x', 8ina:"=cosx', cosz" •= sinx* 8in2x^ = 8in2j

Aireeo=~^^-.2x').

VoBDwt sutique = - - (2— sinx'cosx^ (cosx'— sinx'),

Moment dlnertie 1= J g-2x'-?l^.

3' Portion QBAB'Q' où Tare est B AB' = 2ra qui a sa corde parallèle à l'axe OGm. Alors x* = — «, x^= «.

Aire w = — (2a + sin2a}.

Moment sUtiqne -^ siu a(2 + COS'a) =s ^ sln a(5 + C0S2a) . o o

. ^,. -. f ^ ^^ , sïû2a , sin4ft\ Moment d'inertie I =- (^j« + -2^ + -^g^J.

6* Segment BAB'D dont Tangle au centre est 2a et dont la corde estc=2rsina.

En retranchant des trois expressions (3*) qu'on vient d'obtenir ce qui est relatif au rectangle QBB'Q do(it l'airç et les moments sont

(i)u &• SA).

-^ » «-^ (rcosa)» ^ , (rcosa)*

îrsin o . rcosa» 2rsin « ^ — ^ , 2rsin « ^ — ^— ^,

on a pour le segment

Moment statique z=z - (rsin«)' = -^ autouF du diamètre parallèle à la o 12

corde,

, JoL sinZia\ 2r*aVi ^ i^ 32 , \ Momffnt d'inertie autour de idem, I = r* ( t j^ j = o ( ^ ~ i " "^ ïâk *""•-/

5* Môme segment Moment d*inertie autour du diamètre perpendiculaire à sa corde. On l'obtient en faisant a^ = « — * t ^'= 5 "** • dans Pexpresslon générale du 1", ce qui donne

5 U. Moments d^inertie d'une ellipse autour de ses axes ou diamètres principaux b, c. — Son moment 1' autour de 6 se déduit facilement de celui du cercle ayant pour diamètre c; car, comme les deux figures peuvent être décomposées , par des ordonnées parallèles à o , en un même nombre de rectangles élémentaires de même hauteur chacun à chacun, ayant des bases comme 6 est à c,

on obtiendra V en multipliant par - le moment t ( â ) ^^ cercle autour de son diamètre, et on aura de même r, moment de Tellipse autour du second axe c, en multipliant par ^. Donc ces moments principaux de Tellipse ont pour valeurs

ART. III. FLBXIOfV. 6?

8^. Le moment de flexion d'un tuyau est la différence des moments de flexion de deux cylindres ; r' et r^ étant les rayons extérieur et intérieur du tuyau, le moment sera

Les moments d*inertied*un segment d^ellipse ayant sa corde pareille à Tun des deux axes, autour de cet axe et autour de Tautre, se

déduiraient de la même manière, en multipliant par - ou par ^, les

moments d'inertie des segments de cercle du paragraphe précédent.

(♦) S 1. Méthode de quadrature pour le calcul approximatif des moTuents d'inertie défigures gM^/conçue^.— Nous renvoyons, comme nous avons dit, à la note du n* 120, le tableau des moments d*inertle des diverses autres figures usitées pour les pièces métalliques, etc.

Mais c*est ici le lieu d'indiquer le calcul approximatif des moments de figures quelconques par la méthode dite de quadrature^ trouvée par Thomas Simpson ( Mathematical disseriaiùms, ilkJà, p. 109), et qui est plus usuelle et aussi exacte que celle de Legendre, rapportée par Navier ci-après n<* 352 à propos des voûtes.

S 2. Démonstration élémentaire de la formule de Simpson* — Élémentairement, cette méthode générale d'évaluation d'une intégrale définie représentée par une aire comprise entre une portion de courbe, ses deux ordonnées extrêmes et l'axe des abscisses, peut être considérée comme substituant à. cette courbe, au lieu d^une suite de très-petites lignes droites ou de pente uniforme sur l'axe des • abscisses , une suite moins nombreuse de lignes un peu plus longues et de pente uniformément croissante ou décroissante qu'on peut astreindre toujours à passer, chacune , par trois points de la courbe , en disposant à la fois de la valeur initiale de leur pente et de la rapidité plus ou moins grande de sa variation.

Soit m,f7i|ni, une pareille ligne , pjp^ la partie correspondante de l'axe des abscisses, pom.=zy^^ Pi^i=yi» Pi^ij^ y%9 les ordonnées de ses trois points m, , mj , m, , et poPi = PtPf = A , les parties . de l'axe des abscisses répondant à leurs intervalles supposés égaux. Nous appelons sa pente , en un point quelconque n , la tangente de

(Du D* 8ft).

«/r Pi

Tangle que fait avec Taxe des abscisses son élément nn', ou le rapport de raccroissement de Tordonnée à Taccroissement de Tabscisse quand on passe de ce point à un autre très-voisin n\ rapport qui est aussi celui des projections de Télément sur les deux axes coordonnés. Cette pente de la courbe, en n, surpassera par hypo* thèse sa pente en m,, ou la pente de sa tangente m^rr'b^ d*unc

quantité proportionnelle à rabscisse p^q de n comptée depuis p, ; en sorte qu'en considérant les portions nr^ n'r des deux ordonnées voisines nq , n'q*^ prises seulement jusqu^à la tangente , la seconde n'r' excédera la première nr d*une quantité proportionnelle à 99' et à l'abscisse p^q dont qq' est rincrément Chaque portion semblable d*Qrdonnée, par exemple nr elle-même ou bien m^b, résulte de Taccumulation, depuis ntj, de pareils excédants, proportionnels comme on voit aux produits des abscisses antérieures par leurs incréments successifs ; ces portions d*ordon* nées, comprises entre la moitié de courbe mim, et sa tangente en m|, sont donc comme les aires des triangles rectangles qui auraient pour bases et pour hauteurs leurs abscisses respectives, et, par conséquent, sont comme les carrés de ces abscisses. De même les portions d'ordonnées de la partie de courbe m^m^^ où la pente décrotta compter de m„ comme croît celle de m|m,, seront propor* tionnelles aux carrés des portions d'abscisses correspondantes, comptées en arrière depuis pj , en sorte qu'on aura la portion extrême d'ordonnée m^a égale à celle m,6.

Ayant ainsi établi cette propriété dont jouit notre courbe de pente uniformément croissante ou décroissante , d'arotr ses por» fions cTordonnées jusqu'à une même tangente^ proportionnelles aux carrés des abscisses rectangulaires ou obliques comptées depuis le point de tangence^ nous pouvons conclure avec Simpson (qui la suppose à priori dans la courbe qu'il choisit) que les aires m^bm^^ niiam, seront le tiers des parallélogrammes égaux circonscrits mibm^t m^am^c^ « par la même raison», dit-il» « que la pTnunlde,

ART. 111. FLBXION. 60

(Dun»85).

dont les sections faites par un plan parallèle à la base sont comme les carrés de leurs distances au sommet, est le tiers de son prisme circonscrit » (voyez d'ailleurs ce qu'on a démontré des sommes de produits appelés Vv, V"v à la note du n* 81). Donc, continue Simpson, vu que Taire du trapèze p.mjn^p^ est

et que Taire du trapèze j).a6p, estp.p, xp^m^ = 2Ay, , la première de ces deux quantités excède Taire curviligne cherchée Pomjn^m^^ du double de ce dont cette aire excède la seconde ; donc « deux fois la seconde ^hy^ ajouté à une fois la première h{y^ + y^) fera justement trois fois Taire, » et par conséquent on aura pour cette aire elle-même comprise entre Taxe des abscisses, les deux ordonnées extrêmes y.» y, distantes de 2A, et la portion de courbe passant aux points m^^m^^m^i

S 3. Sa forme générale. — D'où Ton conclut facilement, avec le même géomètre, en partageant une aire comprise entre une courbe et trois lignes droites, ou, plus généralement, entre deux courbes quelconques et deux lignes droites parallèles de longueurs y.« ^tn 9 en un nombre pair 2n de zones par des ordonnées ou lignes équidistantes y^, y^., parallèles à celles-ci, dont elles sont distantes de h ainsi qu'entre elles, que si Ton substitue approxlmati- Tement, aux courbes» des suites de lignes ayant une pente uniformément croissante sur les droites qui coupent toutes les ordonnées orthogonalemd[it (ou des suites de paraboles ordinaires à axe parallèle aux ordonnées) , on a pour Taire, ou pour Tlntégrale définie à laquelle elle revient ,

S lu Deux manières de remployer pour le calcul des moments ^ÎTiertie. — En appliquant cette formule d'approximation au moment d'inertie d'une aire autour d'une ligne Ou, on peut prendre à volonté l'intégrale double /v'dca— /v^dudv, d'abord par rapport à V, ou d'abord par rapport à u.

70 SLCr. 1. RÉSlSTAiNCE DES SOLIDES.

(Du D* 8ft),

Prise d'abord par rapport à v, elle revient , pour la ligne comprise entre la courbe AGB et sa projection ab sur Taxe des abscisses u , en désignant par u„ U les abscisses extrêmes Oa, 06, et par y l'ordonnée pm du contour répondant à l'abscisse quelconque Op=ti, à

du.

M. Poncelet donne, en conséquence, en divisant la projection U — w. en 2n parties /i et en appelant t/o . yi ••• les coordonnées aui points de division, y compris les ordonnées extrêmes, cette formule d'approximation

Prise d'abord par rapport à u, l'intégrale 1, pour une figure généralement comprise entre deux courbes AG, BD et deux parallèles Afi, CD à Taxe des u (parallèles qui peuvent être nulles l'une ou l'autre ou toutes deux), en désignant parr,, Y les distances de ces parallèles à cet axe , et par x une parallèle quelconque mn à la (iistance v :

■ If»

v*xdv.

M, Bélanger donne en conséquence (Cours lithographie de Mécanique à racole des ponts et chaussées, 18/18-1849, n* 38, p. 17), en divisant la hauteur V— r. en 2n parties A; et en appelants.» x, ... les parallèles aux points de division, y compris celles extrêmes AB,GD :

La première de ces deux formules sera préférable à la seconde lorsque» d'après la forme du contour de la figure» les diverses par-

Ifet ^ te ligne ayant peni» coordonnées t/ et ^ seront plus assl-

B6. Considérons, comme dans le n<* 77^ un solide prismatique droit (Fig. 5) encastré horizontalement d'une extrémité A, et chargé à l'autre extrémité d'un poids.

Nommons :

X l'abscisse kp d'un point m de la courbe du solide comptée

sur l'horizontale AB ; y l'ordonnée pm;

p le rayon du cercle osculateur de la courbe du solide en m; P le poids placé à l'extrémité M du solide; a la distance horizontale AB des deux extrémités du solide ; f l'ordonnée BM de l'extrémité de la courbe; s la longueur kniM du solide ; a l'angle formé avec Thorizon par la tangente de la courbe du

solide à l'extrémité M ; t la valeur du moment de la résistance à la flexion du solide^

dont l'expression générale est donnée n*" 80.

L'équation d'équilibre du n"* 79 est

milables àdes paraboles à axe perpendiculaire aux u, que celles de la ligne ayant pour coordonnées v et xu* ne le seront à des paraboles à axe perpendiculaire aux v, ou quand les pentes de la première sur lesu varieront plus régulièrement que les pentes dé la seconde sur les V. On prendra la seconde formule dans le cas contraire.

Quand il y aura Incertitude , ou quand on ne se sera pas donné la peine de faire une pareille comparaison, on pourra contrôler ces deux formules Tune par Tautrc. Ou bien , on se contentera de contrôler le résultat de Tune des deux avec un certain nombre d'ordonnées, par celui qu*on obtient avec un nombre double.

Tout ceci se dirait également d*autres formules de quadrature que celle de Simpson , par exemple de celle que M. Poncelet a proposée il y a peu d'années, et qui se trouve exposée au Traité élémeiUaire de Méamiqii» de M* Sonnet ^ iS51.

c'esl-à-dire

6EGT. I. BÉSISTANCE DES SOLIDES.

et, dans le cas où la flexion est très-petite, ce qui permet de

négliger le carré de ^ ^ on a

/r=__, » = «+^. taDg. = ^n.

(♦) S i- Démonstration élémentaire de V expression f=i -^ dtf /a

/7ècA« de cour6tzr&.— Menons, à la courbe, deux tangentes infiniment

voisines mn^ m'n'. Elles in- |x y X p X

tercepteront sur cette flèche ou ordonnée MB, qui leur est sensiblement perpendiculaire, une portion

nn' = mn

mm

puisque leur angle est égal à celui des normales en 971, wf. Appelant X la projection Bp de mn sur Thorizontale Bpp'A, et x son incrément pp\ on aura mn=rX, mm'=zx h cela près de quantités négligeables comme infiniment plus petites que mm\ nn'; donc comme