ARTICLE III

DE LA RéSISTANCE d'DN CORPS PRISMATIQUE A LA FLEXION PRODUITE PAR Ulf EFFORT DIRIGE PERPENDICULAIREHERT A LA LONGUEUR DE CE CORPS.

76. Quand un corps prismatique est tiré dans le sens de la longueur, tous les éléments longitudinaux, ou fibres, s'allongent. Si le même corps est comprimé, et qu'il ne puisse céder en pliant, les fibres s'accourcissent. Lorsque les allongements ou accourcissements sont très-petits, ils sont proportionnels à Teffort qui les produit. La variation de longueur d'un corps, pour un effort donné, est d'ailleurs évidemment proportionnt'lle à la longueur de ce corps {*).

77. Quand un corpâ prismatique est fléchi, les fibres situées du côté de la face convexe sont allongées; les fibres situées du côté de la fece concave sont accourcies; certaines fibres, situées dans l'intérieur du corps, conservent une longueur invariable. En admettant, conformément à ce qui a été dit ci-dessus , que les fibres opposent à rallongement et à raccourcissement des résistances proportionnelles aux quantités dont les longueurs de ces fibres varient, on peut se rendre compte de la manière dont un corps résiste à la flexion.

Soit un solide prismatique droit (fig. 1 des planches à la fin du volume) encastré horizontalement à l'extrémité A, et fléchi par l'action d'un poids P suspendu à Tautre extrémité B. Considérons une section transversale quelconque mana'. Soit aa* la ligne horizontale qui est la section des fibres dont la longueur n'a pas varié (**). 11 est nécessaire, pour l'équilibre de la partie

(*) Ces principes ont été déduitsmathématiquement, à]j| note du n* 21 , de celui des actions moléculaires fonctions continues des distances.

(♦♦) L'auteur suppose cette ligne aq,' perpendiculaire au plan

28 SliCr. 1. RÉSISTAWCK DES SOLIDES.

du corps située à droite Aemana' : 1' que les extensions et compressions des fibres aient fait naître, dans cette section, des forces verticales dont la somme égale le poids P (*) ; T que la somme des forces horizontales produites pai* ces extensions et compressions soit nulle; 3^ que la somme des moments des forces verticales et horizontales dont il s'agit, et du poids P, pris par rapport à Taxe fixe aa\ soit nulle.

On nommera

E la force nécessaire pour allonger ou pour accourcir un prisme dont la section transversale est l'unité superficielle, d'une quantité égale à la longueur de ce prisme.

p le rayon du cercle osculateur de la courbe du solide, au point où est faite la section transversale mana'.

u Tabscisse d'un point quelconque de la section ama'uy comptée sur aa*.

V rordonnée d'un point quelconque de cette section, prise perpendiculairement à ad.

b la plus grande valeur de u.

f^u l'ordonnée pm de la courbe qui termine la partie de la section transversale où les fibres s'allongent.

fjiA Tordonnée pn de la courbe qui termine la partie où les fibres s'accourcissent.

X la distance de la section transversale ama'n à Textrémité encastrée.

a la distance du point d'application du poids P à l'extrénuté

vertical de sollicitation ABP. Cela n'a pas toiyours lieu. (Voyez ciaprès la note du n** 83).

{*) On montrera , aux notes des n*' 152 à 155, que ce ne sont pas les exteasioos et compressions des fibres longitudinales, mais Tiaclinaison qu'elles prennent sur la section, ou ce qu'on a déjà appelé le glissement (note du n* 3) qui fait naître les forces transversales ou vertiisalej? doot 1» somme égale le poids P,

ART. m. FLEXION. 29

encastrée, qui ne diffère pas sensiblement delà longueur AB du solide.

Dans rétat naturel du corps ^ dx est la longueur de la portion

infiniment' petite de la fibre dont les coordonnées sont Uy v.

dx Après la flexion, cette longueur a augmenté de — v, parce que

dx Tangle des deux normales consécutives est — . La proportion

P suivant laquelle cette fibre s^est allongée est donc

dx

-^, ou -.

dx p

L'aire de la section transversale de la fibre étant dudv, la résistance qu'elle oppose à l'allongement est

E . dudv . - ; P

et le moment de cette résistance, pris par rapport à l'axe aa', est

E . dudv . •-.

Par conséquent les sommes des résbtances des fibres étendues et comprimées sont respectivement

pjo Jo Pjo Jo

et la somme des moments de ces résistances^ pris par rapport à l'axe aa', est

78. On aura donc pour exprimer l'équilibre des forces horizontales^ condition qui détermine la situation de l'axe aof,

Jo Jo Jo Jo

30 SECT. 1. RtSISTANGE DES SOLIDES.

L'axe ad passe par le centre de gravité de la sectitm transversale mana'.

79. On aura ensuite, pour exprimer l'équilibre de rotation autour de cet axe,

On néglige les moments des forces verticales, ce qui est permis quand l'épaisseur du corps est petite par rapport à sa longueur (*). Il est nécessaire d'ailleurs que l'épaisseur du corps soit petite par rapport à sa longueur pour que les allongements et accourcissements des fibres, et les forces intérieures qui en résultent, soient telles qu'on le suppose ici; et les résultats suivants ne peuvent être appliqués lorsque cette condition n'est pas satisfaite.