de quelques autres faites en petit à Saint-Gervais en Dauphiné (*).

Des expériences remarquables de traction ou d'extension furent faites peu de temps après {18! 5) à Verbery, par M. Minard, depuis inspecteur générai des ponts et chaussées, et par M. Desormes, connu comme physicien et manufacturier distingué (*). Les unes eurent pour objet la cohésion longitudinale ou transversale du chêne et du tremble, les autres rallongement progressif, sous des charges croissantes, d'un barreau de chêne, qui est revenu à sa longueur primitive tant que cet allongement n'a pas dépassé une proportion de 1/629; d'autres, enfin, en grand nombre, sur la rupture par extension de barres et de fils de fer ou de cuivre, de diverses qualités et contextures, et sur rallongement progressif d'autres barres sous des charges qu'on augmentait. Cet allongement, passé une certaine charge, et surtout lorsqu'on approche de celle qui produit la rupture,

(>) Mémoire sur la torsion des prismes. SaTaoli f traogers, t. XIV, art. 78.

(>) Publiées aux Aunalei de chimie, t. VII, goui le nom de Gazeran (alors directeur de l'usiDe du Creusot). Od peut voir aussi SidéroUchnie d'ilassenfrati, i. 1, p. 47.

(') Rapportées daos les Recherches sur V Artillerie de Test ier de Norbeck.

(*) Elles ODt ëté communiquées à Nafier et insérées par extrait à l'édiUoD 4833 do SCS Leçons, D'autres, encore inédites, seront insérées à une autre partie de oellc-ci.

OCllXXij RÉSISTANCE DES SOLIDES.

devient relativement fort considérable, comme le prouvent aussi d'autres expériences que nous citerons plus loin. Des b&rn*s de fonte furent également rompues par extension.

Mais la publication^ en ISîT, de Touvrage de M. le professeur Peter Barlow, intitulé : Essai sur Vélnsticité et la force des boùy fondé sur les expériences exécutées a VAcftdémie roi/alefnt-litaire avec des pièces prises dans Tarsenal maritime de Woolwich (*), fit connaître un grand nombre d'autres expériences non-seulement sur les bois, mais encore sur les métaux.

Celles qui sont particulières à l'auteur furent entreprises sur l'invitation du colonel Mudge, sous-gouverneur de cette Académie y destinée surtout à l'instruction des officiers de rartillerieet du génie de l'Angleterre.

Barlow en fait connaître diverses autres; d'abord d' Emerson sur la résistance de diverses espèces do bois à la rupture par traction, et qui paraîtraient avoir été faites il y a environ un siècle ('); puis celles du docteur Kobison (^); puis celles qui venaient d'être exécutées à l'arsenal de marine de Deptford, près Londres, par le colonel Beaufoy (^), et qui donnent une suite de mesures exactes des flèches de courbure prises sous diverses charges par des pièces do chêne et de pin, de 5 centimètres d'éauarrissage environ; puis celles de MM. Peake et Barailler sur des pièces encastrées à un bout et sollicitées transversalement à l'autre, et sous l'encastrement desquelles ils avaient fixé un corps saillant semi-cylindrique pour éviter raltération que le bord tranchant inférieur de l'enclave fait subir aux pièces ; puis celles de M. Benjamin Couch, maître de mâts dans l'arsenal de Plymouth, sur des pièces aussi encastrées tantôt à une extrémité, tantôt aux deux, ayant des secticms en forme de triangle et de trapèxe, qu'il ployait, comme Duleau, en tour* nant en haut tantôt la grande base, tantôt le sommet ou la petite base, et, aussi, sur de longues perches rondes de sapin^ d'iné-

(*) An Estay on ihe Strength of Timher, etc., LondoDi iSH. (*) Emerton's Méchantes. (Nous o'avoos pu nous procurer cet ouvrage.) ^ Sel article! ont été réunis après sa mort sous le litre A Syttem of mechanical Philoiopky, (^) Publiées vers 1816 dans les Annals of Philoêophy du D' Thomson, vol. IX.

HISTORIQUE. CClxxxfij

gale grosseur ou en forme de tronc de cône, sollicitées au bout le plus mince.

Celles de M. Barlow lui-même ont eu d'abord pour objet la cohésion, ou le poids capable de romprrf, par traction tantôt pa- TBllèle^ tantôt perpendiculaire aux fibres naturelles du bois, des blocs longs de 30 cenlimètres dont le milieu, sur 4 à 5 centimètres de longueur, était réduit, sur le tour, à un diamètre de 8 millimètres environ. Ensuite il rompit par flexion des barreaux de 25 millimètres d'équarrissage, en notant les flèches, tantôt seulement à l'instant qui précède la rupture, tantôt graduellement à mesure qu'on les chargeait de poids croissants. Puis il entailla des pièces, comme autrefois Duhamel, dans le but de déterminer, à l'instant de la rupture, la position de Vaxe neutre (qu'il trouva en général placé aux 5/8 de Tépaisseur); puis il encastra ses barres à un seul bout sous diverses inclirudsonsy etc.

De ses observations des flèches de courbure, il déduisit (comme Duleau et comme M.Dupin) qu'elles suivaient indubitablement la raison inverse des cubes des épaisseurs, et non celle des carrés comme Tavait dit Girard (n*» VllI), dont les erreurs et les contradictions, non aperçues par Fauteur du Rapport approbatif de son ouvrage, furent en grande partie l'occasion des expériences du savant professeur de Woolwich, que l'Institut a inscrit depuis au nombre de ses correspondants. On lui doit d'autres séries d'expériences sur le point où les flexions commencent à devenir permanentes, et le mesurage, après la rupture, des parties de la section où les flbres se sont séparées. D'autres expériences sont relatives aux bois tendus (bent timber), c'est-à-dire courbés par une machine (*), ou bien ployés après un sciage longitudinal suivi de l'introduction de clefs, et, aussi, à des pièces juxtaposées, fortement unies par des cordes.

Deux autres sont intitulées on the Momentum^ c'est-à-dire sur la force vive ou le choc que des fils déjà tendus peuvent

(1) De M. Hockey, décrite au t. XXXU des Transaclioni de la Société des Arts, ei doot remploi était précédé d'uoe immersioD de plusieurs heures dans l'eau bouillante, que Barlow reconnaît no point diminuer la force des bois.

CcUwlV RÉSISTANCE DES SOLIDES.

supporter sans se rompre. Elles ont été faites sur un long til de fer tendu horizontalement, au milieu duquel était attachée une corde verticale de 3'",20% portant un poids. En élevant ce poids et en le laissant retomber, tantôt il n endommageait pas le fil de fer, tantôt il le rompait (*).

Dans un appendice, M. Barlow rapporte les expériences de Telfort, de Banks (*) et de Sickingen sur la ténacité du fil de fer et sur la résistance des barres de fonte à la rupture par flexion.

Dans la 3* édition de son ouvrage, publiée en i837 sous le titre Traité de la force des boiSy du fer coulé et autres matières, etc ('), il ajoute des expériences de M. Hodgkinson dont nous parlerons tout à Theure ; celles qui ont été faites à Tarsenal de Wooiwich par ordre de l'amirauté, sur le cuivre, par M. Kingston avec une machine à levier construite par M. Bramah, et, aussi, par le capitaine Brown, le célèbre inventeur des câbles en chaînes de fer pour la marine, et le premier constructeur de ponts suspendus en Angleterre ; enfin des expériences faites par lui-même en 4805 sur l'allongement progressif et la flexion graduelle des barres de fer forgé et les limites de leur élasticité si Ton entend par là leur faculté de retour à la longueur ou à la forme primitive; mais les conclusions qu'il en tire quant à la position de l'axe neutre à l'instant qu'il caractérise par Elasticity injuried ou destroyed n'ont rien d'assuré.

Cette nouvelle édition se tennine par la relation de plusieurs séries d'expériences sur la flexion de rails de diverses formes, tant au repos que sous l'action d'une charge roulante.

Une partie de ces expériences se trouve citée également aux Principes de charpente publiés vers 4817 par M. Tredgold (*), qui* contiennent aussi celles de Fincham (^) pour la résistance des bois à la rupture par traction et par flexion, de Rumford

(1) CeUe expérieoce, comme plusieurs aulres, eit citée i l'ouvrage de NaTîer lur les ponts suspeodus.

(*) Joho Banks Kendall. Treatise on ihe Power of Machines^ 1803.

(*) TreatUe on ihe Strenglh^ etc., by Peler Barlow, member of Inslitute of France, etc. (JUahogani HUpaniola doit être traduit ptr Acqjou d9 Saint' JDomingue) .

(^) BUmêntary Principles of Carpentry,

•}) Papert on naval Architecture ^ publislied by Slorg^n and Creuie, toI. I.

HISTORIQUE. CCIXXXV

pour la traction du fer. Une seconde édition, de 1828, en contient d'autres, de M. Bevan ('), sur la rupture des bois par traction et par flexion, et aussi par detrusion ou glissement des parties, genre de rupture qui s'opère, par exemple, lors de l'arrachage des vis à bois.

Mais un grand nombre d'autres expériences furent bientôt entreprises sur les métaux, à l'occasion de l'établissement des ponts suspendus, ou de la substitution des chaînes de fer au chanvre dans le gréement des navires, ou à la suite de l'élan que la paix de 1814 imprima à la métallurgie et aux constructions. L'usage de la fonte {cast xron, fer coulé) attira surtout l'attention. Employée depuis longtemps pour divers ustensiles, et aussi pour l'artillerie, elle parait avoir été introduite dans les bâtiments seulement en 1755 par Smeaton, dont la hardiesse à cet égard fut l'objet d'un étonnement général (*). M. Tredgold, par son traité spécial sur la force de cette matière ('), et M. Duverne par la traduction française qu'il en fit en 1826 sur la S* édition, contribuèrent beaucoup à en étendre l'usage. Après avoir rapporté les expériences de^ Banks (% d'Ebbels, etc., il donne les siennes, faites sur des solives ayant une forme longitudinale parabolique comme celles d'égale résistance, et une section transversale en double T ; puis sur des barreaux de fonte de diverses provenances, de 25 millimètres d'écarrissage. 11 remarqua que malgré la dureté et l'aigreur qu'on attribue à la fonte elle prend comme le fer, passé certaines charges, des flexions permanentes. Il fit aussi quelques expériences d'extension et de compression sans rupture. 11 cite aussi celles de résilience de M. Bevan, de pénétration du bois debout dans le bois à plat, et celles de l'auteur de l'article Bridge du Supplément à l Encyclopédie britannique de Napier, qui a observé la compression d'un prisme rectangle suivant une de ses diagonales, etc.

(^ Thê philoiophical Magazine, october 48S7, toI, I. (') Smeatons UeporU, vol. I, p. 440-444.

0 Practical Essay upon Strength of catt Iron and othen NetaU, Cet e<sai

a?tiiété précédé d'un mémoire iniéré aui Philotopkical TranëoeUimê, 48S4, i. II.

(^) Ouvrage ciié. Cet expériencea ont été faltea dana une foflderie de WalteBekl.

CClXXXVJ RÉSISTANCE DES SOLÏDES.

Des expériences noQ' moins intéressanles étaient faites en France.

M. Seguin, qui y construisit, en 4824, le premier pont suspendu, sur le Rhône entre Tain et Toiirnon, après avoir établi avec une étonnante économie une passerelle devant son établissement d'Annonay, en fit un grand nombre sur rallongement et la ténacité du fil de fer (*), et quelquesunes aussi sur des barres de fonte ('). L'allongement, d'abord proportionnel à la charge, augmente ensuite dans un bien plus grand rapport, et devient en partie persistant (•). Le recuit du fil diminue beaucoup la ténacité en augmentant la ductilité.

D'autres expériences sur le fil de fer furent faites à Genève par M. Dufour, colonel du génie (*). Il reconnut en éprouvant, comme MM. Minard et Desormes, des fils de cuivre et de laiton (dont il avait été question de faire le pont de Genève}, que le recuit diminuait aussi beaucoup leur ténacité.

On doit à M. Lamé, alors ingénieur au service de la Russie^ quelques expériences sur la force du fil de fer de cette contrée : elle parait considérable ('). Il en fit aussi sur des barres (*)•

M. Lagerhjelm, ingénieur des mines de Suède, voulant réduire à sa juste valeur l'opinion qui fait préférer, dans plusieurs pays, les fers laminés anglais aux fers forgés suédois, entreprit à Stockholm en 1826 un très-grand nombre d'expériences avec une machine de l'invention de M. Hammarschiœld| se composant d'une presse hydraulique qui tirait, par un boutades barres horizontales, dont l'autre bout était attaché au petit bras d'un

(>) Dei ponts en ûl de fer, 1823, in-S». El deuxième édition in-i", 4826.

(*) M. Seguin rapporte aussi un fait observé par M. de Montgolfiier Ois; c'est le peu de durée du Ter exposé, dans une presse à papier, à un effort de traction modéré, mais intermittent. Les pièces sont liors de service après qMlreoBoiiM| mille de ces alternatives.

(3) Cet allongement persistant, nommé Set par les Anglais, étai| signalé dès 4845 à l'article Strengih uf 3Iaterials de l'Encyclopédie britannique.

(*) Description cTun pont suspendu construit à Genève en 4824. Ou Annaîcs de§ Ponts et Chaussées^ 4832, pour une analyse de cet ouvrage et de celai que le même officier a publié en 4834 sur les ponts suspendus en générai.

(*) Journal des voies et communications, 4828.

(«) Lettre à M. BaUlet, Annales des Mines, t. \, p. 329.

HISTORIQUE. GCixXIfij

fort levier coudé que Ton chargeaitTde poids, de manière à maintenir son grand bras horizontat, et qui accusait ainsi les tensions. Les résultats ont été consignés en 1827 aux Annales du bureau des mines de fer de.Suède (Jern-Kontorets Annaler) et publiés à part (^). 11 a remarqué^ comme d'autres expérimentateurs, que la section se rétrécit considérablement à l'endroit de la rupture. L'ouvrage u été traduit en allemand en 48iO par le D' Pfaff (') ; il est regrettable qu'on ne le connaisse en France que par une courte analyse O» indiquant les propriétés générales constatées, sans donner aucun chiffre.

Navier fit aussi, sur la traction de la tôle, du cuivre rouge et du plomb laminé, quelques expériences dont on trouve les résultats aux n*"' 52, 70, 72 de l'édition 1833 de ses Leçons, où il a rapporté aussi le résultat moyen de l'épreuve des barres destinées au pont des Invalides, et dont on trouve la détail à la 2' édition de son ouvrage sur les ponts suspendus, avec diverses expériences qui lui ont été communiquées par le capitaine Drown et par M. Brunel.

M^ Vicat, après avoir fait vers 1827 quelques expériences d'allongement des fils de fer, de 2 2/3 à 3 millimètres employés au pont suspendu d'Argentat (^), donna en 1831, à la suite du compte rendu d'un examen de ceux du Rhône (*), d'autres expériences où il compara les allongements permanents des fils non recuits et recuits (*). Depuis, l'illustre ingénieur a fait plusieurs expériences remarquables, où quatre brins de fil de fer ont supporté des poids pendant plusieurs années, et où il a noté l'accroissement que le temps apporte à l'allongement passé le 1/4

(<] Porsôk at betiamma, etc. Esui pour délermioer II deoiité, la ducUlilé, la mallèabiliié, rélaiticité da fer en barre passé au cylindre et forgé, 2 vol. in-8* et allai.

(*) Sous le Ulrc Peler Lagerhjelm versuch zur Besiimmung der Dichiheit^ Cleicbartigkeii, ^\c.

(') Bulletin technologique (Férussac), 18i9, t. XI, n» 46, p. 41. Voir ausii t. XIII, B" 40»^ p. SOI.

if) Description du pont suspendu construU sur la Dordogns A Argeniat, 4880.

(B) Mmppart, etc. aui Annalet des ponts et ebaussées, 4834, t" semestre, p. 444.

(«) M. Vicat a proposé de préférer le ai 4e fer aoi barret à la tutte d<)nitfN renarques.

CClxXXViij RÉSISTANCE DES SOLIDES.

OU le ils de ia charge capable de rompre (^] ; effet qu^il compare à celui qu'offrent certaines matières bitumineuses qui se brisent en éclats lorsqu'on les frappe^ mais qui^ abandonnées à leur propre poids, s'affaissent peu à peu sur elles-mêmes; et d'où il conclut que pour employer des matériaux quelconques avec sécurité il conviendrait de les soumettre à des épreuves de plusieurs mois au moins.

C'est une des conclusions que le môme M. Vicat avait tirées, en i833^ d'expériences relatives à de tout autres matériaux (les pierres, les briques, le plaire, le mortier) dans un mémoire célèbre (') dont nous avons déjà plusieurs fois parlé (n^XVIlI, et note dû 153, § 1 et 10) et où il fait une distinction des forces tirante, portante ou transverse instantanées et des mêmes forces permanentes. Nous avons dit (V. ci-après, p. 4-73) que la manière dont il mesure la force transverse ou la résistance ^u glissement ou cisaillement, était propre à la faire évaluer beaucoup trop haut, et qu'il valait mieux, pour comparer cette force à la force tirante, s'en rapporter à des expériences récentes (§ 9 de la note du n« 152, p. â03; Voir aussi p. ccxcviij). Dans ce mémoire il se trouve, du reste, bien des choses pi^ieuses à enregistrer, entre autres ce qu'il dit sur les encastrements parfaits et imparfaits (ci-après notes des n*" 152, 154, 156) etc., etc. Mais le but en étant surtout polémique, il convient d'étudier comme réponse le Rapport de MM. de Prony et Girard ('), qui suffit, même après la réplique de M. Vicat, pour venger la théorie de ses attaques, portant d'ailleurs sur d'autres points que ceux où elle pose des affirmations, puisqu'elle ne prétend pas que ses formules s'appliquent jusqu'à l'instant où il y a rupture.

Pour en revenir aux fers, l'augmentation de leur allongement, dans une plus forte proportion que la charge par unité de section passé une certaine tension, fut encore plus mise en lumière

(') Note tur rallongement progre$sif du fil de fer foumii à divenei tenHom, ÂDualet dei poDts et chaussées, 4834, 4*^ semestre, p. 40.

O Recherches expérimentales sur les phéoomèDes physiques qui précédent et accompignent ia rupture ou raffaisfement d'une ceruioe classe de solides. Ann. des ponts et chaussées, 4833, S* semestre.

(S) Annales det ponts el chaussées, 4834, 4" semestre, p. 393.

HISTORIQUE. CChXXlX

par des expériences de M. Bornet faites à la presse hydraulique' aux forges de la marine à Guérigny (Nièvre) (*). La ligne dont les abscisses sont les forces et dont les ordonnées sont les allongements, après être restée droite jusqu^à une certaine charge, se relève tout d'un coup avec rapidité, surtout pour les fers doux et ductiles; mais, alors, les allongements sont pour la plus grande partie persistants.

Du reste^ en retranchant la partie persistante, on trouve que les parties élastiques ou qui disparaissent quand on soustrait les charges^ restent assez sensiblement proportionnelles à celles-ci, rapportées à Tunité superficielle de la section en ayant égard au besoin à la petite diminution progressive qu'éprouve celle-ci, ou que le coefficient â^ élasticité reste à peu près constant.

Cest ce qu'on appelle la loi de M. de Gerstner (*], déduite par ce célèbre ingénieur allemand d'expériences sur des fils de fer très-fins. Elle a été remarquée aussi par le physicien Leslie (*) sur des barres. Mais on pourrait l'appeler aussi la loi de Coulomb, car le physicien français a remarqué, dans ses expériences sur la torsion des fils de métal et la flexion des lames [voir ci-après), le même fait^ qui prouve que l'élasticité reste enr tière dans le nouvel état que déterminent les torsions, extensions ou flexions permanentes. ( Voir S S de la Note du n* 21, p. 22.)

Cette loi, au reste, n'est qu'approchée, et ne s'observe pas d'une manière tout à fait exacte, comme on voit par les expériences sur le fer recuit ou non recuit, et l'acier, faites par M. Ardant; et il y a, à cet égard, des etteis un peu différents selon qu'on laisse ou non le fil en repos un certain temps sous sa dernière charge, car il en résulte un écrouissage [voir p. 4 et p. 22)

(1) Du fer dans les ponU tuspenduM, par M. Emile Mirtio, br. io 4*, 808; on ABoalei dm ponts et chauiféei, 4834, 3* leneslre, p. 457.

(>) Manuel de Mécamique, t. I, p. S80. Ou Mémoire (allemand; nir la force det maiériaux, par M. Adam Barg, 4838. Oa SxtraU du Jouma, de VlnttUnt polytechnique de Fienne, t. XIX. — Oo troa?e autil ao cerUln nombre d'eipérienoet de Von Gentner au J,muaie$ der Pkyûk und Ckemie von Pogçendorff, 4 839, t. XXVI.

(S) Leslie. MlemunU ofnaêterml Philoêopky. Bdlnbnrg, 48f3.

CCXC Rf:SISTANCE DES SOLIDES.

'qm donne an fils mous une certidne roidenr {% Rédpffoqire* ment on peut, par le recuit, leur rendre la ductilité que celte longue charge ou bien l'étirage leur av^i Mée tm profit de leur réêistance étastique.

On doit % ce savent Génémi, qu'un accident Funeate a enleté «u corps du génie, d'autres expériences sur les fils de \wkcm, de plomb^ etc., et un grand nombre de remarques précleuwi que lui ont suggérées leurs résuKats comparés.

Nous avons déjà eu l'occasion (n" XLIX, noie p. ccxj) ée parler de sec ^cherches sur les systèmes de charpente (*). On y trou^ un grand nombre d'expériences sur des fermes composées de diverses manières.

Au reste il ne faut pas compter, à un instant quc^xmque des expériences, sur une constitution bien homogène des corps. Sans parier des bois, qui offrent à oet égard des inégalités prononcées (voir plus loin), f aHongement sous une tension donnée n-eeft pas toujours la même dans les différentes parties éPun fil de fer, comme fa reconnu le même M. Ardant. Et la surfew, Y^piderme, comme dit M. <5trard, ert évidemment d'une «ntre contexture <\ue le centre. Savart^ par des expériences dé- Iteates sur les -vibrations tle plaques même de métaux fendus^ sfinéi que de Terre^ de Tésine, etc., a observé des faits nomfaveuft ^i ne peuvent s'expliquer qm par des différences 4e contexture non-seulement dans les divers sens mais aucri an dÎMers poMs {%

Apiès les tngénieurs, qui viseM k obtenir des données pra-*

liques, oeffcamp dev«it être parcouru par les physiciens, qrt

' eteerveiA de plus près «et par des moyens précis les cireoB-

ilnoes, dans le butrf'M déduire des lois dont la scienoepuf«ef

s'enrichir.

Déjà, comme nous avons dit (n** LIX), vers 1785, Chladni, en Allemagne, avait non-seulement observé les vibrations longitu-

tn mtroAnCfioii 1 UlllcairttrMlndanilèlIe, âe«. IHmoAcA. (■) IKMleB Ihéorlqiim et expérioienulM sor VéubTlifement dei âiarpaOei à inode portée. MeU, iD-4% 4840.

(9) JnnaUa de chimie tt âepkynçv, «e 11»19 i IS37.

BISTOBIQCL Mie)

dindes et tfsoflfersalefl des Terges élastiques^ el, aussl^ lean vibrations narmdeê ei leurs vibrations Ummantetf sur iesquettes il a le premier appelé Tattention, mais, encore, fait des expériences nombreuses et curieuses sur les vibrations des plaques et sur leors singulières lignes nodales (^). Bavart continua et varia considérablement ces expérienœs, en révélant aussi des faits nouveaux et importants sur les vibrations lûngiUidinalee, susceptibles par exemple d'être énergiquement {vpvoqiiées par un simple frottement s'il est continué ou renouvelée

Un des résoltsts les plus remarquables des reeberehes de cet habile expérimentateur fut la vérification de plusieurs lois de vibration découvertes analytiquement par M. Cauchy, et, auasi, de sa formule du moment de tonion pour les prismes redtangulairesy quand ils sont plais on mincer, cas oii la lormule» comme nous avons dit (n" XXXYI), est exacte; éL ses deux expérienoes sur des prismes où le rapport des deux dimensions transversales était de 1 à 3,3 et de I à â,0, vérifiepot notre formule, dont Cauchy « approuvé M substitution à la marner dans cet esprit scientifique qu'ont été Mtes les nom» brsuses et eonseieneieuses expériences de Wertheim, exécutées en observant avec un catbétomètre très-sensible les allongements ou les flexions tes plus imperceptibles, «t en comptant par des aïoyens ausâ ^ès-exacts les nombres de vibrations. On UÂ doit des Meckerckes êmt rélÊSticité et la cohésion des métaux (') (platine^ or, argent, plomb, cuivre, zinc, fer, acier, etc.), étirés, éerouis,rQeutts, àl'état pur ou légèrement alliés, à diverses tempémtureB de ~lir à +«0* (^. Les modules d'élasticHé furent mesurés par lui tant par fextension statique que par la vitesse du son dans les tiges, ou bien par les vibrations transversales. Il a vérifié la loi de Gertsner. Il a cru trouver que la partie persis-

(1) Traité d^aemutique. ^

(<) Présenté le 8 Jaillet 484S. AimaJUê de ch. éidepk,, V lérie, t. Xn.

(*)0d uitqae HM. Tremery etPoirierSaiDt-Drice ont fait toMi 4ei eipérieoeef

tendant i éTtlaer l'inQuenoe def ' hautes tempèrttares pour Bodlfier les codD-

eients d'éUstieité (Ann. des Minet, ^ série, t. 3).

CCXCij RÉSISTANCE DES SOLIDES.

tante des allongements se manifestait dès le commencement de Tesctension : c'est la seule conclusion qu'on puisse lui contester. [Voir S 10 de la Note du n* 21, p. 23.)

Wertheim présenta bientôt une suite à ce travail, intitulé Becherches mr VélasticUi^ où il examine d'abord (2* mémoire) les alliages (']; puis, dans un troisième mémoire, l'influence d'un courant électrique.

Le même physicien, dont les premières études avaient porté sur l'anatomie^ a présenté un nouveau mémoire, le 28 décembre 18i6, sur l'élasticité et la cohésion des principaux tissus du corps humain (').

Vers le même temps^ les Annales de chimie et de physique donnèrent un mémoire fait en commun par lui et par M. Chevandier sur l'élasticité et la cohésion des différentes espèces de verre (*). Ils remarquèrent que, comme pour les métaux, le coeflicient d'élasticité calculé par les allongements statiques est constamment moindre que celui qu'on déduit des vibrations.

Mais le travail le plus considérable, le plus complet et le plus entouré de toutes les précautions propres à garantir l'exactitude des résultats est celui qui a été présenté encore en commun le 5 octobre 1846 par MM. Chevandier et Wertheim sous le titre Mémoire sur les propriétés mécaniques des bois (^]. Il est précédé d'un historique qui foit connidtre encore quelques expérimentateurs^ savoir M. Wheastone (*), qui a taillé des plaques de bois de forme rectangulaire, en réglant le grand côté, parallèle aux fibres, et le petit côté, de telle sorte qu'en les mettant en vibration on ait des lignes nodales diagonales, ce qui permet de déduire le rapport des élasticités dans les deux sens; M. Hagen {% dont il est question à l'Appendice complémentaire S ^ !

(>) s mai 4843, mène tome.

(*) Noni aroni eité, m $ 74 da S* Appendice, les npérienees de H. Welwr (ADB. de Poggendorff, t. UV) sur les fllt de soie, le comporUnt d'une manière analogue. ^

(*} S Juin 4846, 3* léri^ t. XIX.

(*) In-8% 4848, chei Bachelier.

(■) FkaoÊophieal Tramaeiùmë, 4833, p. 608»

n ^«Mlf» tfr Pôggindorft, t. LVIII, p. 4t5.

HISTORIQUE. CCZdiJ

et MM. Pacinoiti et Péri (^) dont les expériences de flexion ont été faites en posant les barres de bois tantôt sur deux appuis à faces horizontales et verticales, tantôt sur des rouleaux, tantôt sur des poulies. Ces derniers auteurs ont trouvé qu'en défalquant les parties persistantes, les extensions et flexions restaient proportionnelles aux charges, même en approchant du point de rupture (loi de Gertsner), et que le coefficient d'élastidté E est presque proportionnel à la densité dans les diverses variétés d'un même bois, ce qui rendrait sensiblement constante la hauteur du module de Young. Les expériences de MM. Chevandier et Wertheim, faites dans les Vosges, ont porté sur des échantillons de dix-sept espèces de bois, tirés de quatre-vingt-quatorze arbres. Les barreaux ont été extraits dans diverses orientations, ils ont été éprouvés à divers degrés de dessiccation ; on a déterminé les allongements, les flexions statiques, les cohésions ou charges de rupture, le nombre des vibrations; et on a comparé les résultats des expériences sur les tringles et les barreaux avec celles qui ont été faites sur les pièces entières débitées dans les dimensions ordinaires du commerce et des constructions. On a noté les densités, la nature du sol. On a mesuré les allongements élastiques et les allongements persistants. On a éprouvé des tringles taillées dans le sens des fibres, dans le sens des rayons des couches concentriques et dans le sens de leurs tangentes. Ce grand et beau travail sera toujours consulté avec fruit.

On doit aussi à M. Wertheim des expériences sur la vitesse du son dans le fer, faites en commun avec M. Breguet (') ; et une dernière note [') présentée à l'occasion d'expériences de M. Kirchhoff sur la comparaison de la flexion avec la torsion dans les verges rondes d'acier trempé et de cuivre (^).

H. Wertheim a inséré aussi aux Annales de chimie et de phy^ sique (3* série, t. XXY) une Note sur la torsion des verges homO'

(1) n Ctmeiito,3* tonte, 4S46.

(>) Comptei rendus, t. XXXII.

n Comptei rendus, t. Ll, p. 969.

(^) Annales de Poggendorff; on l'extraii publié par 11. Verdet aui Abb. de cta. •i de ph., 3« série, t. LU.

CCXCiV RÉSISTANCE DES SOLIDES.

gène$y une autre sur la vibration des plaguek drculairet (t XXXI) et une autre (présentée le iO décembre 1849) sur la propagatiom 4u mouvemeru dans les corps solides et dans les liquides. Le piMiier de ces trois mémoires avait pour but de justifier, par la comparaison des résultats de flexion avec ceux de torsîOD^ sa nlodificatioD aux formules que nous avons longuement diaeuté^s à noUvi Appendice Y. Le mémoire sur l'équilibre des solides homogènes, présenté le iO février i848 {^), où il propose cette modification peu heureuse, contient un assez grand nombre d'expériences sur des tubes en verre et en iaîtoB, mais qui peuvent^ comme nous avons dit (même Appendice] être interprétées autrement qu'il ne fait (*).

Un des travaux les plus considérables de Weftheitn est son mémoire de 1855 sur la torsion (').

Ce sujet a été, comme nous l'avons dit, traité pour la première fois par Coulomb (*) avec sa supériorité ordinaire. Son mémoire contient, avec une théorie saine mais s'appliquant uniquement aux fils ou aux cj^lindres à section circulaire, des expériences à Tappui, dans une partie desquelles la résistance est évaluée en eomptaht le nombre des vibrations tournantes. On y trouve (XX k XXV, seconde section) la première remarque qui ait été fldté des parties persistantes n'empêchant pas, quand on les défalque, l'élasticité de se conserver, ou kis parties non-persistantes de rester proportionnelles aux efforts. Depuis, M. Banks ('),

(1) AM. 4e chinU et de phyilqne, 3* lèrie, t. XXIII.

(>) AU Dombre des iravani de physiciens nous oe dcTOns ptf eubller àé mm-^ tionner celui de M. Person (Comptes rendus, 4 septembre 4848, t. XXVll/ p. 858], dinl lequel il troure pour It chaleur latente l de fusion de diyers méiiui dont E repréfeute le eoefficieal d'élaiiicité, cl n le poide ipéciaqaé (celui du

métra oBbe mm 4ouit)^ me CortMle I = KB M + *-^ ) . I^ ce«ffideiii K est

IrouTé le même pour le xioc, le plomb, le bismuth, l'argent, etc. Il se sert des expériences de M. Werlbeim sur les élasticités.

(*) Présenté le 49 fcfrier 4855. Annales de cb. et de pb. Jute 4S55, p. 495.

(*) Recherehei théorique» et expérimentalet sur la force de tonion et eur Pilas- UeUddeê fiU de métal, Mém. de l'Académie pour 4784... Obseryalions sur les loi! de réluUcité et de la cohérence.

(^ Treaiiie on the Power of Machine».

USTOUQUB. GCKV

M. Dualop C)y H. Réunie (*^ BL Bramab ('^ et M. Bevan ('), ont fait diverses expériences, surtout de rupture par torsion. Nous avons parlé de celles de Duleau et de Savart pour la . simple torsion sans rupture.

Bien que plusieurs passages dn mémoire de Weribeim siir la ioffâon aient été rédigés dans un esprit é? ident de poléoùque, et qu'on ne puisse lui accorder ni le retour à une formule de Cauchy à laquelle ce géomètre avait renoncé» ni Tévaluation du coefficient d'élasticité de torsion^ en le dé^uissmi, par ses fonnules théoriques modifiées, du coefficient d'élasticité d'extension, seul mesuré» les expériences consciencieusement et soigneusement faites, comme toutes celles de ce regretté phy* sicien^et qui ont porté sur des prismes ou cylindres circulaires, rectangulaires» elliptiques» en verre, cristal^ fer^ aci«r fcHidu^ laiton, IMe» bois de cbéne el de sainn» ne donnent paa moins une suite de résultats prédeux*

Des expériences récentes sur la torsion des bois ont été faites aiissi par H. Bonniceau^ ingénieur en chef des ponts el chaussées (*). Les torsions sont proportionnelles aux efforts tant que cenx-d ne dépassent pas une certaine limite ; les angles de torsion sont bien en raison inverse des quatrièmes pinssanees des côtés de la base supposée carrée; et les eflbris qui rompent sont eomdic les enbes.

lyautres expériences sur la towîon, qnî paraissent très-précises, avaient été publiées en 1842 par M. Giulîo (•). Il déduit la torsion des fils métalliques de l'allongement des ressorts en hélice que Ton en compose» car» lorsqae le pas de lliéKcé est ttès-peu Considérable» la torsion se trouve seule en jen» et peu

(i) D" ThÊmêm'ê JnnmU f PkUoêùpk^, U XOI, ^ SÛÛ.

(^ Philotophical TratuacUonSf 4818; oa Jnnalet de ch, et deph., 4848.

(^ PràtHeûl Ëêtay ofi (hê Strénffth of tâtt îron, hy TnégoM.

(«) ExverimeHU of ihe Moâuluê ôf Tattf&h h^ BenStÉmIn ÉwttH. 1Y*M. phfl., 19^9$ ftitéi êut 47 eipèces 4e Mt et 16 eipécet de MèlMt.

(*) Jnnalee des ponts et ehauisUèi, f 864 , ^ lemMtre.

(<) Jcàâhne âê Tkff», 4649; tù tô 44 juttiét 4644. IWut atltf«i ttènofrM du «aèdie e«t>èrMitfÉttlétir, loi te 6 Jltinèt M ta tO dèeembm f 646, figttfeiit iii um dé 4844. LMs «Il rèUUr i H Sekioft dM tm, rtuttS 6lt Miatir I reiiMiioe dis fllf de fer.

OU point la flexion. Ses expériences sur le fer^ le cuivre, Targent, rétain, le plomb, lui paraissent confirmer la loi de Gertsner (*).

On trouve aussi dans la Bibliothèque universelle de Genève^ t. V, n* 20, 20 août 1859 (Archives, p. S94) l'extrait d'un mémoire de M. G. Wiedeman sur la torsion des fils ('). Elles ont rapport surtout aux lois des torsions et détdïrsions permanentes, successivement imprimées.

Enfin, en 1802, le numéro de mars du Civil Engineer and Architectes Journal contient, p. 85, quelques expériences fiâtes à Glasgow par M. Rankine sur la résistance des barres à la rupture par torsion.

La résistance à la torsion dérive, comme nous avons vu, de /a résistance au glissement. Mais celle-ci peut être mise aussi enjeu sans qu'il y ait torsion, à savoir lorsque Faction extérieure contre laquelle elle réagit s'exerce dans un sens transversal aux pièces, ou dans une direction tangentielle aux sections ou faces de rupture, qui soit sensiblement la même sur tous leurs éléments, en sorte que cette action tende à trancher, cisailler, détruire Tadhérence; tendance qui a plus ou moins lieu dans toute flexion qui ne s'opère pas d'une manière égale d'un bout à l'autre ou en arc de cercle. Avant que M. Yicat ait appelé l'attention sur cette force trgnsverse^ et basé sur son omission la principale accusation qu'il porte contre la théorie ordinaire de la résistance des pièces solides aux efforts perpendiculaires à leur longueur (*), cette espèce de force ou de résistance avait été l'objet de diverses expériences. On peut en effet y rattacher ceUes de M. Boitard (^), sur l'adhérence des mortiers et sur la résistance que leur interposition entre les pierres de taille op-

(^) Le gHiMmeDt trtniyorul doit lYoir aaui une influence (Mémoire du 6 no- Tembre 4843 tui Compiet rendue, t. XVU, p. 40S0).

(S) Le mémoire complet le trouye daoi les FerhandJlMngm d»r tfatwrfon^ dktmden GtêeUêdiafft in Boêd, U* Heft., S, 4859.

(>) Ce reproche de H. Vical te trouye formulé pour la première fois i u Ik»er^^Uon (ficfi patU tuâpemdu cotutruil tur ia Dordogne à Jr§entat, in-4% 4830, p. S et 8. Il cite lei corbeaux, les touriUotu, les goi^font et tutrei pièces coarlM, comme se sontrtjtnt i celte théorie.

{^) Elles sont décrites au 1. 1 du Traité des ponU^ deGantbey, p. S63,

HISTOBIQUE. CCXCVij

pose au glissement de celles-ci Tune devant Tautre. Perronet avait fait aussi diverses expériences sur le frotteinent mutuel des pierres. On en doit aussi à M. Morin (^) sur l'adhérence des pierres avec mortier interposé, indépendamment de leur frot^ tement qui ne résiste que lorsqu'il y a mouvement commencé ou que Vadhérence est déjà vaincue. Enfin nous avons déjà parlé (p. 473) de celles de cisaillement de tringles de fer^ qui ont été faites par MM. Gouin et C*^ et d'autres plus récentes, sur des rivets d'acier, faites par MM. Combes, Lorieux et Coudie (*), qui ont montré que cette sorte de résistance, au lieu de s'élever^ comme pensait M. Yicat, à cinq ou six fois la résistance à la rupture par extension^ restait un peu au-dessous de celle-ci et pouvait être regardée comme en étant les quatre cinquièmes, conformément à la tliéorie, qui^ cependant, est donnée comme ne s'appliquant à la rigueur que pour des corps non-seulement isotropes, mais encore restant dans les limites de la conservation intacte de leur contexture moléculaire.

A mesure que nous avançons les expériences se multiplent, surtout au point de vue d'une application pratique immédiate ('). Presque aucun pont suspendu -ou autre ouvrage de fer, fil de fer ou fonte, ne s*exécute sans éprouver préalablement les pièces, indépendamment de l'épreuve totale à laquelle ces ouvrages sont finalement soumis (*). Toutes les usmes, tous les entrepôts d^ pièces de fer, essayent leurs produits.

Ainsi, les fils de 3 millimètres de diamètre du pont de Fribourg, d'une portée de 300 mètres, l'ouvrage le plus hardi qui ait été construit, ont été reconnus par l'ingénieur, M. Chaley,

(') NouvtUe» expériencêi nr Vadhérence dee pierrei et det briquei poeéêt à bam de mortier f eic,, 4838, et, auiil, Leçons tur la réeUtance de$ matériaux,

(>) Mftmes LeçoDi de M. Morin, 3" édit, (486S), L I, d* 70.

(*) M. Wietbaeb (Lehrhuck der Ingénieur and Machinen Mechanik) cite encore d'autres expérimenlalears tant anciens que récents : S' Grafesande, Brir, Moselej, UoU, Bomemann, Eitelwein ; pais M. Kamarch, arec une conmission nonmèe eu Hanovre; et, aussi, H. Ernest Lamarle, dont nous aTonseu occasion de parler ailleurs, et qui a conOrmé les formules de flexion, comme Duleau, en y soumettant des règles à section triangulaires posées altematiTement sur leur plat et sur leur ardte.

(*) La plus ancienne épreu? e peut-être est celle du PofU deg Arte^ à Paris ; on en voit la relation au BulUtm de Im Société philomuUhifue^ 4803, p. 464.

CCXCViij RESISTANCE DES SOLIDES.

supporter, avant de rompre, 82 kilogrammes par millimètre carré. Ils sont soumit à un effort permanent de 17'^53> et, lors de la charge maximum, à un effort de 26\88. Le pont a résisté à toutes les épreuves, même de pas cadencés, au son de la musique militaire^ et malgré de fortes oscillations (^].

Après avoir présenté, en 1835 (*), diverses observations coorparatives sur l'emploi des fils et des barres de £er, M. LeUanc^ qui avait conclu à l'adoption des fils, a présenté, en 1839, plu-> sieurs séries d'expériences, accompagnées d'importantes remarques sur ceux qu'il a employés au grand pont de la Roche- Bernard C*) ; et, ensuite, il en a publié le complément (^), où il remarque que les allongements augmentent avec rapidité après une tension des deux tiers de celle de la rupture; mais que^ soumis pendant cent jours à un effort considérable, les fils ont offert ensuite une résistance plutôt supérieure qu'inférieure à la résistance primitive, etc.

On trouve aussi diverses expériences sur les barres et sur les fils aux pages 295 et 334-336 d'une notice sur le pont suspendu de Saint->Ghristopbe, près Lorient, par MM. Leclerc et Moyen (').

Danslemémerecueil (Annales des ponts et ckûussées) on trMive> jusqu'à répoque actuelle, les résultats d'un certain nombre d'autres expériences snr la force ou la flexion des niatéiiaiix. — En 1842 (1** semestre, p. 336) un mémoire de MM. Fiadiit et Petiet sur les ponts suspeifKlus avec câbles en mbnns de ferlwninéy employés à la passerelle d'Abainrille et au pont de SnresneSi ( Voir aussi p. 394, le rapport de M. Baude sur les épreuves.) — Ëâ I8S6 (f semestre, p. 309), des recherches expérimentales de MXbevallier sur la construction des grandes portes d'écluses; ses expériences vérifient la théorie connue et le conduisent à établir^ sur la répartition des diarges, quelques principes qui auraieiii beaoiu

(^) AnntOm 4is pcmtê H cAantié^, 4S35, I** MmeMrff, p. 4 .

(*) ïdem, V wmeslre, p. 315.

(*) Idem^ 4S39,9* lemetlre^p. 300.

(^) DtMcriptUm dupotU nupendu de la Roche-Bernard^ 4S44 .

{•) Ann. dtëp, H ek., 4S50, 4*' lem^tre.

HISTORIQOE. CClciX

d'être examiQés.—Ettl85i(i*' sexnest., p. 253), lerésuitat^obteou par M. Féburier, des épreuves d'une entretoise destinée aux portes de la grande écluse de Saint-Malo. — En 1853 (i** se* mestre^ p. 78), une note de M. Brame sur Tapplication de b tôle à quelques ponts du chemin de fer de ceinture de Paris; ce mémoire renferme la relation de plusieurs épreuves auxquelles ces ponts en tôle ont été soumis, et de quelques expériences inédites faites aux forges d'Imphy^ près Nevers, sur les tôles, par MM. Gouin et G*. — En 4834 (f semestre, p. 257), un rapport, par MM. GoUet-Meygret et Desplaces, sur les épreuves faites à Tocca^n de la réception du viaduc en fonte construit sur le Rhône àTarascon, et sur les mouvements des arches par l'influence de la température et des charges, etc. A la suite du compte rendu des observations précises dont ces mouvements ont été Tobjet, se trouvent les résultats d'un assez grand nombre d'expériences sur des barres de fonte de 3 mètres ^e long, de 5 et 10 centimètres de ^té, faites aux ateliers du chemin de fer à Arles. — En 1855 (!*' sem., p. 192), des expériences de M. Pirel, sur la flexion des arcs et poutres en fonte de Lormont et de Ghàuvin au moment du passage des convois, et sur les mouvements que leur font éprouver les variations de température. — Même volume, p. 223, des expériences sur le coefficient d'élasticité de la fonte par M. Baumgarten. — En 1857 (2*" sem., p. 257), un mémoire de M. Decomble sur la meilleure forme à donner aux poutres droites en fonte ; on y trouve plusieurs expériences, et un grand nombre d'utiles considérations basées sur des faits de la pratique du coulage des pièces. — En 1859 (l"sem.,p. 129), un mémoire de M. Plocq sur les épreuves d'un pont tournant en tôle de Dunkerque. -— Même année (2^ sem., p. 326), les expériences faites par M.Noyon sur les fils des câbles du pont de la Roche-Bernard, après Taccident causé en 1852 par des oscillations horizontales pendant une violente tempête. — En 1860 (2'' sem., p. 113), d^ remarques de M. le colonel russe Jonravski sur les poutres en treillis et les poutres pleines en tôle, suivies de quelques épreuves et expériences. — En 1861 (2* sem., p. 1)^ un rapport de MM. Oombes, Lorieux et Couche sur les conditions d'épaisseur pour les tôles d'acier fondu employées dans la construction des chaudières à

ccc aEsistamce des solides.

vapeur. On y trouve un certain nombre d'essus d'extension et de rupture de la tôle à froid et à chaud^ et les avis de divers ingénieurs^ offrant comme le résumé de ce que leur expérience leur a appris à ce sujet.

Cette commission avait exprimé l'avis que de nouvelles expériences étaient nécessaires. Elles furent faites (même volume de 1860) par M. Tresca^ sous- directeur du Ck>nservatoire des arts et métiers; son procès-verbal en contient aussi sur diverses barres d'acier vif.

Les Annales des mines (où Ton trouve déjà, en 1826, on article de M. d'Aubuisson sur les limites d'élasticité) ont enregistré également diverses expériences qui sont consignées, entre autres, dans des mémoires de M. Couche, de 4852 et 1854, principalement sur les rails de différentes formes. On y trouve aussi (1852), à la suite du Mémoire sur les ressorts en acier employés dantf le matériel du chemin de fer, par M. Phillips, un certain nombra d'expériences sur Télasticité de l'acier.

M. Ferdinand Zorès, dans une notice jointe à son Recueil de fers spéciaux, dont il était entrepositaire (quai Jemmapes, SIS), a donné les résultats d'un certain nombre d'expériences sur la flexion et la rupture de ses échantillons à double T (p. 113 ciaprès).

Depuis 185S, il se fait à Saint-Pétersbourg, dans l'Observatoire de physique central, des expériences dont il est rendu un compte annuel au ministre des finances. Les comptes ainsi rendus de 185S, 1853, 1855 en contiennent sur l'élasticité des métaux, déterminée tant par leurs flexions ou torsions statiques que par leurs vibrations transversales ou tournantes. Le compte de 1856 en contient qui sont relatives à l'influence de la chaleur sur l'élasticité.

Mais les principales expériences du milieu du siècle où nous sommes ont été faites en Angleterre, et quelques-unes sur une échelle presque gigantesque.

Depuis longtemps, le célèbre M. Fairbaim (aujourd'hui correspondant de l'Institut de France) qui, le premier, a construit pour la marine anglaise des navires de grande dimension tout en fer, avait entrepris dans son bel établissement de Manchester une suite d'expériences sur la résistance des matériaux,

BISTOBIQUE. CCCJ

et il avait, pour en étendre le cadre, mis à la disposition de son savant ami M. Eaton Hodgkinson^ professeur de physique, les moyens dont il disposait. Dès 1830, M. Hodgkinson s*était fait avantageusement connaître par divers beaux mémoires, dont cinq insérés au volume de 1831 de ceux de la Société littéraire et philosophique de Manchester; quatre d'entre eux étaient relatifs aux ponts suspendus; Pautre, qui doit fixer davantage BOtre attention^ était intitulé : Recherches théoriques et expérimentales pour déterminer la force et la meilleure fom^ des poutres en fer\^). Devenu collaboratenr de M. Fairbairn^ il entreprit d'abord avec lui diverses séries d'expériences ayant surtout pour objet la comparaison des fontes fabriquées à Pair froid et à Pair chaud; et ces deux habiles expérimentateurs publièrent, dans deux mémoires séparés, au même volume de l'Association britannique pour l'avancement des sciences ('], les résultats que chacun avait plus particulièrement recueillis. Ces expériences furent suivies d'autres non moins précieuses^ dues à M. Hodgkinson, sur la résistance des colonnes (pillars) de fonte, et qui donnèrent lieu à la présentation d'un mémoire du 22 avril, lu le 14 mai 1840 devant la Société royale de Londres, et inséré au volume de la même année 1840 des Philosophical Transactions (*), p. 385.

Les divers mémoires dont nous venons de parler furent réunis de manière à former la matière d'un supplément à une < nouvelle édition du Cast Iran de Tredgold, supplément publié à part en 1846.

Cet ouvrage plein de faits, dont M. Combe avait donné quelque idée dès 1844 en publiant le premier volume de son

(1) Memokn ofUUtrary and pkUotophieal Society of ManehetUr^ toI. V, 4834, p. 407644.

(*) Mepcri of the tevenih meeting of the BrUùh asMoeiation for ihe advanee^ ment of Science^ keld at Lherpool^ lept. 4S37, YOl. VI. Page 337, Od theroltliTO •trengib and olber mecaoleal PropeitiM of cast Iroo obtained bj bot aod cold blait by EatoB HogdUnaoo. Page 377^ On Ibe slrenglb aod otber Properties fIroiD ibe bol and eold blasi, by W. Fairbairn.

(f) Msperémentai reêeetreheê of tke siren§th of Fittan of étui iron and other muteriale.

CCCij RflSlS'lANCE DES SOLIDES.

Traité de l'exploitation des Mines, a été traduit presque entièrement en français vers 1850 et inséré aux Annales des ponts et chaussées seulement en 1855 {^), par M. Pirel^ à qui il avait été prêté à Bordeaux par un ingénieur suédois.

Les expériences de M. Hodgkinson sur la fonte fabriquée tant à l'air chaud qu'à l'air froid^ portent d'abord sur la résistance à l'extension de pièces de fonte à section en croix d'équerre, et en opérant quelquefois la traction dans une direction qui n'était pas suivant l'axe mais suivant une arête; dans ce dernier cas la résistance était réduite au fiers. Il en a fait beaucoup aussi sur la résistance à la flexion et à la rupture par fleûon des poutres en fonte.

Celles de M. Fairbaîrn (môme omTage traduit, et tirées du même volume Vi de V Association britannique) sont relatives en grande partie à des pressions longtemps continuées, transversalement et au milieu, et voisines de celles de rupture, faites sur des barres de fonte. Trois de ces neuf barres furent trouvées rompues au bout de cinq ans. D'autres expériences de H. Faîrbaim sont relatives aux flèches non permanentes ou permanentes^ etc., et ont porté sur des fontes de tons les fourneaux de la Grande-Bretagne. Beaucoup furent faites sur des poutres à section transversales en T et à section longitudinale doublement parabolique comme celle des pièces qui sont d'égale ré- •ststance pour une largeur constante. La séparation d'une sorte de coin du côté devenu concave a été plusieurs fois observée lors de la rupture.

Les nombreuses expériences [idem, tirées des Trtmi. pkU. 1840)

{^) Meehereheê iur la résistance H les diverses propriétés ée la fonte ée fer^ par EatOD Hodgkinson, traduiles par M. Pirel (h" semestre, page 4).

lies flsarea 53 -ei £Î 4te U plaacto 71 été Aaoalef , joiiiief i-«eue Uiteeiioa de H. Pire), ont été copiées sur. des figures dans le texte avec traits épiffl, qui ool fait jiiier i tort au deaMnaieor qu'elles reprëieDtaieiil 4es piècM creoMif, Uadi a qu« ee tout des jpMces pleines, ayaBi «ftoe d'aulrci proporiions.

H. Pirel n'a paa traduit le dernier article (sur Ja torsion) qui, es effet, u'oOire pas d'iulérêt, et l'ai aot-dernier intitulé Theoreêkal SÊsquùia teiik regard tê tkm sirength of BeamM, où il m'a paru qu'il j aiaU use idée propre i liioudre approximatiTemenl le problème de la résistance à la rupture immédiai*^ C'est cette idée que J'ai déTeloppée, en la modifiant d'une manière esit ntiellei i la note du B* 451 ci-aprét.

HISTOBIQUE. CCCllj

Mies pur M. Hodgkmson sur les résistances à Ift compression^ portèrent d'abord snr des. prismes coorts (de bois^ pnis de fonte) qui cédaient par écrasement^ en se di^oignant latéraleaeni de diverses manièn», puis de colonnes (pilins) qoi cedaîeoi d'uae manève intermédiaire entre celle qui èbnsîite à s'écraser «I celle qui consiste à fléchir latérakmeal comme les Ipièees 4itei debout. IL Bodgkioson représente empiiwpMmeBt les résuKats par «me formule comme cdle d'Euler, velttfare à eelies-oi (a*" XII) excepté qu'au lieu de la puissance À du diamètre il y a au ncMSiéral^ur une puissance 3,6, et qu'au lieu de la puissance 2 de la longueur il y a au dénominateur la ' puissfiBoe ^7 [^\

EafiD les expériences de 1630 de M. Bodgkinson, pour déterminer la meilleure forme à donner à la section des poutres en fonte, sont fort nombreuses. Cette fonae à double T est^ suivant lui^ celle où la semelle ialërieune a une suptf ficie qui est à celle de la semelle supérieiffe dans le rapport de 6 à t des •résîKtaneas à récrasement des pièces courtes^ et à la rupture par extension. En supposant cette condusioQ -n^acte pour la rupture immédiate, rien ne dit qu'on doive l'adopter pour la rupture éloignée; aussi les constructeurs s'accordent-ils généralemeoi à préférer les seatelles égales* < Kojfie^ les discussions aux SS i3 et il, i% dw Notes des n"* 113 et ItO, p. lOSet lia)

(') M. LoTe^ qne nous citerooi de nouveau tout à l'heure, a /eprésenté les nCmefl ezpèrieDces par une formule plus radie à calculer et qui donne en mèoie temps d0s rés«lUU plus rapproebés, «d la 4* polasance te Afamèm ett laissée au numéraleur, inai^ où il y a, au dèBoas^naleur, 4eu2 ternes, saroir us affeclé de la puissance % de la longueur, ei un afleclé de la puissance 3 du diamètre. Oea àwi forniiri«B «e stUshMit point avx dent cas extrêmes de pièces très-conrtea, où U Dorce ^ai fait fonipre <«t sénptewept pnfortiaDBàUe an ewié 4o élamètre et à peu près indépendante de la longueur, et de pièces ayant des loiigueurB pour lesquelles Dnleau a reconnu que la formule d*Eu1er ^obsenralt. Une for-

mule .elle que (l)"=(jl)"+(Jl

j aurait Varan tage de donner,

pour la force qui fait rompre, P = la formule d'écrasement R'a> ( a> étant rain Se la sectfon) qaatd la longueur l est extrêmement petite, et P = l'expression d'ËuJbr ^«nd la longoMur eat extrèaseoent graiMle. 11 o'f aorait qu'à déterminer l'exposant «i de manière i satisfalae le mifux poiiible aux intermédiaires.

CCCiV Rf:SISTANCE DES SOLIDES.

M. Hodgkinson renvoie, pour les résistances au choc et aux vibrations, à son einquième rapport y inséré aux Mémoires de l'association britannique en 1835.

Il cite aussi des expériences inédites d'autres auteurs, entre autres dé M. Bramah et de M. Thomas Cubbitt, que nous allons retrouver membre d'une commission célèbre; expériences dont quelques-unes avaient été faites en commun avec M. Henri de la Bêche pour s'acquitter d'une mission du gouvernement ayant pour objet de rechercher les causes de la chute de deux bâtiments d'usines; elles portent sur diverses longues poutres en double T.

On trouve aussi, dans un ouvrage plus récent de M. Fairbaim, intitulé De Vapplication de la fonte, du fer et de la tôle dam les constructions, traduit en 1857 par E. Perret-Porta, et réuni en un même volume avec la traduction ci-dessus de M. Pirel, quelques expériences sur les poutres en T et à double T, et, aussi, sur les poutres en treillis; mais, surtout, un grand nombre de conseils et d'indications pour leur emploi dans des plandiers,* et la construction « d'entrepôts incombustibles. i>

LXn. Salie éttm expérteneM. — Mais, en 1845, l'illustre ingénieur Stephenson, chargé de la construction du chemin de fer qui aujourd'hui longe la côte nord du pays de Galles en se prolongeant à travers l'Ile d'Anglesey jusqu'au port le plus rapproché de l'Irlande, s'étant décidé, afin de satisfaire aux exigences de l'amirauté, à construire sur de très-hautes culées, pour la traversée du détroit de Menai et pour celle de la baie de l'embouchure de la rivière de Conway, des ponts composés de poutres droites et creuses d'une grande portée, dans Tintérieur desquelles les trains pussent passer, pria M. Fairbaim d'entreprendre une suite d'expériences sur la force de la tôle, matière dont il se proposait de construire ces ponts tubulatres, d'un genre aussi hardi que nouveau.

Les expériences à ce sujet ont été publiées, ainsi que tout ce qui se rapporte à la construction de ces deux grands ponts, et aux incidents instructifs qui s'y sont passés, dans

niSTOBlQUE. CCCV

un ouvrage de son collaborateur M. Edwin Clarke (^), qui a été traduit en partie par M. Yvert (').

Les expériences consistèrent d'abord à soumettre à la rupture par flexion, au moyen d'un poids suspendu au milieu, divers tuyaux de tôle rivée, posés horizontalement sur deux appuis. On reconnut qu'une section elliptique posée de champ était préférable à une section circulaire, et qu'une section rectangulaire, plus haute que large, valait encore mieux. Et comme on aperçut que la rupture avait presque toujours lieu par l'écrasement ou plutôt le ploiement ou le soulèvement de la partie devenue concave, c'est-à-dire de la partie supérieure, sous l'effort de compression longitudinale qu'elle avait à supporter, on se décida à donner à cette partie supérieure une coupe transversale cellulaire, ou à la composer, dans un premier essai, de deux tuyaux ovoïdes, puis ensuite d'un plus grand nombre de tuyaux, à section rectangle et juxtaposés. On fit quelques expériences sur la résistance, à la compression longitudinale, d'un tuyau de cette forme rectangle; puis les expériences portèrent sur un modèle, au sixième, du grand tube projeté en tôle. Ce modèle avait environ 23 mètres de portée, et sa partie supérieure était, en coupe transversale, divisée en six cellules rectangles. Chaque fois qu'il a été rompu, ce qui a eu lieu désormais par déchirement de la partie inférieure, on le réparait en renforçant cette partie ; on a reconnu aussi par expérience le rapport à donner aux forces respectives des deux parties. Puis, comme le pont devait être un grand ouvrage de chaudronnerie, on s'est livré à plusieurs séries d'expériences sur la résistance, à la traction, des tôles simples ou assemblées, et de leurs rivets d'assemblages, placés de diverses manières et unissant deux, trois, quatre feuilles, et sur la part

(>) The Britannia and Conway tubulnr Bridge^ with gênerai JnquirUs of heamt and an the Properties of malerial used in Construction, London, 4850, publisbed wilb tlic sauclion and under Iho supervision or Uobt;rl Slephcusun. "2 vol. iu-8« and Allas in-S».

Op peut consulter aussi : On Account of tfie Construction of the Britannia and Conway Bridge^ by Stepbenson.

(*) IS'otice sur les ponts avec poutres tabulaires en tôle^ par L, Yvcrl, avec une iniroductioQ par E.FIachat» et au alla* trés-dèlaiUé.

d'influence du frottement mutuel des feuilles dans les résistances.

Dans les dernières expériences on mesora les flèches ou flexions prises sous diverses charges graduées.

La mise au levage des immenses tubes, la liaison ensemble des quatre de Menai, au-dessus do trois piles (dont Tune était fondée sur le rocher Britannia qui se trouve à peu près au milieu du détroit), de manière à ne former qu'une seule poutre, donnèrent lieu à d'autres observations curieuses; et un accident, qui heureusement n'eut pas de suites fâcheuses, donna lieu à d'autres remarques sur les forts cylindres de presses hydrauliques et sur ce qu'il y a de mieux à observer en les fabriquant.

Mais une autre circonstance, vers le môme temps et dans le même royaume, fut l'occasion d'expériences précises, plus nombreuses et plus variées, et de la réunion d'un grand nombre de documents et d'avis, résumant le savoir pratique de ses constructeurs les plus distingués. Un accident grave étant survenu, en 1817, par la rupture d'une poutre en fonte d'un pont de chemin de fer, une commission fut nommée par la Reine, le 27 août de cette môme année, pour faire une enquête sur l'emploi du fer et de la fonte dans les constructions dépendant des chemins de fer, surtout dans les parties exposées à des secousses et à des vibrations. Le rapport de la commission, du 26 juillet 4849, a été imprimé avec des Appendix étendus contenant tout le détail des expériences, et les procès-verbaux de l'audition des personnes appelées à lui donner des renseignements, ainsi que les calculs qui ont été faits par M. Willis, de l'université de Cambridge, l'un des membres de la commission , secondé par M. Stokes, membre éminent du Collège de Pembroke de la môme ville (*). •

(*) Report of the Commissionners appointed io inqnirc into the application of Iron to RaUwayi structures; signé : lord WTolesIcy, WllIis, Henri James, Rennie, CubbiU, Hodgkinvon, Douglas Gallon (lieutenant du génie, tecréiaire),

Ce rapport, sans les appendices ni les planches, a été traduit par H. Busclie, i>t inséré aux Annales des ponts et chaussées, 18ot , 1'^ semestre, p. 49.*).

HISTORIQUE. CCCVij

Les dépositions, quoique pas toujours concordantes, de divers constructeurs, ont paru cependant établir que les pièces de fer exposées à des vibrations se rompent souvent après un long usage et présentent alors une structure cristalline. C'est aussi l'état auquel le filetage amène souvent le fer fibreux, au moins dans la partie filetée, à cause de l'ébranlement qui accompagne toujours cette opération.

Les expériences sur les barres de fonte ont été de divers genres. Les unes ont été soumises jusqu'à 4,000 fois au choc horizontal d'un boulet suspendu au bout d'un fil comme un pendule; les autres jusqu'à 100,000 fois à la flexion intermittente produite par une came tournante;. d'autres barres horizontales ont été heurtées verticalement. Elles ne se brisaient que lorsque la flexion, répétée ainsi un grand nombre de fois, excédait sensiblement le tiers de celle de rupture sous une charge statique.

D'autres barres ont été soumises à l'action lente et continue d*un poids presque égal à celui de rupture statique, promené d'un bout à l'autre alternativement en avant et en arrière jusqu'à 96000 mille fois.

Ces expériences ont confirmé divers résultats de la théorie ; elles ont montré par exemple^ que la flèche dynamique est à peu près proportionnelle à la vitesse d'impulsion (n" L, LI, LVI) ; qu'il faut un choc de môme force pour rompre une barre rectangulaire et môme plate soit qu'on la frappe sur le plus ^rand côté ou sur le plus petit, et qu'une barre carrée de môme volume rompt sous le même choc (idem) ; que des poids additionnels, également répartis sur une barre, de manière à augmenter la masse à mouvoir sans augmenter la résistance étatique, la rendent capable de résister à des chocs plus forts (idem). Les flèches sont alors assez exactement représentées par la formule où Ton tient compte (idem) du partagé de la vitesse entre la masse heurtante et la masse heurtée réduite aux 17/35 environ.

A Portsmouth, des chariots ont été abandonnés à leur poids au sommet de plans inclinés de manière à passer, avec diverses vitesses acquises, sur des barres faisant rails au bas : on mesurait les flèches dynamiques, etc. ; et, comme nous avons déjà eu

CCCViiJ BÉSISTANCE DES SOLIDES.

occasion de le dire (n* LVII), on disposait, dans des expériences plus en petit, un appareil pour augmenter artinciellement à volonté l'inertie de la barre.

Deux expériences de charge voyageuse en grand ont été aussi exécutées en faisant passer rapidement une locomotive et son tendèr sur les ponts d'Ewel et de Godstonc, et les flexions ou dépressions en divers points des poutres ont été observées au moyen de styles faisant leurs traces sur une planchette fixe^ appuyée de part et d'autre sur les culées.

Enfin, des expériences d*e6ets statiques ont été faites avec précision et en grand pour connaître les allongements et les accourcissements de longues barres de fonte ou de fer tirées ou pressées longitudinalement. Les effets, passé une certaine grandeur^ ont crû plus rapidement que les causes, en sorte que M. Hodgkinson, auteur de ces expériences, les représente en égalant la charge à une expression binôme dont le premier terme, positif, est proportionnel à la dilatation ou à la contraction, et le second, négatif, est proportionnel à son carré. M. Hodgkinson fait le coefiicicnt du premier terme moindre d'un quatorzième dans la formule des pressions que dans la formule des tractions -, mais les chiffres même fournis par les expériences prouvent pour le principe de l'égalité des extensions et des compressions produites par des charges égales sufiisamment petites, surtout si Ton défalque les petits effets permanents, attribuables à un léger écrouissage.

Le même expérimentateur a fait à cette occasion de nouvelles expériences d'écrasement des prismes courts.

Des barres ont été aussi soumises, à Portsmoulh, en grand nombre, à des flexions transversales statiques.

Les Àppendix du même ouvrage reproduisent, en en faisant connaître de nouvelles, des résultats d'expériences précédemment exécutées ; celles par exemple qui l'ont clé sous la direction de M. Stephenson sur la résistance des poteaux creux en tôle ; des détails nouveaux sur les ponts de Conway et de Menai (ou Britannia); celles de M. Fairbaim, etc. Parmi le grand nombre d'ingénieurs dont les interrogatoires détaillés figurent à Tenquête, plusieurs ont inséré des tableaux d'expériences qui

HISTORIQUE. CCClX

leur sont propres : ce sont MM. Barlow, Raslrick, Stephenson et Uosking, W. Fairbaim, Hawkskaw, Gooch, Moris Stirling : elles portent principalement sur des fontes et sur les divers mélanges qu'on en opère pour compenser mutuellement leurs défauts ou augmenter leurs qualités.

D'utiles et intelligents extraits ont été faits des résultats de ces diverses expériences par M. Love, dont l'écrit de 1852 (*), réédité avec des additions considérables en 1859, contient, avec quelques accusations non fondées contre la théorie, un grand nombre de vues utiles. La deuxième édition (') relate un grand nombre d'expériences encore peu connues. Telles sont celles de M. Brottier, dé M. Faure, de M. Houlbrat, sur la traction des fontes ; de MM. Ernest Gouin et Lavalley sur la tftle d'acier fonduy sut* les fers spéciaux de la Moselle, etc. ; du môme M. Lavalley sur des fontes de mélange, sur les tôles d'Imphy et de la Moselle, et sur le cisaillement des rivets; de M. Tenbrink (chef des ateliers de Montigny-lès-Metz, chemin de fer de l'Est) sur l'allongement des barreaux du môme métal, etc. ; de M. Delaporle sur les fontes de Mazières (Cher); de M. Laine sur les fontes de Torteron (au bois et au coke) ; de M. Faure sur les fers dont on fait les boulons et les rivets, etc. Plusieurs des faits nouveaux cités par M. Love paraissent de nature à amener des économies notables dans les poids de métal à donner aux conduites d'eau et aux chaudières à vapeur.

Ces résultats divers se trouvent aussi résumés dans ce qu'ils ont déplus propre à éclairer la pratique^ et discutés de manière à fournir les coefficients numériques de ses formules, dans les Leçons sur la résistance des matériaux de M. le général Morin, où l'on trouvé aussi des expériences récentes et nombreuses de M. Fairbaim sur l'écrasement des tubes en tôle par pression

(1) Mémoire sur la résistance du fer et de la fonte, 485i, in-8*. (') Des diverses résistances et autres p7'opriétés de la fonte^ du fer et de Vacier, 4859, in-8».

. CCCX . nÉSlSTANCE DES ÎSOLIDLS.

extérieure sur leur surface latérale; une expérience analogue faite à Montluçon; des expériences inédiles de M. Pronier sur les bandages en fer et en acier, de M. Guettier sur des poutres en fonte à T, de MM. Hick sur la résistance au découpage y de M. Gariilion et de la Société de TExpansion de Blulhouse sur la torsion des cylindres de fonte. Mais la dernière édition (*) contient en outre les résultats d'un grand nombre d'expériences nouvelles faites par lui ou bien sous ses yeux au Conservatoire des Arts et Métiers, surtout par M. Tresca, sous-direclrur, ancien élève de Técole polytechnique et de l'école des ponts et chaussées. Ces diverses expériences,* comparables à celles des constructeurs quant à réchellc, ou à la dimension des pièces sur lesquelles elles portent, le sont à celles des physiciens (]uant aux précautions dont ello^ sont entourées, et à la précision des résultats, obtenus avec des cathétomèlres très-sensibles. Plusieurs ont eu pour objet, et ont aussi eu pour con* %cquences, de confirmer le^ formules de la théorie , attaquées par divers expérimentateurs , parmi lesquels se sont trouvés quelquefois des savants qui ne s'étaient pas suflisamment pénétrés de leur vrai sens. Ainsi, elles ont prouvé que les allongements et accourcissements permanents qui empêchaient M. Hodgkinson de souscrire au principe de proportionnalité des petits elTets aux efforts, étaient extrêmement faibles, comparables aux changements de longueur produits par de petits changements de température, et attribuables d'ailleurs à des circonstances de l'opération, etc. ; que la proportionnalité et les autres lois admises s'obsen^aient aussi dans les flexions, etc. D'autres, dont nous parlons ailleurs (Appendice complémentaire, n" 78, p. 706), ont eu rapport aux poutres en fer à double T des planchers, et à leurs assemblages. D'autres ont été faites sur des barreaux de bronze, sur des rails de cliemin de fer de diverses formes et provenances ; d'autres l'ont été sur des fermes en fer et ont confirmé à peu près les formules établies comme nous avons dit au n" XLTX, p. ccx, ccxj. D'autres,

('; Cours de Mécanique pratique. Résistance des matériaux. 3» édil., S toI.

lUSTORIQlîE. CCCXJ

en grand nombre, l'ont été sur l'acier et sur ses tôles, qui fixent (le plus en plus raltcntion depuis que la métallurgie est par>'enue à les donner à un plus bas prix, etc.

Espérons que grâce à ces observations multipliées, faites dans un esprit à la fois scientifique et pratique, les points encore incertains pourront s'éclaircir^ et que, la théorie ne restant point en arrière de l'expérience, mais, au contraire, fournissant des formules pour des problèmes qui se sont longtemps soustraits à ses calculs, on pourra un jour donner des règles et des chiffres plus sûrs et plus propres à faire remplir aux constructions la double condition de solidité et d'économie, surtout si des expériences prolongées, ou dans les résultats desquels le temps entre comme élément, permettent d'arriver à ces nombres et à ces proportions de réduction des résultats de rupture immédiate, que jusqu'à présent on ne fait presque que conjecturer. (l'.n'XLlX.)

FIN DE l UISTORIOVE.

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